рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Теоремы о непрерывных функциях.

Теоремы о непрерывных функциях. - раздел Математика, Предел и производная функции одной переменной   Теорема 1. (О Сохранении Знака Непрерывной Функции)....

 

Теорема 1. (о сохранении знака непрерывной функции).

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на (а;b) и в точке х0 значение функции f(x0) 0. Тогда существует окрестность точки x0, в которой f(x) сохраняет знак.

 

Теорема 2. (I т. Больцано-Коши).

y
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [а;b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков. Тогда существует такая точка с [а;b], что f(с)=0.

x
f(a)
f(b)
b
c
a

 

 


Замечание 1: Если выполняются условия этой теоремы, то график непрерывной функции обязательно пересечен осью ох.

Замечание 2: Если отказаться от условия непрерывности, то теорема не выполняется.

 

Теорема 3. (II т. Больцано-Коши о промежуточных значениях).

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на [а;b], f(a)=А, f(b)=В. Тогда f(x) принимает все промежуточные значения между А и В.

 

Лемма о вложенных отрезках:

Дана последовательность вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю, т.е.:

[a1;b1] [a2;b2] [a3;b3] … [an;bn] … .

Тогда существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам.

 


a1 a2 a3 . . . an… bn . . . b3 b2 b1

 

Рассмотрим последовательность левых концов:

{an} возрастает и ограничена сверху числом b1.

По теореме о пределе монотонной и ограниченной последовательности существует .

Рассмотрим последовательность правых концов:

{bn} убывает и ограничена снизу числом an

Рассмотрим С1 – С2= - = С1 = С2 Существует единственная точкка, принадлежащая всем отрезкам.

Теорема 4. (I т. Вейерштрасса).

Пусть функция f(x) непрерывна на [а;b]. Тогда f(x) ограничена на [а;b].

Док-во:

Предположим противное: функция f(x) не ограничена на [а;b]. Разделим [а;b] пополам и выберем ту часть, на которой f(x) не ограничена. Разделим эту часть пополам и выберем половину, на которой функция не ограничена и т.д.

Получим последовательность вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю.

Тогда по лемме о вложенных отрезках существует единственная точка С, принадлежащая всем отрезкам, такая, что в окрестности точки С функция f(x) не ограничена.

По условию теоремы f(x) непрерывна на [а;b] f(x) непрерывна в точке С.

По первому определению непрерывности .

По определению предела: такое, что из неравенства

Положим =1 .

 

 

Выберем М=max( ) f(x) ограничена в окрестности точки С.

Ч.т.д.

Теорема 5. (II т. Вейерштрасса).

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а;b]. Тогда она принимает на этом отрезке свое наибольшее и наименьшее значения.

 

x
y
fнаиб
b
a
fнаим

 

 

 


– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Предел и производная функции одной переменной

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Теоремы о непрерывных функциях.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Основные характеристики функции.
1. Возрастающие и убывающие функции.   Функция y=f(x) называется возрастающей на (а;b), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции

Основные элементарные функции.
1. Линейная функция. y=ax+b, где область определения D=R (множество действительных чисел), E=R.       2. Степенная функция.

Последовательность. Предел последовательности.
  Числовой последовательностью называют бесконечное упорядоченное множество чисел (перенумерованное множество чисел). Задают числовую последовательность с по

Сходящиеся и ограниченные последовательности.
  Определение: Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел. - число. В противном случае последовательность назыв

Связь между ними.
  Определение: Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если для любого, сколь угодно малого, положительного числа e, найдется номер последовательности N

Свойства сходящихся последовательностей.
  1. Единственность. Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.   2. Арифметические действия. Теорема: Есл

Предел функции.
  Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть самой точки. 1) Определение предела функции на языке : Число А н

Единственность предела функции.
  Теорема: Если функция имеет предел при x®a, то он единственен. Док-во: Предположим противное. Пусть у функции существуют два предела при x®a и . Возьмем e>

Иx свойства.
  Определение: Функция a(x) называется бесконечно малой при x®x0, если . Обозначается a(x) – б/м при x®x0. Функция a(x)

Свойства.
1. Сумма двух или конечного числа б/м есть бесконечно малая. 2. Произведение двух или конечного числа б/м есть бесконечно малая. 3. Произведение б/м на ограниченную функцию есть б

Необходимое и достаточное условие существования предела функции.
  Теорема о представлении функции, имеющей предел: Для того чтобы число Абыло пределомфункции f(x) при x®x0 , необходимо и достаточно, чтобы в нек

Теоремы о предельном переходе в неравенствах.
  Теорема 1. Теорема о «двух милиционерах». Пусть заданы 3 функции f(x), j(x), g(x) такие, что f(x)£j(x)£g(x). Тогда если    

Первый замечательный предел.
  Доказательство: Рассмотрим единичную окружность и отложим бесконечно малый угол x. х у

Второй замечательный предел.
  Доказательство: Вспомним число как предел числовой последовательности:   I случай. Пусть х>1, возьмем n=[x] – целая часть ч

Сравнение бесконечно малых.
  Рассмотрим отношение двух б/м a(x) и b(x), т.е. a(x) и b(x) ®0 при x®x0. Определение: Если , тогда б/м a(x) и b(x) называются б/м одного порядка м

Непрерывность функции.
  Пусть функция y=f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности. Определение 1: Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0

Свойства непрерывных функций.
  1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций являются непрерывной функцией. Док-во: Докажем непрерывность суммы непрерывных функций. П

Производная функции одной переменной.
  Определение: Пусть функция y=f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности. Дадим x0 приращение Dx так, чтобы точка принадлежала указанной окрес

Связь между непрерывностью функции и существованием производной.
  Теорема: Если функция имеет конечную производную в точке x0, то она непрерывна в этой точке. Док-во: По определению производной: =

Геометрический смысл производной.
На графике функции возьмем точку М0 с координатами (x0,y0) и точку N с координатами ( ; ). Проведем через эти точки секущую. x0

Правила вычисления производной.
1. . Док-во: Дадим x приращение Dx, . Тогда функция получит приращение Dy. Отсюда . Так как , то . Þ (C)¢=0. Ч.т.д.   2. Если фун

Производная функции, заданной параметрически.
  Функция задана параметрически, если зависимость y от x осуществляется с помощью параметра t: , где tÎT. Пример: — параметрическое уравнение окружности с центро

Дифференциал функции.
Пусть функция определена в точке x0 и ее окрестности. Дадим x0 приращение Dx, тогда функция получает приращение Dy: , где А - число, a(Dx) - б/м более высокого порядка малости

Применение дифференциала.
Приложение дифференциала к приближенным вычислениям. Из рисунка видно, что приращение функции Dy и дифференциал dy связаны приближенным равенством Dy » dy. Поэтому с помощью дифференциала

Производная высших порядков.
Пусть функция имеет производную в каждой точке некоторого интервала. - также является функцией от x, следовательно, ее тоже можно продифференцировать. - производная второго порядка или вторая произ

Уравнение касательной и нормали к кривой.
Из пучка прямых, проходящих через точку , выберем одну прямую — касательную к графику функции: . Из геометрического смысла производной угловой коэффициент касательной: . Þ .

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги