рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Математика
/
Угол между плоскостями.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Угол между плоскостями.

Угол между плоскостями. - раздел Математика, МАТРИЦЫ И ИХ ВИДЫ Пусть В ...

Пусть в заданы своими уравнениями две плоскости

и .

Коэффициенты и уравнения плоскости являются проекциями нормального вектора к этой плоскости. Следовательно, один из смежных двугранных углов между плоскостями и равен углу между нормальными к этим плоскостям векторами:

и (рис.23).

Тогда

. (37)

По формуле (37) определяется один из смежных углов между данными плоскостями.

Следствие 1. Если плоскости и параллельны, то их нормальные векторы и коллинеарны. Тогда

. (38)

Условия (38) называются условиями параллельности двух плоскостей.

Следствие 2. Если плоскости и перпендикулярны, то в (37) угол . Тогда . Следовательно, и

. (39)

Условие (39) называется условием перпендикулярности двух плоскостей.

ПРИМЕР 19.1. Определить, при каком значении плоскость перпендикулярна плоскости .

Решение. Векторы являются нормальныи векторами к данным плоскостям.тогда согласно условию (39) плоскости взаимно перпендикулярны, если .

Ответ: 6.

ПРИМЕР 19.2. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку параллельно плоскости .

Решение. Искомая плоскость проходит через заданную точку , тогда ее уравнение, согласно формуле (34), запишется в виде

Искомая плоскость параллельна заданной плоскости. Тогда из условия параллельности двух плоскостей (38) получим

. Отсюда .

Подставляя найденные коэффициенты в предыдущее уравнение, найдем уравнение искомой плоскости

20. Прямая в пространстве . Векторное, канонические и параметрические уравнения прямой.

Положение прямой в пространстве может быть определено заданием:

1) любых двух точек;

2) ее точки и вектора , параллельного этой прямой;

3) 0

Поставим задачу определения уравнения прямой в каждом из этих случаев.

Пусть в пространстве дана точка и вектор . Тогда через точку параллельно вектору проходит единственная прямая . Для определения ее уравнения выберем в произвольную точку и построим векторы

Согласно определению суммы векторов получим

(рис.24).

Пусть точка , тогда векторы и коллинеарны. Следовательно, , где - параметр, принимающий любое значение из в зависимости от положения точки на прямой . Тогда для точки имеем

, где . (40)

Если точка , то векторы и не коллинеарны.

Следовательно, для таких точек равенство (40) не выполняется ни при каких . Итак, уравнение (40) является векторным уравнением прямой, а вектор называется направляющим вектором прямой. Воспользовавшись координатами векторов из (40), получим

(41)

Уравнения (41) называются параметрическими уравнениями прямой с параметром в пространстве .

Исключая параметр из уравнений (41), найдем, что

. (42)

Уравнения (42) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве .

Замечание. В уравнении (42) условились считать, что числа и могут принимать любые значения, кроме одновременного равенства и нулю. В частности, если уравнение (423) имеет вид , о это уравнение есть уравнение прямой, перпендикулярной оси . Действительно, при направляющий вектор перпендикулярен оси . Следовательно, и параллельная вектору прямая перпендикулярна этой оси. Если же уравнение (42) имеет вид ,то это уравнение является уравнением прямой, перпендикулярной плоскости .

ПРИМЕР 20.1. Определить, лежит ли точка на прямой , проходящей через точку параллельно вектору .

Решение. Найдем уравнения прямой в канонической форме. Полагая , получим .

Подставляя в эти уравнения координаты точки , найдем .

Следовательно, точка принадлежит прямой .

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

МАТРИЦЫ И ИХ ВИДЫ

ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ... Равенство матриц... Две матрицы А и В называются равными А В если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Угол между плоскостями.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

МАТРИЦЫ И ИХ ВИДЫ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Прямоугольная таблица, составленная из чисел, называется матрицей. Дл

Сложение матриц.
Пусть даны матрицы А=(aij) и В=(bij), имеющие одинаковые размеры .

Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы А=(аij) размеров на число l называется матрица В=

Умножение матриц.
Пусть заданы матрица А размеров и матрица в размеров

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
Пусть дана квадратная матрица второго порядка . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Опреде

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА.
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка .

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.
Пусть дана квадратная матрица А порядка n. . ОПРЕДЕ

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ.
Определители и матрицы широко применяются при решении систем линейных уравнений, т.е. систем, содержащих m уравнений первой степени относительно n неизвестных x

ФОРМУЛЫ КРАМЕРА.
Пусть задана система линейных уравнений, содержащая одинаковое число уравнений и неизвестных (m=n):

МЕТОДОМ ГАУССА.
Пусть задана система из m линейных уравнений с n неизвестными: (27)

ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Если при исследовании какой-либо технологической задачи вы получаете систему линейных алгебраических уравнений, то всегда можно ответить на вопрос, сколько решений она имеет, и найт

СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Величина, определяемая заданием своего численного значения, называется скалярной величиной. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1

ЛИНЕЙНЫЕ ОПРЕЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.
Операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами. ложение векторов.

ВЕКТОРА НА ОСЬ.
Пусть заданы векторы и

ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ ВЕКТОРОВ. БАЗИС.
Пусть заданы векторы и числа

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ДЕКАРТОВАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ.
Пусть в пространстве векторы

ЗАДАННЫМИ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ.
Пусть векторы и

Задачи определения расстояния между двумя точками.
Пусть в пространстве

Задача деления отрезка в данном отношении.
Пусть даны две точки и

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Пусть даны два вектора и

Свойства скалярного произведения векторов.
1) ; 2) , ес

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторным произведением вектора на вектор

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Пусть даны три вектора . Так как для векторов введены два вида произведений – скалярное и век

II. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.
Введение. Аналитическая геометрия как наука занимается изучением свойств геометрических объектов средствами алгебры. Основным методом этой науки явл

Уравнение прямой по двум точкам.
Пусть на плоскости даны две точки

Окружность.
В следующих параграфах рассматриваются геометрические образы алгебраического уравнения второй степени относительно двух переменных:

ГИПЕРБОЛА.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1. Гиперболойназывается множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каждой из которых от двух данных

ПАРАБОЛА.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директ

Уравнение кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными осями координат.
Рассмотрим предварительно одну из частных задач преобразования системы координат. Пусть на плоскости введены две прямоугольные декартовы системы координат

Исследование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением текущих координат.
Пусть задано общее уравнение кривой второго порядка (12) при , т.е. уравнение вида

Неравенства второй степени относительно двух переменных.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14.1. Неравенство (или

Плоскость. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.
Положение плоскости в пространстве

Уравнение плоскости по трем точкам.
Пусть в пространстве даны три точки

Общее уравнение плоскости.
Пусть задано произвольное алгебраическое уравнение первой степени относительно переменных

Уравнение прямой по двум ее точкам.
Пусть прямая проходит через данные точки

Общие уравнения прямой.
Пусть в пространстве даны своими уравнениями

Угол между двумя прямыми.
Пусть в пространстве даны две прямые

Угол между прмой и плоскостью.

Точка пересечения прямой с плоскостью.
Пусть прямая пересекает плоскость

Поверхности второго порядка.
В нижеследующих параграфах рассматриваются некоторые геометрические образы алгебраических уравнений второй степени относительно трех переменных:

Цилиндрические поверхнсоти.
Поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими параллельно данной прямой через точки ли

Эллипсоид.
Одним из основных методов изучения поверхности, заданной своим уравнением, является метод сечений. В этом методе предлагается определять вид поверхности по ее линиям пересечения с р

Эллиптический параболоид.
Пусть задано уравнение , где

Однополостный гиперболоид.
Однополостным гиперболоидом назвается поверхность, определяемая уравнением

Двуполостной гипрболоид.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, заданная уравнением