Уравнение прямой по двум точкам.

 

Пусть на плоскости даны две точки , и требуется найти уравнение прямой , проходящей через эти точки (рис.5). Согласно формуле (2) уравнение любой прямой, проходящей через точку , запишется в виде

, (3)

где и - проекции неизвестного направляющего вектора этой прямой.

	y

		x

 

 

Примем за направляющий вектор вектор . Тогда , . Подставляя найденные числа в уравнение (3), получим уравнение искомой прямой .

. (4)

Уравнение (4) называется уравнением прямой, проходящий через две данные точки.

ПРИМЕР 4.1. Найти уравнение прямой, проходящей через точки и .

Решение. Полагая в (4) , получим искомое уравнение .

 

6. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

 

Пусть на плоскости проведена некоторая прямая (рис.6). Углом наклона прямой к оси называется угол, на который нужно повернуть вокруг начала координат против движения часовой стрелки ось абсцисс так, чтобы она стала параллельна данной прямой. Тангенс угла наклона прямой называется угловым коэффициентом прямой и означается буквой . Итак,

y

(5)

 

			x

 

Заметим, что если острый угол, то , если тупой, то , если , то , если , то не существует.

Пусть требуется найти уравнение прямой , если проходит через точку и имеет угловой коэффициент . Согласно формуле (2) уравнение любой прямой, проходящей через точку , запишется в виде

,

где и есть координаты направляющего вектора . В качестве направляющего вектора прямой примем единичный вектор , составляющий с осью тот же угол , что и прямая .

 

	y

 

 

Так как , то . Полагая , получим

Û

Û. (6)

Уравнение (6) называется уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту.

 

7. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми.

 

Пусть прямая наклонена под углом к оси и пересекает ось в точке (рис.8). Уравнение согласно формуле (6) при запишется в виде

y

. (7)

 

	B(0:b)

				x

 

 

Уравнение (7) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Частные случаи:

1) если , то уравнение примет вид . Это есть уравнение прямой, проходящей через начало координат;

2) если , то есть уравнение прямой, параллельной оси ;

3) если , то - уравнение самой оси .

Пусть на плоскости даны две пересекающиеся прямые и (рис.9).

	y

 

Пусть прямые и даны уравнениями и . Требуется определить угол между ними. Предположим, что прямые не перпендикулярны и вычислим . Непосредственно из рис.9 найдем, что . Тогда

. Но .

Следовательно, . (8)

Итак, если угол отсчитывается от прямой к прямой и , то угол между прямыми может быть найден с помощью формулы (8).

Заметим, что если , то . Тогда .

Следовательно, . (9)

Обратно, если , то Û.

Таким образом, равенство (9) является необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых.

Пусть ^, тогда формула (8) теряет свой смысл. Но в этом случае и . Тогда .

Следовательно,

или . (10)

Нетрудно проверить, что из следует, что ^. Условие (10) является условием перпендикулярности двух прямых.

ПРИМЕР 6.1. Найти проекцию точки на прямую .

На плоскости проведем прямую и построим точку . Обозначим через проекцию точки на прямую (рис.10).

 

 

Уравнение прямой будем искать в форме уравнения прямой по точке и угловому коэффициенту, т.е. в форме . Подставляя значения , получим . Прямые и перпендикулярны. Тогда согласно формуле (10) . Но , тогда . Следовательно, уравнения запишется в виде или .

Точка принадлежит обеим прямым и . Следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнениям обеих прямых. Тогда координаты точки найдутся из системы

Ответ: .

 

8. Общее уравнение прямой.

 

Как уже известно, уравнение , - действительные числа, является общим алгебраическим уравнением первой степени относительно двух переменных и . Установленные ранее формы уравнения прямой являются также алгебраическими уравнениями первой степени относительно и и при помощи простейших действий могут быть приведены к форме

. (11)

Покажем, что уравнение при любых , кроме , определяет прямую на координатной плоскости . Действительно, полагая одно из чисел или , например, , неравным нулю, получим

.

Сравнивая это уравнение с уравнением , найдем, что оно есть уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Следовательно, и уравнение есть уравнение прямой.

Уравнение (11)называется общим уравнением прямой.

Частные случаи:

1) если , то . Это есть уравнение прямой, проходящей через начало координат;

2) если , , то есть уравнение прямой, параллельной оси ;

3) если , то . Это уравнение прямой, параллельной оси . В частности, при получим -уравнение оси .

ПРИМЕР 7.1. Дана прямая . Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данной прямой.

Решение. Так как , то . Сравнивая полученное уравнение с уравнением , получим, что .

Искомая прямая должна быть параллельна данной прямой. Следовательно, согласно формуле (9) ее угловой коэффициент . Итак, для искомой прямой известна ее точка и угловой коэффициент . Тогда ее уравнение найдем по формуле (6)

.

Заметим попутно, что коэффициенты у искомой и данной прямых оказались равными. Этт факт не случаен (доказать самостоятельно).

Ответ: .

ВЫВОД. Заканчивая изложение вопроса о прямой линии на плоскости, еще раз отметим, что всякое алгебраическое уравнение первой степени относительно двух переменных и , т.е. уравнение вида , есть уравнение прямой линии на плоскости . И наоборот, уравнение любой прямой на этой плоскости является алгебраическим уравнением вида .

 

9. Кривые второго порядка.