Двоичная система

Двоичная (бинарная) система счисления является самой простой из всех позиционных систем. Она содержит только два символа 0 и 1, и используется в компьютерной технике благодаря своей простоте и высокой надежности. Двоичная система была изобретена великим немецким ученым Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646-1716), который использовал ее в созданной им механической счетной машине. В первом столбце табл. 2.1 приведены десятичные числа, а во втором – соответствующие им двоичные числа.

Таблица 2.1

Десятичное число	Бинарный код	Код Грея	Десятичное число
3 = 2 + 1 5 = 4 +1 6 = 4 + 2 7 = 4 + 2 + 1 9 = 8 + 1 10 = 8 + 2 11 = 8 + 2 + 1 12 = 8 + 4 13 = 8 + 4 + 1 14 = 8 + 4 + 2 15 = 8 + 4 + 2 + 1			2 = 3 – 1 4 = 7 – 3 5 = 7 – 3 +1 6 = 7 – 1 8 = 15 – 7 9 = 15 – 7 + 1 10 = 15 – 7 + 3 – 1 11 = 15 – 7 + 3 12 = 15 – 3 13 = 15 – 3 + 1 14 = 15 – 1

 

Предположим, что нам нужно преобразовать двоичное число с дробной частью 1100,1011 в более привычное десятичное число. В табл. 2.2 показано, как осуществляется такое преобразование.

Таблица 2.2

Двоичное число	Десятичное число
Целая часть	Дробная часть
			0,
	+	+	+	+	+	+	+	=

 

Обратное преобразование десятичного числа d в двоичное число (бинарный код) осуществляется в соответствии со следующим алгоритмом. Присваиваем числу d индекс (), и ищем целое число , удовлетворяющее неравенству

, . (2.2)

Если , то задача выполнена – искомое двоичное число содержит единицу в старшем разряде и нулей за ней.

Если , то вычисляем разность , и ищем для нее соответствующее число , пользуясь формулой (2.2) с . Операцию вычисления разницы и нахождения повторяем до тех пор, пока при каком-либо не выполнится условие: .

Очевидно, что (т.е. ). При построении искомого бинарного числа используют правило: численные значения соответствуют разрядам бинарного кода, в котором стоят единицы. Остальные разряды заполняются нулями.

Используем это правило для нахождения бинарного кода десятичного числа 108,5. Согласно формуле (2.2), получаем: .

Искомое двоичное число равно: 1101100,1. Первая единица слева в записи числа соответствует 6 разряду, вторая за ней – пятому разряду. Четвертого разряда нет, поэтому за двумя первыми единицами записываем ноль. Третий и второй разряды есть – после нуля записываем две единицы. Единичного и нулевого разрядов также нет – после двух единиц записываем два нуля. Минус первый разряд есть – поэтому после запятой записываем единицу.

Арифметические операции в двоичной системе осуществляются так же, как и в десятичной («столбиком»). Например, возьмем числа 0111 () и 0101 (), и произведем операции сложения и умножения:

,

В результате получим 1100 () и 100011 (), что и следовало ожидать.