рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА.

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА. - раздел Математика, МАТРИЦЫ И ИХ ВИДЫ   Пусть Дана Квадратная Матрица Третьего Порядка ...

 

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.1. Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице А, называется число

(7)

Определитель третьего порядка обозначается символом

, (8)

где числа называются его элементами.

Индексы и у элемента показывают номера строки и столбца, на пересечении которых записан этот элемент.

Например, элемент расположен на пересечении второй строки () и третьего столбца ().

Элементы образуют главную диагональ определителя, а элементы - побочную диагональ.

Определение 4.1 имеет сложный по форме вид, поэтому для нахождения определителя третьего порядка предложены более простые правила. Так, согласно правилу треугольников необходимо:

1) вычислить с собственными знаками произведения элементов, лежащих на главной диагонали и в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны этой диагонали (рис.1);

2) найти произведения элементов, лежащих на побочной диагонали и в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали, и взять их с противоположными знаками (рис.2);

3) найти общую сумму всех произведений.

 

 

ПРИМЕР 4.1. .

Все свойства определителей второго порядка справедливы и для определителей третьего порядка. Доказательства этих свойств основаны на вычислении определителя третьего порядка по формуле (7).

Например, покажем, что определитель, у которого элементы двух его строк пропорциональны, равен нулю. Действительно,

Аналогично проверяется справедливость и других свойств.

Пусть дан определитель (8) третьего порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2. Минором элемента , где определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца. Так, например, минор элемента есть определитель

, а минор элемента есть .

С помощью миноров определитель (7) можно записать в виде

.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.3. Алгебраическим дополнением элемента , где , называется минор этого элемента, взятый со знаком .

Согласно определению 4.3. имеем.

, где . (10)

Например,

,

и т.д.

 

ТЕОРЕМЕ 4.1. (Разложение определителя по элементам строки или столбца).

Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Иными словами, имеют место шесть равенств:

(11)

Проверим, например, справедливость равенства:

.

Согласно определениям минора и алгебраического дополнения получим

ТЕОРЕМЕ 4.2.Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов любой другой его строки (столбца) равна нулю.

Для определенности выберем элементы первой строки и алгебраические дополнения элементов второй строки определителя. Составим сумму произведений и покажем, что эта сумма равна нулю.

Действительно,

Аналогично проверяется равенство нулю и всех других подобных сумм.

В заключение рассмотрим схему использования свойств определителя и теоремы разложения при вычислении определителя.

ПРИМЕР 4.2. Вычислить определитель .

Решение. Разложим определитель по элементам третьей строки.

ПРИМЕР 4.3. Вычислить определитель .

Решение. Прибавляя ко второй строке первую, умноженную на -8, получим . Раскладывая этот определитель по элементам второй его строки, найдем

.

 

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ n-го ПОРЯДКА.

 

Пусть дана квадратная матрица А n-го порядка

.

Определитель n-го порядка, соответствующий квадратной матрице А, обозначается символом

(12)

и определяется как число

, (13)

где есть миноры соответствующих элементов , т.е. определители (n-1)-го порядка, полученные из данного вычеркиванием его первой строки и соответственно первого, второго, …, n-го его столбцов.

Например, .

Так как каждый минор , где k=1,2,…,n есть определитель (n-1)-го порядка, то согласно (13) вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей (n-1)-го порядка.

ПРИМЕР 5.1. Вычислить определитель .

Решение. Согласно (13) получим

Определители n-го порядка имеют те же свойства, что и определители третьего порядка. Их справедливость проверяется с помощью соотношения (13).

Выберем в определителе D элемент , где .

Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из D вычеркиванием его i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнениемэлемента называется минор этого элемента, взятый с дополнительным знаком (-1)i+j, т.е.

, где . (14)

Для определителей n-го порядка также остается справедливой теореме разложения, т.е. определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на алгебраические дополнения этих элементов.

(15)

Равенство (15) содержит 2n формул, по каждой из которых можно произвести вычисление определителя.

На практике полезно перед применением теоремы разложения преобразовать определитель с помощью его свойств так, чтобы в одной из его строк (столбцов) образовалось максимальное число нулевых элементов.

ПРИМЕР 5.2. Вычислить определитель

.

Решение. Вычитая из второго столбца первый, а из четвертого столбца третий, найдем

,

так как образовавшийся определитель содержит два одинаковых столбца.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

МАТРИЦЫ И ИХ ВИДЫ

ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ... Равенство матриц... Две матрицы А и В называются равными А В если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

МАТРИЦЫ И ИХ ВИДЫ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Прямоугольная таблица, составленная из чисел, называется матрицей. Дл

Сложение матриц.
  Пусть даны матрицы А=(aij) и В=(bij), имеющие одинаковые размеры .

Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы А=(аij) размеров на число l называется матрица В=

Умножение матриц.
Пусть заданы матрица А размеров и матрица в размеров

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
Пусть дана квадратная матрица второго порядка . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Опреде

ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.
  Пусть дана квадратная матрица А порядка n. . ОПРЕДЕ

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ.
  Определители и матрицы широко применяются при решении систем линейных уравнений, т.е. систем, содержащих m уравнений первой степени относительно n неизвестных x

ФОРМУЛЫ КРАМЕРА.
  Пусть задана система линейных уравнений, содержащая одинаковое число уравнений и неизвестных (m=n):

МЕТОДОМ ГАУССА.
  Пусть задана система из m линейных уравнений с n неизвестными: (27)

ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
  Если при исследовании какой-либо технологической задачи вы получаете систему линейных алгебраических уравнений, то всегда можно ответить на вопрос, сколько решений она имеет, и найт

СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
  ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Величина, определяемая заданием своего численного значения, называется скалярной величиной. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1

ЛИНЕЙНЫЕ ОПРЕЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.
Операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами. ложение векторов.

ВЕКТОРА НА ОСЬ.
  Пусть заданы векторы и

ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ ВЕКТОРОВ. БАЗИС.
  Пусть заданы векторы и числа

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ДЕКАРТОВАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ.
  Пусть в пространстве векторы

ЗАДАННЫМИ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ.
  Пусть векторы и

Задачи определения расстояния между двумя точками.
  Пусть в пространстве

Задача деления отрезка в данном отношении.
  Пусть даны две точки и

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
  Пусть даны два вектора и

Свойства скалярного произведения векторов.
1) ; 2) , ес

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторным произведением вектора на вектор

СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
  Пусть даны три вектора . Так как для векторов введены два вида произведений – скалярное и век

II. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.
Введение.   Аналитическая геометрия как наука занимается изучением свойств геометрических объектов средствами алгебры. Основным методом этой науки явл

Уравнение прямой по двум точкам.
  Пусть на плоскости даны две точки

Окружность.
  В следующих параграфах рассматриваются геометрические образы алгебраического уравнения второй степени относительно двух переменных:

ГИПЕРБОЛА.
  ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1. Гиперболойназывается множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каждой из которых от двух данных

ПАРАБОЛА.
  ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директ

Уравнение кривых второго порядка с осями симметрии, параллельными осями координат.
  Рассмотрим предварительно одну из частных задач преобразования системы координат. Пусть на плоскости введены две прямоугольные декартовы системы координат

Исследование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением текущих координат.
  Пусть задано общее уравнение кривой второго порядка (12) при , т.е. уравнение вида

Неравенства второй степени относительно двух переменных.
  ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14.1. Неравенство (или

Плоскость. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.
Положение плоскости в пространстве

Уравнение плоскости по трем точкам.
Пусть в пространстве даны три точки

Общее уравнение плоскости.
Пусть задано произвольное алгебраическое уравнение первой степени относительно переменных

Угол между плоскостями.
  Пусть в заданы своими уравнениями две плоскости

Уравнение прямой по двум ее точкам.
  Пусть прямая проходит через данные точки

Общие уравнения прямой.
  Пусть в пространстве даны своими уравнениями

Угол между двумя прямыми.
  Пусть в пространстве даны две прямые

Угол между прмой и плоскостью.
       

Точка пересечения прямой с плоскостью.
  Пусть прямая пересекает плоскость

Поверхности второго порядка.
  В нижеследующих параграфах рассматриваются некоторые геометрические образы алгебраических уравнений второй степени относительно трех переменных:

Цилиндрические поверхнсоти.
  Поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими параллельно данной прямой через точки ли

Эллипсоид.
  Одним из основных методов изучения поверхности, заданной своим уравнением, является метод сечений. В этом методе предлагается определять вид поверхности по ее линиям пересечения с р

Эллиптический параболоид.
  Пусть задано уравнение , где

Однополостный гиперболоид.
  Однополостным гиперболоидом назвается поверхность, определяемая уравнением

Двуполостной гипрболоид.
  Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, заданная уравнением

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги