Предел и производная функции одной переменной

Министерство образования и науки российской федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ

 

 

 

КРАТКИЙ КУРС ЛЕКЦИЙ

По дисциплине «Математика» 1 семестр

Для студентов заочной формы обучения

Направления Менеджмент

«Предел и производная функции одной переменной»

Волгодонск

Понятие функции, способы задания функции.

 

Определение: Если каждому элементу множества D поставлен в соответствие единственный элемент множества E, то говорят, что задана однозначная функция действующая из D в E.

D – область определения функции. E – множество значений функции.

xÎD – аргумент функции, yÎE – значение функции.

Способы задания функции:

1) Описание.

2) Табличный.

x
y

3) Графический.

Определение: Графиком функции y=f(x) называется множество точек плоскости с координатами (x,f(x)), где xÎD(f).

4) Аналитический.

С помощью формулы y=f(x). Например: y=sin x+x², y=2x³.

Область определения функции D(f) или D(y) – это множество тех значений аргумента x, при которых формула, задающая функцию, имеет смысл.

 

Основные характеристики функции.

  Функция y=f(x) называется возрастающей на (а;b), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. … Возрастающие и убывающие функции на (а;b) называются монотонными на этом…  

Основные элементарные функции.

y=ax+b, где область определения D=R (множество действительных чисел), E=R.    

Последовательность. Предел последовательности.

Числовой последовательностью называют бесконечное упорядоченное множество чисел (перенумерованное множество чисел). Задают числовую последовательность с помощью общего члена xn. {xn} - числовая последовательность с общим членом xn.

Сходящиеся и ограниченные последовательности.

Определение: Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел. - число. В противном случае последовательность называется расходящейся.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Связь между ними.

Определение: Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если для любого, сколь угодно малого, положительного числа e, найдется номер… . Определение: Последовательность {xn} называется бесконечно большой, для любого, сколь угодно большого, положительного…

Свойства сходящихся последовательностей.

1. Единственность. Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.  

Предел функции.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть самой точки. 1) Определение предела функции на языке : Число А называется пределом функции f(x) при x®a, если для любого сколь угодно малого положительного числа e найдется…

Единственность предела функции.

Теорема: Если функция имеет предел при x®a, то он единственен. Док-во: Предположим противное. Пусть у функции существуют два предела при x®a … Ч.т.д.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Иx свойства.

Определение: Функция a(x) называется бесконечно малой при x®x0, если . Обозначается a(x) – б/м при x®x0. Функция a(x) – б/м при x®x0, если " >0 $d>0: из |x-x0| <d Þ |a(х)|< .

Свойства.

2. Произведение двух или конечного числа б/м есть бесконечно малая. 3. Произведение б/м на ограниченную функцию есть б/м. Замечание: Частное двух б/м является неопределенностью вида .

Необходимое и достаточное условие существования предела функции.

Теорема о представлении функции, имеющей предел: Для того чтобы число Абыло пределомфункции f(x) при x®x0 , необходимо и…  

Арифметические операции с пределами.

 

Теорема 1: Пусть , а , тогда

Док-во: По теореме о представлении функций, имеющих предел: f(x)=A+a(x), где a(x) – б/м при x®x₀, а j (x)=B+b(x), где b(x) ‒ б/м при x®x₀.

 

 

, как сумма двух б/м.

Ч.т.д.

Теорема 2: Пусть , а , тогда .

Док-во: По теореме о представлении функций, имеющих предел: f(x)=A+a(x), где a(x) – б/м при x®x₀, а j (x)=B+b(x), где b(x) ‒ б/м при x®x₀.

f(x)·j (x)= (A±a(x))·(B+b(x))=A·B+A·b(x)+ a(x)·B+ a(x)·b(x)=A·B, так как A·b(x) и a(x)·B и a(x)·b(x) стремятся к нулю при x®x₀ по свойствам б/м. Переходя к пределу при x®x₀ получаем требуемое.

Ч.т.д.

Теорема 3: Пусть , а , тогда , где B¹0.

Доказывается теорема аналогично теоремам 1 и 2.

Следствие: , где C-const.

 

Неопределенности. Если не применимы основные теоремы о пределах, свойства б/м и б/б, то возникают неопределенности вида: , , (0·¥), (1^¥), (0⁰), (¥⁰), (¥-¥).

Рассмотрим три вида неопределенности: , (¥-¥), .

Пример. Вычислить пределы.

1) = =

2)

3)

от неопределенности избавимся следующим образом: разложим числитель и знаменатель на множители и сократим.

 

4)

чтобы избавиться от иррациональности, надо умножить и поделить на сопряженное выражение.

 

 

Теоремы о предельном переходе в неравенствах.

Теорема 1. Теорема о «двух милиционерах». Пусть заданы 3 функции f(x), j(x), g(x) такие, что f(x)£j(x)£g(x).…  

Первый замечательный предел.

Доказательство: Рассмотрим единичную окружность и отложим бесконечно малый угол x. х у …

Второй замечательный предел.

Доказательство: Вспомним число как предел числовой последовательности:  

Следствия из второго замечательного предела.

 

1.

Док-во:

 

Ч.т.д.

 

2.

Частный случай:

 

3.

 

Сравнение бесконечно малых.

Рассмотрим отношение двух б/м a(x) и b(x), т.е. a(x) и b(x) ®0 при x®x0. Определение: Если , тогда б/м a(x) и b(x) называются б/м одного порядка… Определение: Если , тогда б/м a(x) и b(x) называются эквивалентными.

