ЛИНЕЙНЫЕ ОПРЕЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ. - раздел Математика, МАТРИЦЫ И ИХ ВИДЫ Операции Сложения И Вычитания Векторов И Умножения Вектора На Число Называютс...
Операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.
ложение векторов. Суммой векторов и называется третий вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора (рис.5).
N
Q
P
M
Сумма векторов может быть найдена и по правилу параллелограмма (рис.6). Из определения суммы векторов следует, что сложение векторов подчиняется переместительному закону . Действительно, пусть и есть параллелограмм. Тогда и , . Отсюда .
Понятие суммы векторов, введенное для двух векторов, можно обобщить на сумму любого конечного числа слагаемых. Например, если заданы три вектора и , то суммой этих векторов называется вектор , определяемый по правилу . Аналогично, если заданы векторы , где , , то суммой этих векторов называется вектор.
.
P
N
Покажем, что сложение векторов подчиняется сочетательному закону (рис.7).
M
Q
Пусть . Тогда , . Следовательно, .
Разность векторов. Разностью векторов и называется такой вектор , что . Для построения вектора по данным векторам и можно воспользоваться одним из способов, сущность которых пояснена на рис.8 и рис.9.
Умножение вектора на число. Пусть даны вектор и число . Произведением вектора на число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину и то же направление, что и вектор , если , и противоположное направление, если . Если , то .
Следствие 1. Из определения умножения вектора на число следует, что если , то векторы и коллинеарны. Очевидно, что если и коллинеарные векторы, то . Таким образом, два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда место имеет равенство .
Следствие 2. Противоположный вектор -можно рассматривать как произведение вектора на =-1, т.е. .
Следствие 3. Пусть дан вектор . Рассмотрим вектор , коллинеарный , направленный, как , и имеющий длину, равную единице. Тогда, согласно операции умножения вектора на число, следует, что
(33)
Умножение вектора на число подчиняется распределительным законам , и сочетательному закону .
Покажем, например, справедливость первого из распределительных законов. Построим на векторах параллелограмм , на векторах , параллелограмм (рис10). Из подобия этих параллелограммов следует, что .
N’
P’
Q’
Аналогично можно убедиться и в справедливости оставшихся законов.
ПРИМЕР 12.1. Точка является центром тяжести треугольника . Доказать, что .
Решение. Известно, что центр тяжести треугольника находится в точке пересечения его медиан. Обозначим через середину стороны и построим вектор . Тогда, согласно операции умножения вектора на скаляр и свойства медианы, получим . Построим на векторах и параллелограмм (рис. 11).
B
C
A
Тогда, согласно операции сложения векторов, . Тогда является точкой пересечения диагоналей этого параллелограмма.
ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ... Равенство матриц... Две матрицы А и В называются равными А В если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
ЛИНЕЙНЫЕ ОПРЕЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.
Пусть дана квадратная матрица А порядка n.
.
ОПРЕДЕ
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ.
Определители и матрицы широко применяются при решении систем линейных уравнений, т.е. систем, содержащих m уравнений первой степени относительно n неизвестных x
ФОРМУЛЫ КРАМЕРА.
Пусть задана система линейных уравнений, содержащая одинаковое число уравнений и неизвестных (m=n):
МЕТОДОМ ГАУССА.
Пусть задана система из m линейных уравнений с n неизвестными:
(27)
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Если при исследовании какой-либо технологической задачи вы получаете систему линейных алгебраических уравнений, то всегда можно ответить на вопрос, сколько решений она имеет, и найт
СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Величина, определяемая заданием своего численного значения, называется скалярной величиной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1
II. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.
Введение.
Аналитическая геометрия как наука занимается изучением свойств геометрических объектов средствами алгебры. Основным методом этой науки явл
Окружность.
В следующих параграфах рассматриваются геометрические образы алгебраического уравнения второй степени относительно двух переменных:
ГИПЕРБОЛА.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1. Гиперболойназывается множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каждой из которых от двух данных
ПАРАБОЛА.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директ
Поверхности второго порядка.
В нижеследующих параграфах рассматриваются некоторые геометрические образы алгебраических уравнений второй степени относительно трех переменных:
Цилиндрические поверхнсоти.
Поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими параллельно данной прямой через точки ли
Эллипсоид.
Одним из основных методов изучения поверхности, заданной своим уравнением, является метод сечений. В этом методе предлагается определять вид поверхности по ее линиям пересечения с р
Новости и инфо для студентов