ФОРМУЛЫ КРАМЕРА. - раздел Математика, МАТРИЦЫ И ИХ ВИДЫ
Пусть Задана Система Линейных Уравнений, Содержащая Одинаково...
Пусть задана система линейных уравнений, содержащая одинаковое число уравнений и неизвестных (m=n):
(19)
Введем три матрицы
, , .
Матрица А, составленная из коэффициентов системы, является квадратной матрицей порядка n. Матрицы Х и В являются столбцовыми и составлены соответственно из неизвестных и свободных членов системы.
Так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы Х, то существует произведение , являющееся столбцовой матрицей тех же размеров, что и матрица В. Тогда систему уравнений (19) можно записать в форме одного матричного уравнения.
. (20)
Для определения матрицы Х из (20) допустим, что матрица А имеет обратную матрицу А-1, определяемую формулой (17). Тогда, умножая обе части (20) слева А-1, получим
. (21)
По определению обратной матрицы , где Е – единичная матрица порядка n. Отсюда .
Следовательно, уравнение (21) запишется в виде
. (22)
Матричное равенство (22) определяет решение заданной системы уравнений в матричной форме. Для определения конкретных значений неизвестных перепишем (22) в виде
, (23)
где - определитель, соответствующий матрице А;
- алгебраические дополнения элементов этой матрицы.
Перемножив матрицы в правой части (23), найдем
.
Отсюда, согласно условию равенства двух матриц, получим
, , …,
…, . (24)
Формулы (24) и определяют решение системы (19). Для запоминания этих формул и последующего их применения на практике группу определителей:
, ,
, …, .
Заметим, что определитель , получен из Δ заменой его первого столбца на столбец сводных членов, определитель , получен из Δ заменой его второго столбца на столбец свободных членов и т.д. Разложим каждый из определителей по столбцу членов . Тогда
, , …,
. (25)
Из сравнения полученных результатов (25) с числителями равенств (24) следует, что решение системы (19) можно записать в виде
. (26)
Формулы (26) называются формулами Крамера.
ПРИМЕР 8.1. Решить по формулам Крамера систему уравнений
Решение. Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель Δ этой системы.
.
Так как , то решение можно найти по формулам Крамера:
, . Тогда
, . Ответ: (1;2).
ПРИМЕР 8.2. Решить матричным способом систему уравнений
Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель Δ этой системы:
.
Так как , то система может быть решена матричным способом.
Составим матрицы , , .
Так как определитель системы , то матрица А имеет обратную матрицу А-1, где
ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ... Равенство матриц... Две матрицы А и В называются равными А В если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
ФОРМУЛЫ КРАМЕРА.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.
Пусть дана квадратная матрица А порядка n.
.
ОПРЕДЕ
ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ.
Определители и матрицы широко применяются при решении систем линейных уравнений, т.е. систем, содержащих m уравнений первой степени относительно n неизвестных x
МЕТОДОМ ГАУССА.
Пусть задана система из m линейных уравнений с n неизвестными:
(27)
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Если при исследовании какой-либо технологической задачи вы получаете систему линейных алгебраических уравнений, то всегда можно ответить на вопрос, сколько решений она имеет, и найт
СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Величина, определяемая заданием своего численного значения, называется скалярной величиной.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1
ЛИНЕЙНЫЕ ОПРЕЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.
Операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами.
ложение векторов.
II. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ.
Введение.
Аналитическая геометрия как наука занимается изучением свойств геометрических объектов средствами алгебры. Основным методом этой науки явл
Окружность.
В следующих параграфах рассматриваются геометрические образы алгебраического уравнения второй степени относительно двух переменных:
ГИПЕРБОЛА.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10.1. Гиперболойназывается множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каждой из которых от двух данных
ПАРАБОЛА.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директ
Поверхности второго порядка.
В нижеследующих параграфах рассматриваются некоторые геометрические образы алгебраических уравнений второй степени относительно трех переменных:
Цилиндрические поверхнсоти.
Поверхность, образованная всеми прямыми, проходящими параллельно данной прямой через точки ли
Эллипсоид.
Одним из основных методов изучения поверхности, заданной своим уравнением, является метод сечений. В этом методе предлагается определять вид поверхности по ее линиям пересечения с р
Новости и инфо для студентов