Правила логического вывода

Возможность логически выводить новые правильные выражения из набора истинных утверждений – это важное свойство исчисления предикатов. Логически выведенные выражения корректны, потому что они совместимы со всеми предыдущими интерпретациями первоначального набора выражений.

Одним из наиболее важных правил логического вывода является «MODUS PONENS» (переводится с латинского как «правило отделения»). Другие полезные правила вывода называются «MODUS TOLLENS» («правило исключения»), «Транзитивность», «Слияние», «Исключение «И»», «Введение «И»», «Универсальное инстанцирование».

· Если известно, что предложения A и AB истинны, то модус поненс позволяет вывести истинность B. Формально это записывается следующим образом: .

· Согласно правилу вывода модус толленс, если известно, что AB является истинным и B ложно, то можно вывести истинность A. Формально: .

· Транзитивность – если известно, что выражения AB и ВС истинны, то истинно и выражение AС. Формально: .

· Слияние – если известно, что выражения AB и АВ истинны, то истинно и выражение B. Формально: .

· Исключение «И» – правило, позволяющее вывести истинность обоих конъюнктов на основе истинности конъюнктивного предложения. Например, если AB истинно, можно сделать вывод, что A и B истинны. Формально: .

· Введение «И» – позволяет вывести истинность конъюнкции из истинности ее конъюнктов. Например, если A и B истинны, то конъюнкция AB также истинна. Формально: .

· Универсальное инстанцированние сводится к следующему: если любую переменную, стоящую под квантором всеобщности в истинном предложении, заменить любым соответствующем термом из области определения, то результирующее выражение истинно. Таким образом, если «a» принадлежит той же области определения, что и Х и Xр(Х), то можно вывести истинность р(а).

Пример 4.7. Рассмотрим предложения: P «идет дождь» и PQ «если идет дождь, то земля будет влажной». Согласно правилу модус поненс предложение Q «земля является влажной» является истинным, если истинны предложения P и PQ.

Пример 4.8. Правило модус поненс может быть также применено к выражениям, содержащим переменные. Рассмотрим в качестве примера известный силлогизм: «Все люди смертны, и Сократ – человек, поэтому Сократ – смертен».

«Все люди смертны» и «Сократ – человек» может быть представлено в исчислении предикатов следующим образом:

X(человек(X)смертный(X)),

человек(сократ).

Поскольку Х в выражении стоит под знаком квантора всеобщности, его можно заменить любым значением из области определения Х, и при этом утверждение будет сохранять истинное значение согласно правилу универсального инстанцирования. Заменив в выражении Х на «сократ», получим следующее утверждение

человек(сократ)смертный(сократ).

Применив правило модус поненс, приходим к выводу: смертный(сократ).