Исследование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением текущих координат.
Исследование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением текущих координат. - раздел Математика, МАТРИЦЫ И ИХ ВИДЫ
Пусть Задано Общее Уравнение Кривой Второго Порядка (12) При ...
Пусть задано общее уравнение кривой второго порядка (12) при , т.е. уравнение вида
. (27)
Покажем, что уравнение (27) в зависимости от значений коэффициентов на плоскости определяет окружность, эллипс, гиперболу, параболу, пару прямых, точку или мнимую кривую.
1. Пусть .
Преобразуем уравнение (27), дополнив до полного квадрата члены, содержащие переменные и :
Введем обозначения, положив
. (28)
Тогда предыдущее уравнение запишется в форме
. (29)
Пусть , тогда .
Это уравнение определяет на плоскости единственную точку . Пусть . Тогда уравнение (29) можно записать в форме
.
Из сравнения этого уравнения с уравнением (23) следует, что это уравнение эллипса, а значит и уравнение (27) определяет эллипс с центром в точке и полуосями , где определяются равенствами (28).
В частности, при уравнение определяет окружность с центром в точке и радиусом .
Если же в уравнении (29) , то оно не удовлетворяется ни при каких значениях и . Следовательно, уравнение (27) не определяет кривой на плоскости (или говорят: определяет мнимый эллипс). Итак, уравнение (27) при на плоскости определяет либо эллипс, либо окружность, либо точку, либо мнимый эллипс.
2. Пусть .
Вновь, дополняя до полного квадрата слагаемые, содержащие переменные и , из (27) получим
, (30)
где определяются равенствами (28).
Если , то
.
Эти уравнения определяют пару пересекающихся прямых. Если , то уравнение (30) можно записать в форме
.
Это уравнение также определяет гиперболу с центром в той же точке , но с действительной полуосью , расположенной на прямой параллельной оси и мнимой полуосью , расположенной на прямой, параллельной оси .
Итак, уравнение (27) при определяет на плоскости либо гиперболу, либо пару пересекающихся прямых.
3. Пусть .
Выполняя те же преобразования, что и в предыдущих случаях, можно показать, что уравнение (27) определяет либо параболу с осью симметрии, параллельной оси , либо пару параллельных прямых, либо мнимое место точек (доказать самостоятельно).
4. Если .
В этом случае уравнение (27) определяет либо параболу с осью симметрии, параллельной оси , либо пару параллельных прямых, либо мнимое место точек.
ПРИМЕР 13.1. Определите вид линии, заданной уравнением , и изобразите эту линию на чертеже.
Решение. Сравнивая данное уравнение с общим уравнением кривых второго порядка, найдем, что . Так как , то, согласно случаю 2, данное уравнение определяет либо гиперболу, либо пару пересекающихся прямых.
Дополняя до полного квадрата слагаемые, содержащие переменные, получим
Уравнение определяет гиперболу с центром в точке , действительной полуосью и мнимой полуосью . С центром в точке построим основной прямоугольник гипрболы со сторонами (рис.19). диагонали этого прямоугольника являются асимптотами гиперболы. Так как прямые проходят через точку и имеют угловые коэффициенты , то уравнения асимптот найдутся по формулам или . Отсюда при и получим . Или и .
Рис.19
Вершины гиперболы при и располагаются в точках . Найдем координаты фокусов и гиперболы. Вычислим . Так как , то фокусы расположены в точках и . Эксцентриситет гиперболы . Используя полученные результаты, построим искомую гиперболу (рис.19).
Заключение. В разделе 13 рассмотрены наиболее простые случаи расположения кривых второго порядка на координатной плоскости. В специальных курсах аналитической геометрии доказывается, что алгебраическое уравнение при любых старших коэффициентах и всегда определяет либо окружность, либо эллипс, гиперболу, параболу, либо вырожденную кривую (точку, прямые, мнимые кривые).
ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ... Равенство матриц... Две матрицы А и В называются равными А В если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны...
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.
Пусть дана квадратная матрица А порядка n.
.
ОПРЕДЕ
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ.
Определители и матрицы широко применяются при решении систем линейных уравнений, т.е. систем, содержащих m уравнений первой степени относительно n неизвестных x
ФОРМУЛЫ КРАМЕРА.
Пусть задана система линейных уравнений, содержащая одинаковое число уравнений и неизвестных (m=n):
МЕТОДОМ ГАУССА.
Пусть задана система из m линейных уравнений с n неизвестными:
(27)
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Если при исследовании какой-либо технологической задачи вы получаете систему линейных алгебраических уравнений, то всегда можно ответить на вопрос, сколько решений она имеет, и найт
СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Величина, определяемая заданием своего численного значения, называется скалярной величиной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1
ЛИНЕЙНЫЕ ОПРЕЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.
Операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.
ложение векторов.
II. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.
Введение.
Аналитическая геометрия как наука занимается изучением свойств геометрических объектов средствами алгебры. Основным методом этой науки явл
Окружность.
В следующих параграфах рассматриваются геометрические образы алгебраического уравнения второй степени относительно двух переменных:
ГИПЕРБОЛА.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1. Гиперболойназывается множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каждой из которых от двух данных
ПАРАБОЛА.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директ
Поверхности второго порядка.
В нижеследующих параграфах рассматриваются некоторые геометрические образы алгебраических уравнений второй степени относительно трех переменных:
Цилиндрические поверхнсоти.
Поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими параллельно данной прямой через точки ли
Эллипсоид.
Одним из основных методов изучения поверхности, заданной своим уравнением, является метод сечений. В этом методе предлагается определять вид поверхности по ее линиям пересечения с р
Новости и инфо для студентов