Энтропийная размерность

Пусть X – компактное пространство с метрикой d. Тогда множество называется r-плотным, если , где – шар радиуса r относительно метрики d с центром в точке x. Определим r-емкость пространства (X, d) как минимальное число элементов в его r-плотном множестве.

Пример 3.1. Например, если X – это отрезок [0, 1] с обычной метрикой, то значение приближенно равно 1/(2r), потому что необходимо 1/(2r) шаров (т.е. интервалов), чтобы покрыть единичный отрезок.

Пример 3.2. Возьмем единичный квадрат . Тогда значение имеет порядок , потому что требуется по крайней мере шаров радиуса r, чтобы покрыть единичный квадрат. Аналогично, для единичного куба значение имеет порядок .

Определение. Если X – вполне ограниченное метрическое пространство, тогда число называется энтропийной размерностью пространства X .

В англоязычной литературе для энтропийной размерности используют термин «box dimension».

Пример 3.3. Если , то .

Если , то .

Если , то

.

Пример 3.4. Найдем энтропийную размерность для менее тривиальных пространств.

1. Троичное канторово множество. Если С – троичное канторово множество, то (см. табл. 3.1) и

.

В табл. 3.1, приведены данные, помогающие понять логику вычисления размерности троичного канторова множества.

Таблица 3.1

	i	r
	1/3

 

2. Ковер Серпинского. Для квадратного ковра Серпинского S и

.

Для треугольного ковра Серпинского подобным способом получаем, что его энтропийная размерность равна .

3. Снежинка Коха. Для снежинки Коха К мы имеем , так как ее можно покрыть шарами с центрами на ребрах i-го многоугольника. Таким образом, .