Бином Ньютона для дробных и отрицательных показателей

Формула бинома Ньютона (6.1) для целых положительных показателей была известна задолго до Исаака Ньютона (1643-1727), но им в 1676 году была указана возможность распространения этого разложения и на случай дробного или отрицательного показателя (хотя строгое обоснование этого было дано лишь норвежским математиком Нильсом ХенрикомАбелем (1802-1829) в 1826 году).

В этом, более общем, случае формула бинома Ньютона начинается так же, как и формула (4.1), биномиальным коэффициентом служит выражение:

,

которое в случае целого положительного n, обращается в нуль при всяком , вследствие чего формула (6.1) содержит лишь конечное число членов. В случае же дробного (или отрицательного) n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, и правая часть формулы содержит бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). Если , то этот ряд сходится, т.е., взяв достаточно большое число его членов, можно получить величину, сколь угодно близкую к .