Основные теоремы дифференциального исчисления.

Теорема 1 (теорема Ферма): Пусть функция f(x) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х₀ этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке х₀ существует производная, то она равна нулю, то есть f¢(х₀)=0.

 

Геометрический смысл: если в точке х₀ дифференцируемая функция f(x) имеет наибольшее (наименьшее) значение, то в точке (х₀; f(х₀)) касательная к графику функции f(x) параллельна оси Ох.

Теорема не верна если функцию f(x) рассматривать на отрезке [а, b].

 

Теорема 2 (теорема Ролля): Пусть на отрезке [а, b]определена функция f(x), причём:

1) f(x) непрерывна на [а, b];

2) f(x) дифференцируема на (а, b);

3) f(а)=f(b).

Тогда существует точка сÎ(а, b), в которой f¢(c)=0.

 

Геометрический смысл: у графика непрерывной на отрезке [а, b]и дифференцируемой внутри него функции, принимающей на концах этого отрезка равные значения, существует точка (с; f(с)), в которой касательная параллельна оси Ох.

 

Теорема 3 (теорема Лагранжа): Пусть на отрезке [а, b]определена функция f(x), причем:

1) f(x) непрерывна на [а, b];

2) f(x) дифференцируема на (а, b);

3) f(а)¹f(b);

Тогда существует точка сÎ(а, b) такая, что справедлива формула

Геометрический смысл: у графика непрерывной на отрезке [а, b]и дифференцируемой внутри него функции, принимающей на концах этого отрезка разные значения, существует точка (с; f(с)), в которой касательная к графику параллельна секущей, проходящей через точки (а; f(а)) и (b; f(b)). Таких точек может быть и несколько, но по крайней мере одна всегда существует.

Равенство называется формулой Лагранжа.

 

Теорема 4 (теорема Коши): Пусть функции f(x) и g(х) определены на отрезке [а, b], причем:

1) f(x) и g(х) непрерывны на [а, b];

2) f(x) и g(х) дифференцируемы на (а, b);

3) g¢(х)¹0;

Тогда существует точка сÎ(а, b) такая, что справедлива формула:

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши, если g(x)=х.