рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
МЕТОДОМ ГАУССА.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

МЕТОДОМ ГАУССА.

МЕТОДОМ ГАУССА. - раздел Математика, МАТРИЦЫ И ИХ ВИДЫ Пусть Задана Система Из M Линейных Уравнений С N...

Пусть задана система из m линейных уравнений с n неизвестными:

(27)

Допустим, что в системе коэффициент при х₁ в первом уравнении . Разделив обе части этого уравнения на , получим равносильную данной систему:

(28)

где .

Исключим с помощью первого уравнения системы (28) неизвестное из всех оставшихся уравнений этой системы. Для этого умножим первое уравнение этой системы последовательно на и в том же порядке вычтем полученное из второго, третьего и последующих уравнений системы (28). В результате получим равносильную систему вида

(29)

где ,

Допустим, что коэффициент при во втором уравнении системы (29) отличен от нуля. В противном случае переставим местами уравнения этой системы, записав вторым другое уравнение с подходящим вторым коэффициентом.

Исключим неизвестное с помощью второго уравнения на . Затем умножим последовательно полученное второе уравнение на и вычтем эти результаты из третьего, четвертого и всех оставшихся уравнений. В итоге получим очередную систему уравнений:

где ,

Продолжая этот процесс исключения неизвестных, получим либо несовместную, либо совместную систему уравнений. В первом случае в системе будет содержаться уравнение, в котором все коэффициенты левой части равны нулю, а свободный член отличен от нуля, т.е. уравнение вида , где . Во втором случае получим либо систему треугольной формы .

(30)

либо систему трапециевидной (ступенчатой) формы

(31)

В случае треугольной системы из последнего уравнения (30) следует, что . Подставляя это значение в предпоследнее уравнение системы (30), найдем неизвестное . Подставляя значения и в предыдущее уравнение, найдем значение неизвестного и т.д.

Таким образом. Если данная система (27) с помощью элементарных преобразований приводится к системе треугольной формы, то система имеет единственное решение (т.е. система совместна и определенна).

В случае системы ступенчатой формы (31), перенося все слагаемые, содержащие неизвестные , в правую часть уравнений, получим систему вида

(32)

Из (32) следует, что значения неизвестных выражаются через значения неизвестных . Так как последним неизвестным, называемым свободными неизвестными, можно придавать любые произвольные значения, то система (32), а вместе с ней и данная система (27), имеет бесконечное множество решений.

Итак, если данная система приводится к трапециевидной форме, то она имеет бесконечное множество решений (т.е. система совместна и неопределенна). Найденные решения, записанные в форме

, , …,

, где - любые числа, называются общими решениями системы. Решения, полученные из общих решений при конкретных значениях свободных неизвестных , называются частными решениями.

Заключение. Матричный способ решения систем линейных уравнений, как и решение методом Крамера, применим только для особых систем линейных уравнений, в которых количество неизвестных совпадает с количеством уравнений. Метод Гаусса применим для решения произвольных систем линейных уравнений и, следовательно, является универсальным методом. Этот метод позволяет существенно упростить и сам процесс поиска решений, если все промежуточные преобразования осуществить над специальной матрицей В, составленной из коэффициентов системы (27) и ее свободных членов.

.

Матрица В называется расширенной матрицей системы. Она позволяет заменить элементарные преобразования системы уравнений на соответствующие элементарные преобразования над своими строками, что существенно сокращает процесс поиска решений.

ПРИМЕР 9.1. Решить систему уравнений, методом Гаусса.

Построим расширенную матрицу системы

.

Исключая с помощью первой строки неизвестное из всех оставшихся строк матрицы В, получим

,

где символ есть символ элементарного преобразования матрицы.

Исключая с помощью второй строки неизвестное из всех последующих строк матрицы В₁, получим

.

Исключая с помощью третьей строки неизвестное из четвертой строки, получим

.

Матрица имеет треугольную форму. Следовательно, заданная система эквивалентна системе

Последовательно вычисляя из последнего уравнения, далее из третьего, из второго и из первого уравнения этой системы найдем, что . Итак, заданная система имеет единственное решение .

ПРИМЕР 9.2. Решить систему уравнений

Построим расширенную матрицу систему

Таким образом, заданная система эквивалентна системе

которая имеет ступенчатый вид и, следовательно, имеет бесконечное множество решений. Выразим переменные через :

;

;

.

Итак, общим решением данной системы будет

, , , - любое число.

Полагая, в частности, , найдем, что . Тогда будет одним из частных решений системы.

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

МАТРИЦЫ И ИХ ВИДЫ

ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ... Равенство матриц... Две матрицы А и В называются равными А В если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: МЕТОДОМ ГАУССА.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

МАТРИЦЫ И ИХ ВИДЫ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Прямоугольная таблица, составленная из чисел, называется матрицей. Дл

Сложение матриц.
Пусть даны матрицы А=(aij) и В=(bij), имеющие одинаковые размеры .

Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы А=(аij) размеров на число l называется матрица В=

Умножение матриц.
Пусть заданы матрица А размеров и матрица в размеров

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
Пусть дана квадратная матрица второго порядка . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Опреде

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА.
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка .

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.
Пусть дана квадратная матрица А порядка n. . ОПРЕДЕ

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ.
Определители и матрицы широко применяются при решении систем линейных уравнений, т.е. систем, содержащих m уравнений первой степени относительно n неизвестных x

ФОРМУЛЫ КРАМЕРА.
Пусть задана система линейных уравнений, содержащая одинаковое число уравнений и неизвестных (m=n):

ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Если при исследовании какой-либо технологической задачи вы получаете систему линейных алгебраических уравнений, то всегда можно ответить на вопрос, сколько решений она имеет, и найт

СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Величина, определяемая заданием своего численного значения, называется скалярной величиной. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1

ЛИНЕЙНЫЕ ОПРЕЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.
Операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами. ложение векторов.

ВЕКТОРА НА ОСЬ.
Пусть заданы векторы и

ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ ВЕКТОРОВ. БАЗИС.
Пусть заданы векторы и числа

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ДЕКАРТОВАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ.
Пусть в пространстве векторы

ЗАДАННЫМИ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ.
Пусть векторы и

Задачи определения расстояния между двумя точками.
Пусть в пространстве

Задача деления отрезка в данном отношении.
Пусть даны две точки и

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Пусть даны два вектора и

Свойства скалярного произведения векторов.
1) ; 2) , ес

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторным произведением вектора на вектор

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Пусть даны три вектора . Так как для векторов введены два вида произведений – скалярное и век

II. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.
Введение. Аналитическая геометрия как наука занимается изучением свойств геометрических объектов средствами алгебры. Основным методом этой науки явл

Уравнение прямой по двум точкам.
Пусть на плоскости даны две точки

Окружность.
В следующих параграфах рассматриваются геометрические образы алгебраического уравнения второй степени относительно двух переменных:

ГИПЕРБОЛА.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1. Гиперболойназывается множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каждой из которых от двух данных

ПАРАБОЛА.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директ

Уравнение кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными осями координат.
Рассмотрим предварительно одну из частных задач преобразования системы координат. Пусть на плоскости введены две прямоугольные декартовы системы координат

Исследование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением текущих координат.
Пусть задано общее уравнение кривой второго порядка (12) при , т.е. уравнение вида

Неравенства второй степени относительно двух переменных.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14.1. Неравенство (или

Плоскость. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.
Положение плоскости в пространстве

Уравнение плоскости по трем точкам.
Пусть в пространстве даны три точки

Общее уравнение плоскости.
Пусть задано произвольное алгебраическое уравнение первой степени относительно переменных

Угол между плоскостями.
Пусть в заданы своими уравнениями две плоскости

Уравнение прямой по двум ее точкам.
Пусть прямая проходит через данные точки

Общие уравнения прямой.
Пусть в пространстве даны своими уравнениями

Угол между двумя прямыми.
Пусть в пространстве даны две прямые

Угол между прмой и плоскостью.

Точка пересечения прямой с плоскостью.
Пусть прямая пересекает плоскость

Поверхности второго порядка.
В нижеследующих параграфах рассматриваются некоторые геометрические образы алгебраических уравнений второй степени относительно трех переменных:

Цилиндрические поверхнсоти.
Поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими параллельно данной прямой через точки ли

Эллипсоид.
Одним из основных методов изучения поверхности, заданной своим уравнением, является метод сечений. В этом методе предлагается определять вид поверхности по ее линиям пересечения с р

Эллиптический параболоид.
Пусть задано уравнение , где

Однополостный гиперболоид.
Однополостным гиперболоидом назвается поверхность, определяемая уравнением

Двуполостной гипрболоид.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, заданная уравнением