Древние греки сформулировали основные правила логического доказательства. Они различали два вида доказательства: дедукцию и индукцию. Дедукция – это доказательство от общего к частному. Индукция – напротив, доказательство от частного к общему.
Рассмотрим классический пример. Задана так называемая большая посылка (или общее утверждение): «Все люди смертны». Также задана малая посылка (частное утверждение): «Сократ – человек». Из этих посылок методом дедукции легко получить заключение: «Сократ – смертен». В большой и малой посылках содержится достаточно информации, чтобы быть абсолютно уверенным в этом.
Если из малой посылки и заключения получают большую посылку, то такой метод доказательства называется индукцией. В малой посылке «Сократ – человек» и заключении «Сократ – смертен» не содержится достаточно информации, чтобы прийти к утверждению: «Все люди смертны». Мы можем рассматривать его только как гипотезу. Допустим, окажется, что смертен не только Сократ, но и Платон, который также является человеком. Степень нашей уверенности возрастает, однако она никогда не будет абсолютной, поскольку в будущем, возможно, родится человек, который будет жить вечно (а вдруг?).
Таким образом, дедукция обладает неоспоримым преимуществом перед индукцией. Однако научное знание, как правило, получают методом индукции, поскольку в готовом виде общие утверждения человеку никто не посылает, приходится основываться на частном опыте. Даже гениальные озарения являются результатом длительных наблюдений и размышлений.
Математики нового времени ввели еще один тип доказательства, неизвестный древнегреческим математикам, абдукцию. Это доказательство малой посылки, основанное на большой посылке и заключении. В нашем примере на основании утверждений: «Все люди смертны» и «Сократ – смертен», мы можем вывести методом абдукции утверждение, что: «Сократ – человек». Очевидно, что этот вид доказательства тоже не столь безупречен, как дедукция. Ведь Сократ вполне может оказаться котом или собакой, которые также смертны.