Связь между непрерывностью функции и существованием производной.
Связь между непрерывностью функции и существованием производной. - раздел Математика, Предел и производная функции одной переменной
Теорема: Если Функция Имеет Конечную Производную В Точ...
Теорема: Если функция имеет конечную производную в точке x0, то она непрерывна в этой точке.
Док-во:
По определению производной: =
Обозначим
Тогда .
По теореме о представлении функции, имеющей предел:
, где ‒ б/м при .
при Δx→0.
По второму определению непрерывности, если б/м приращению аргумента соответствует б/м приращение функции, то непрерывна в точке х0.
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Национальный исследовательский ядерный университет МИФИ...
Основные характеристики функции.
1. Возрастающие и убывающие функции.
Функция y=f(x) называется возрастающей на (а;b), если большему значению аргумента соответствует большее значение функции
Основные элементарные функции.
1. Линейная функция.
y=ax+b, где область определения D=R (множество действительных чисел), E=R.
2. Степенная функция.
Последовательность. Предел последовательности.
Числовой последовательностью называют бесконечное упорядоченное множество чисел (перенумерованное множество чисел).
Задают числовую последовательность с по
Сходящиеся и ограниченные последовательности.
Определение: Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел.
- число.
В противном случае последовательность назыв
Связь между ними.
Определение: Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если для любого, сколь угодно малого, положительного числа e, найдется номер последовательности N
Свойства сходящихся последовательностей.
1. Единственность.
Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
2. Арифметические действия.
Теорема: Есл
Предел функции.
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть самой точки.
1) Определение предела функции на языке :
Число А н
Единственность предела функции.
Теорема: Если функция имеет предел при x®a, то он единственен.
Док-во: Предположим противное. Пусть у функции существуют два предела при x®a и . Возьмем e>
Иx свойства.
Определение: Функция a(x) называется бесконечно малой при x®x0, если .
Обозначается a(x) – б/м при x®x0.
Функция a(x)
Свойства.
1. Сумма двух или конечного числа б/м есть бесконечно малая.
2. Произведение двух или конечного числа б/м есть бесконечно малая.
3. Произведение б/м на ограниченную функцию есть б
Первый замечательный предел.
Доказательство:
Рассмотрим единичную окружность и отложим бесконечно малый угол x.
х
у
Второй замечательный предел.
Доказательство:
Вспомним число как предел числовой последовательности:
I случай.
Пусть х>1, возьмем n=[x] – целая часть ч
Сравнение бесконечно малых.
Рассмотрим отношение двух б/м a(x) и b(x), т.е. a(x) и b(x) ®0 при x®x0.
Определение: Если , тогда б/м a(x) и b(x) называются б/м одного порядка м
Непрерывность функции.
Пусть функция y=f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности.
Определение 1: Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x0
Свойства непрерывных функций.
1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций являются непрерывной функцией.
Док-во:
Докажем непрерывность суммы непрерывных функций.
П
Теоремы о непрерывных функциях.
Теорема 1. (о сохранении знака непрерывной функции).
Пусть функция f(x) определена и непрерывна на (а;b) и в точке х0 значение функции f(x0) 0.
Производная функции одной переменной.
Определение: Пусть функция y=f(x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности. Дадим x0 приращение Dx так, чтобы точка принадлежала указанной окрес
Геометрический смысл производной.
На графике функции возьмем точку М0 с координатами (x0,y0) и точку N с координатами ( ; ). Проведем через эти точки секущую.
x0
Правила вычисления производной.
1. .
Док-во:
Дадим x приращение Dx, . Тогда функция получит приращение Dy. Отсюда . Так как , то . Þ (C)¢=0.
Ч.т.д.
2. Если фун
Производная функции, заданной параметрически.
Функция задана параметрически, если зависимость y от x осуществляется с помощью параметра t: , где tÎT.
Пример: — параметрическое уравнение окружности с центро
Дифференциал функции.
Пусть функция определена в точке x0 и ее окрестности. Дадим x0 приращение Dx, тогда функция получает приращение Dy: , где А - число, a(Dx) - б/м более высокого порядка малости
Применение дифференциала.
Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.
Из рисунка видно, что приращение функции Dy и дифференциал dy связаны приближенным равенством Dy » dy. Поэтому с помощью дифференциала
Производная высших порядков.
Пусть функция имеет производную в каждой точке некоторого интервала. - также является функцией от x, следовательно, ее тоже можно продифференцировать. - производная второго порядка или вторая произ
Уравнение касательной и нормали к кривой.
Из пучка прямых, проходящих через точку , выберем одну прямую — касательную к графику функции: . Из геометрического смысла производной угловой коэффициент касательной: .
Þ .
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов