МАТРИЦЫ И ИХ ВИДЫ - раздел Математика,
I. Алгебра.
...
I. АЛГЕБРА.
Например, (1)
есть общий вид записи матрицы из чисел.
Числа а11, а12, …, аmn, составляющие матрицу, называются ее элементами.
ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ.
Равенство матриц.
Две матрицы А и В называются равными (А=В), если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны.
Например, если
, и А=В, то b11=1, b12=2, b21=3, b22=4.
Пусть даны матрицы А=(aij) и В=(bij), имеющие одинаковые размеры .
Суммой матриц А и В называется матрица С=А+В тех же размеров , что и заданные… Например, если , , то .
Например, если и , то .
Умножение матрицы на число подчиняется закону , где l и m - числа.
. (4)
Вычислим такие суммы для всех и всех и из полученных чисел составим матрицу… Произведением матрицы А размеров на матрицу В размеров называется матрица размеров , элементы которой определяются по…
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Определителем второго порядка, соответствующим заданной… Для обозначения определителя используются вертикальные черточки и прописная буква D. Например,
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице А, называется число
Пусть дана квадратная матрица А порядка n.
.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.1. Квадратная матрица А-1 порядка n называется обратной матрицей для данной матрицы А, если
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Определители и матрицы широко применяются при решении систем линейных уравнений, т.е. систем, содержащих m уравнений первой степени относительно n… В наиболее общем виде такие системы записываются в форме
(18)
Пусть задана система линейных уравнений, содержащая одинаковое число уравнений и неизвестных (m=n):
(19)
Введем три матрицы
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Пусть задана система из m линейных уравнений с n неизвестными:
(27)
Допустим, что в системе коэффициент при х1 в первом уравнении . Разделив обе части этого уравнения на , получим…
ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННЫЕ СИСТЕМЫ
Если при исследовании какой-либо технологической задачи вы получаете систему линейных алгебраических уравнений, то всегда можно ответить на вопрос,… При моделировании технологических процессов ряд параметров, как правило,… Предположим, наша задача свелась к решению следующей системы двух линейных алгебраических уравнений:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Величина, определяемая заданием своего численного значения, называется скалярной величиной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.2.Величина, определяемая заданием своего численного значения и… Примерами скалярных величин являются длина, площадь, объем, масса, температура и др. Скалярные величины обозначаются…
ложение векторов. Суммой векторов и называется третий вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , при… N
…
УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ. ПРОЕКЦИЯ
Пусть заданы векторы и . Выберем в пространстве произвольную точку и отложим от этой точки векторы и .
Углом между и называется наименьший угол , на который нужно повернуть один из… B
Пусть в пространстве заданы вектор и ось (рис.13).
Пусть заданы векторы и числа . Выражение называется линейной комбинацией векторов . Очевидно, что линейная комбинация векторов является вектором.… . (37)
Если равенство (37) возможно только при всех , равных нулю, то векторы называются линейно-независимыми. Если же это…
Пусть в пространстве векторы образуют базис этого пространства. Выберем в произвольную точку и отложим с началом в этой точке базисные векторы.… Выберем в произвольную точку и построим вектор . Так как векторы образуют… , (39)
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ,
Пусть векторы и заданы в координатной форме:
,
.
ПРОЙСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ.
Под простейшими задачами аналитической геометрии понимаются задачи определения расстояния между двумя точками и деления некоторого отрезка в данном отношении.
Пусть в пространстве заданы своими координатами две точки и . Построим векторы (рис.19).
…
Пусть даны две точки и . Требуется на прямой (рис.20) найти точку , которая разделила бы отрезок в заданном отношении , т.е. так, что . Согласно… ,
.
Пусть даны два вектора и . В векторной алгебре рассматриваются два вида умножения векторов: скалярное, результатом которого является число, и… ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Скалярным произведением векторов и называется число, равное…
2) , если ^или хотя бы один из векторов есть нулевой вектор (справедливо и обратное утверждение);
3) ;
4) для " ;
1) длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах, т.е. ^;
2) вектор перпендикулярен обоим векторам и ;
3) вектор направлен в ту сторону, что если смотреть из его конца вдоль вектора, то кратчайший поворот вектора к…
Пусть даны три вектора . Так как для векторов введены два вида произведений – скалярное и векторное, то для трех векторов относительно операции… 1) двойное векторное произведение, т.е. произведение, в котором вначале… Например, вначале находится векторное произведение , затем – векторное произведение ;
Аналитическая геометрия как наука занимается изучением свойств геометрических… Так как в геометрии ее объекты (линии, поверхности, фигуры) определяются как множества точек, обладающих некоторым…
Пусть на плоскости даны две точки , и требуется найти уравнение прямой , проходящей через эти точки (рис.5). Согласно формуле (2) уравнение любой… , (3)
где и - проекции неизвестного направляющего вектора этой прямой.
В следующих параграфах рассматриваются геометрические образы алгебраического уравнения второй степени относительно двух переменных:
, (12)
где -действительные числа;
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1. Гиперболойназывается множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каждой из которых от двух данных…
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой,… Выберем на плоскости произвольную точку и произвольную прямую , не проходящую…
Рассмотрим предварительно одну из частных задач преобразования системы координат. Пусть на плоскости введены две прямоугольные декартовы системы…
Пусть задано общее уравнение кривой второго порядка (12) при , т.е. уравнение вида
. (27)
Покажем, что уравнение (27) в зависимости от значений коэффициентов на плоскости определяет окружность, эллипс,…
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14.1. Неравенство (или ) называется неравенством второй степени относительно двух переменных и , если , где - действительные числа; и… . (31)
Выясним геометрический образ (смысл) этого неравенства на координатной плоскости , т.е. найдем на этой плоскости…
1) любых трех точек, не лежащих на одной прямой;
2) точки плоскости и вектора , перпендикулярного .
z
Найдем уравнение плоскости в каждом из перечисленных случаев ее задания. Пусть в…
z
…
. (36)
Покажем, что уравнение (36) при любых допустимых значениях коэффициентов… По условию по крайней мере один из коэффициентов или отличен от нуля. Тогда, предположив для определенности, что ,…
Пусть в заданы своими уравнениями две плоскости
и .
Пусть прямая проходит через данные точки , . Вектор расположен на самой прямой . Следовательно, этот вектор является одним из направляющих векторов… , получим
. (43)
Пусть в пространстве даны своими уравнениями и две плоскости . Если эти плоскости пересекаются, то система
(44)
определяет уравнение прямой, являющейся линией пересечения плоскостей и . Уравнения (44) называются общими уравнениями…
Пусть в пространстве даны две прямые
.
Рис.26
Рис.27
Пусть прямая пересекает плоскость в некоторой точке . Тогда для определения координат этой точки достаточно решить систему уравнений
(1)
Проще всего решить эту систему, переходя от канонической формы задания уравнения прямой к ее заданию в параметрической…
В нижеследующих параграфах рассматриваются некоторые геометрические образы алгебраических уравнений второй степени относительно трех переменных:
, (51)
где - действительно числа, причем старшие коэффициенты не равны нулю одновременно.
Поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими параллельно данной прямой через точки линии , называется цилиндрической поверхностью…
Рис.29
Одним из основных методов изучения поверхности, заданной своим уравнением, является метод сечений. В этом методе предлагается определять вид… , (54)
где положительные действительные числа.
Пусть задано уравнение , где , (55)
Являющееся частным случаем уравнения (51). Изучим вид поверхности,… Рассмотрим сечения поверхности горизонтальными плоскостями , где . В сечении, в общем случае, получим линию:
Однополостным гиперболоидом назвается поверхность, определяемая уравнением
(56)
В сечениях горизонтальными плоскостями , где , получим линии
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, заданная уравнением
(57)
Рассмотрим сечения горизонтальными плоскостями , где . В сечениях образуются линии
Новости и инфо для студентов