Непрерывность функции.

Пусть функция y=f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности. Определение 1: Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0, если она… Dx=x-x0 – приращение аргумента, Dy=f(x)-f(x0)=f(x0+Dx)-f(x0) – приращение функции.

Свойства непрерывных функций.

1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций являются непрерывной функцией. Док-во: Докажем непрерывность суммы непрерывных функций.

Точки разрыва и их классификация.

 

Определение: Точка x₀, в которой нарушается условие непрерывности функции, называется точкой разрыва этой функции.

Функция терпит в точке x₀ разрыв, если .

Существует три типа точек разрыва:

 

1.	Точка x0 называется точкой устранимого разрыва, если функция y=f(x) неопределена в точке x0 и . Разрыв можно устранить доопределив функцию в точке x0.
2.	Точка х0 – точка разрыва первого рода (скачок), если , a¹b.	x0       a b
3.	Точка х0 – точка разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен ¥ (бесконечный разрыв).

 

Теоремы о непрерывных функциях.

Теорема 1. (о сохранении знака непрерывной функции). Пусть функция f(x) определена и непрерывна на (а;b) и в точке х0 значение…  

Производная функции одной переменной.

Определение: Пусть функция y=f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности. Дадим x0 приращение Dx так, чтобы точка принадлежала… Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента,… .

Связь между непрерывностью функции и существованием производной.

Теорема: Если функция имеет конечную производную в точке x0, то она непрерывна в этой точке. Док-во: По определению производной: =

Геометрический и физический смысл производной.

 

Геометрический смысл производной.

x0 x0+ x y(x0+Dx) y0=y(x0) … С одной стороны tga является угловым коэффициентом секущей, с другой стороны… Когда точка N®M по графику, тогда приращение

Правила вычисления производной.

Док-во: Дадим x приращение Dx, . Тогда функция получит приращение Dy. Отсюда .… Ч.т.д.

Таблица простейших производных.

Степенные функции
Показательные функции	Логарифмические функции
Тригонометрические функции

 

Обратные тригонометрические функции

 

Производные тригонометрических функций.

 

1) .

= = . Þ .

2) .

Доказывается аналогично первому: .

3) .

= = Þ .

4) y=ctg x. .

 

Производные обратных тригонометрических функций.

1) y=arcsin x. .

2) y=arccos x. .

3) y=arctg x. .

4) y=arcctg x. .

 

Производные логарифмической и показательной функций.

 

1. .

= = = = следствие из второго замечательного предела = =

´= .

2. . y= .

= = .

.

3. .

= = = =

= = .

.

4. y=е^x.

.

.

 

Производная сложной функции.

Теорема. Пусть функция имеет производную в точке t₀, а функция имеет производную в точке . Тогда производная сложной функции в точке t₀ будет равна:

.

Пример: ,

 

Производная обратной функции.

 

Теорема. Пусть функция монотонна на интервале (a,b) (возрастает или убывает) и имеет производную в каждой точке этого интервала. Если в точке x₀ , то обратная функция также имеет производную в соответствующей точке y₀, причем

.

 

Логарифмическое дифференцирование.

Производная степенной функции.

 

Пусть функция .

Прологарифмируем эту функцию по основанию e: .

Возьмем производную левой и правой части равенства, считая y функцией от x: .

Þ производная правой части: .

Выразим отсюда y¢.

Описанный прием называется логарифмическим дифференцированием.

.

; ; ; ;

 

 

Производная неявной функции.

 

Уравнение F(x,y)=0 задает y, как неявную функцию от x.

Пример: ( – явное задание функции).

Чтобы продифференцировать функцию, заданную неявно, нужно взять производную левой и правой части уравнения, считая y функцией от x. Затем выразить из этого уравнения y¢.

Пример: ; ; ; ; – производная.

 

Производная функции, заданной параметрически.

Функция задана параметрически, если зависимость y от x осуществляется с помощью параметра t: , где tÎT. Пример: — параметрическое уравнение окружности с центром C(0,0) и радиусом… — параметрическое уравнение эллипса, где a и b большая и малая полуоси.

Дифференциал, его геометрический смысл, правила вычисления.

 

Дифференциал функции.

Определение: Дифференциалом функцииназывают главную часть ее приращения, линейную относительность Dx. Обозначают: dy или df, dy=df=A·Dx, где Dx ® 0. Определение: Функция, имеющая дифференциал в точке x0, называется дифференцируемой в этой точке.

Геометрический смысл дифференциала.

Из треугольника: . Þ ,

где — геометрический смысл производной.

Дифференциал – это приращение ординаты касательной, проведенной к кривой в точке касания x₀.

Правила нахождения дифференциала.

 

 

 

 

Применение дифференциала.

Из рисунка видно, что приращение функции Dy и дифференциал dy связаны приближенным равенством Dy » dy. Поэтому с помощью дифференциала можно… Пример: Вычислить приближенно . Введем функцию . Значение x=1,004, берем значение .

Производные высших порядков.

 

Производная высших порядков.

Обозначаются: y¢, y², y²¢, yIV или y(1), y(2), y(3), y(4)... Пример: , , , , , , .

Механический смысл второй производной.

Вторая производная есть ускорение a прямолинейного движения тела в данный момент времени, выражает зависимость пройденного пути от времени t, т.е. если , то .

 

Уравнение касательной и нормали к кривой.

Þ . Þ – уравнение касательной. Определение: Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная к касательной, проведенной в точке касания с…