рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Основные теоремы операционного исчисления

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Основные теоремы операционного исчисления

Основные теоремы операционного исчисления - раздел Математика, Лекция № 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В Большинстве Случаев Применение Операционного Исчисления К Решению Задач Укл...

В большинстве случаев применение операционного исчисления к решению задач укладывается в следующую схему. Пусть требуется найти некоторый результат в виде функции , для получения которого без использования операторного метода надо над заданной функцией выполнить какую-то операцию A.

Применяя операционное исчисление, сначала переходят от оригинала к его изображению , а затем над этим изображением выполняют операцию B, соответствующую в области оригиналов операции A (например, делят изображение на вместо интегрирования функции ), и получают промежуточный результат – изображение . Затем переходят от изображения к искомому оригиналу .

На первый взгляд, схема решения задачи удлиняется. Однако на самом деле получается значительный выигрыш как в средствах вычисления, так и во времени. В частности, везде дифференцирование заменяется умножением на , а интегрирование – делением на .

Этот выигрыш достигается путем применения основных теорем операционного исчисления и известных «табличных» изображений, публикуемых в справочниках.

Рассмотрим основные теоремы операционного исчисления.

Теорема 9.1. (о дифференцировании изображения).

Если , то .

Доказательство: .

Следствие 9.1.1: .

Следствие 9.1.2: . (9.20)

Пример 9.3.Найти изображение функции . Поскольку , то .

Теорема 9.2. (об интегрировании изображения).

Если , то .

Доказательство. Обозначим и . Очевидно, что , и по предыдущей теореме:

Отсюда следует: .

Постоянная интегрирования определяется из условия: .

. Таким образом

Теорема 9.3. (об изменении масштаба).

Для всегда .

Доказательство. Обозначим . Тогда

Пример 9.4.Известно, что . Найти изображение функции .

Теорема 9.4. (запаздывания).

Если и , то .

Доказательство. Обозначим . Тогда

Теорема 9.5. (упреждения).

Если и , то .

Доказательство. Обозначим . Тогда

Теорема 9.6. (смещения).

Если и , то .

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Лекция № 9. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Введение... Обыкновенные дифференциальные уравнения ОДУ не относятся к области дискретной математики Мы рассмотрим этот тип...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Основные теоремы операционного исчисления

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Операционное исчисление
Существуют различные способы решения дифференциальных уравнений. В данном разделе мы ознакомимся со способом, использующим операционное исчисление. Этот способ применяется к

Преобразование Лапласа
Хевисайд не дал строгого математического обоснования своего метода. Это было сделано позже с помощью интегрального преобразования Лапласа. В результате такого преобразования функция

Свойства изображений
· Если два изображения и

Изображения некоторых функций
1. Функция Хевисайда :

Доказательство.
. Теорема 9.7. (о свертке). Если

Доказательство теоремы о свертке.
Пример 9.5.Применяя теорему о свертке, найти оригинал изображе

Производящая функция
Степенной ряд , коэффициентами которого являются элементы последовательности

Решение однородного рекуррентного уравнения
Однородное рекуррентное уравнение получается при j (n) = 0. Метод решения является обобщением решения предыдущего примера. Вначале производящая функция находится как рациональная функ

Метод решения неоднородного рекуррентного уравнения
Рассмотрим неоднородное линейное рекуррентное уравнение , n = 0, 1, 2, …, коэффи

Дискретное преобразование Лапласа
Дискретное преобразование Лапласа применяют к так называемым решетчатым функциям. Решетчатой функцией

Основные теоремы дискретного преобразования Лапласа
1. Свойство линейности: . 2. Теорема сдвига:

Z-преобразование
Если ввести обозначение , то теорема сдвига примет следующую форму

Дискретная интерпретация операционного исчисления Микусиньского
Как известно, операционное исчисление, позволяющее сводить дифференциальные задачи к алгебраическим, возникло благодаря работам английского ученого Оливера Хевисайда (1859-1925), который предложил

Доказательство.
Все элементы матрицы равны нулю, за исключением одного. Это элемент в нижнем левом углу, который равен ед

Теоремы дискретного операционного исчисления
Теоремам непрерывного операционного исчисления можно поставить в соответствие теоремы дискретного операционного исчисления. Приведем несколько таких теорем. Теорема 11.7.

Теорема 11.8.
, (). (11.2

Теорема 11.9.
, (). (11.2

Применение дискретного операционного исчисления
Преимуществом дискретного операционного исчисления является то, что его можно использовать как численный метод, а не только как символьные преобразования. При этом оно опирается на хорошо отработан

Plot(Out), hold on
Рис. 11.2 Как можно видеть, для решения задачи достат