Биномиальные коэффициенты

Слово бином означает выражение, состоящее из двух членов, например: x + y. Бином является частным случаем полинома. Биномом Ньютона называется бином, возведенный в целую положительную степень: . Достаточно легко получить следующие частные формулы:

,

,

.

В общем случае формула разложения для бинома записывается так:

.

Или в сжатом виде

. (6.1)

Символы , где – обозначают целые положительные числа, называемые биномиальными коэффициентами. Здесь n – степень полинома, k – номер биномиального коэффициента.

Теорема 6.1. (Биномиальная теорема) Биномиальные коэффициенты рассчитываются по формуле:

, (6.2)

, .

Доказательство. Используем метод математической индукции. Если n=1, то , а . Это приводит к верному выражению: . Таким образом, для единицы данное свойство выполняется. Предположим, что оно также выполняется и для степени n – 1. Тогда, подставляя n – 1 вместо n в формулу (6.1) , получим:

.

Умножая это выражение на (x + y), приходим к выражению:

.

В последней сумме введем новую переменную . Если , то , а если , то . С учетом этого можем записать

.

Мы видим, что переменная суммирования в первой сумме изменяется от 0 до n – 1, а во второй сумме – от 1 до n. Чтобы уравнять пределы изменений этих переменных, вынесем первый член первой суммы и последний член второй суммы за знаки суммирования

.

Полученное уравнение можно записать следующим образом:

. (6.3)

С учетом формулы (6.2) выражение в квадратных скобках:

Подставляя полученный результат в уравнение (6.3), приходим к выражению (6.1). Таким образом, теорема доказана.