Гирлин С.К. Интегральные уравнения

 

С.К. ГИРЛИН (составитель)

 

Компьютерная математика. ЛЕКЦИИ

(по книгам: 1) Черняк А.А., Новиков В.А., Мельников О.И.,

Кузнецов А.В. «Математика для экономистов на базе Mathcad»;

2) Гирлин С.К. «Интегральные уравнения»)

 

Ялта, 2013

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

Глава 1. Общие математические и экономические понятия …..4

1.1. n-мерное векторное пространство действительных чисел. Математическая часть ………………………………………………4

1.2. n-мерное векторное пространство действительных чисел. Компьютерная часть …………………………………………………9

N-мерное векторное пространство действительных

1.4. Матрицы. Математическая часть …………………………… 11 1.5. Матрицы. Компьютерная часть ……………………………… 15 1.6. Матрицы. Задачи …………………………………………………16

Глава 1. Общие математические и экономические понятия.

 

N-мерное векторное пространство действительных чисел. Математическая часть

Вектором размерности называется упорядоченная последовательность действительных чисел . Числа называются координатами вектора .

Два вектора и одинаковой размерности называются равными, если они равны покоординатно: Вектор называется нулевым. Длиной вектора называется число

Операции над векторами

1. Сложение векторов одинаковой размерности: суммой двух векторов и называется вектор

2. Умножение вектора на скаляр: произведением вектора на действительное число (скаляр) называется вектор

3. Скалярное произведение двух векторов одинаковой размерности: число называется скалярным произведением двух векторов и и будет обозначаться Векторы и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно 0.

Теорема 1.1 (основные свойства операций над векторами):

1.

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7.

Докажем второе, пятое и шестое свойства. Пусть , , . Тогда =

;

Аналогично доказывается, что .

Так как , то

Теорема 1.2.

Доказательство. Пусть . Тогда

Так как , то

откуда and . Теорема доказана.

Определение. Множество всех векторов размерности n, в котором заданы операции сложения векторов и умножения векторов на скаляры, называется n-мерным векторным пространством действительных чисел и обозначается .

Определение. Вектор представим в виде линейной комбинации векторов с коэффициентами , если . Если при этом не все коэффициенты равны нулю, то такую линейную комбинацию будем называть ненулевой комбинацией; если же все (и, следовательно, ), то такую линейную комбинацию будем называть нулевой.

Определение. Система векторов V из называется линейно независимой, если нулевой вектор из не может быть представлен в виде ненулевой комбинации векторов из V. В противном случае система V называется линейно зависимой. Другими словами, в случае линейно независимой системы векторов из равенства следует, что все коэффициенты в случае линейно зависимой системы из того же равенства вытекает существование такого набора коэффициентов, среди которых есть хотя бы один ненулевой.

Пример. Если , , то непосредственно проверяется равенство Выполнение этого равенства означает, что система векторов , линейно зависима.

Если система векторов В включает в себя все векторы системы А, то А называется подсистемой В.

Теорема 1.3. Если система векторов В содержит линейно зависимую подсистему векторов А, то В также линейно зависима.

Доказательство. Пусть , . Так как А линейно зависимая система, то нулевой вектор представим в виде ненулевой комбинации векторов из А: . Но тогда , что означает линейную зависимость системы векторов В. Теорема доказана.

Следствие 1.1. Любая подсистема векторов линейно независимой системы векторов линейно независима.

Теорема 1.4. Пусть линейно независимая система векторов А после добавления нового вектора В стала линейно зависимой системой . Тогда вектор представим в виде лингейной комбинации векторов из А.

Доказательство. Пусть . Ввиду линейной зависимости системы векторов нулевой вектор представим в виде ненулевой комбинации Если , то , где не все равны 0, что противоречит линейной независимости системы векторов А. Поэтому , откуда . Теорема доказана.

Определение. Максимально возможное число векторов в линейно независимой подсистеме системы векторов V называется рангом системы V.

Очевидно, ранг линейно независимой системы векторов равен числу векторов в этой системе.

Элементарными преобразованиями системы векторов называются:

- умножение любого вектора этой системы на ненулевое число (элементарное преобразование типа 1);

- прибавление к одному из векторов системы любого другого вектора этой системы, умноженного на произвольное число (элементарное преобразование типа 2).

Теорема 1.5. Элементарные преобразования сохраняют линейную независимость или линейную зависимость системы векторов.

Доказательство.Докажем эту теорему только для элементарных преобразований типа 2. Пусть , а система В получается из А в результате прибавления к первому вектору второго вектора, умноженного на число , т.е. . Очевидно, равенства

и

равносильны, поскольку любое из них вытекает из другого, причем из равенства нулю в одном из них ( например, ) вытекает равенство коэффициентов в другом (). Теорема доказана.

Теорема 1.6.Система векторов, состоящая из единственного ненулевого вектора линейно независима.

Теорема 1.7. Система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

Следующая система векторов называется лестничной:

…………………………………….

.

Теорема 1.8. Лестничная система векторов линейно независима.

Доказательства теорем 1.6 - 1.8 очевидны.

Теорем1.9. Если число векторов в линейно независимой подсистеме А системы векторов В равно рангу В, то любой вектор из В представим в виде линейной комбинации векторов из А.

Доказательство. Пусть - произвольный вектор из В. Если , то все очевидно. Если , то система векторов будет линейно зависимой по определению ранга. Тогда выполняются условия теоремы 1.4, из которой и следует искомое утверждение.

Теорема 1.10. С помощью элементарных преобразований можно переставить местами любые два вектора системы векторов.

Доказательство. Следующая цепочка систем векторов показывает последовательность элементарных преобразований, которые меняют местами векторы и в начальной системе векторов :

, , ,

, . Теорема доказана.

 

N-мерное векторное пространство действительных чисел. Компьютерная часть

Координаты векторов вводятся на рабочем листе Mathcad – документа следующим образом. Пусть, к примеру, надо ввести вектор Разместите курсор (красный крестик) в нужном месте рабочего листа. Введите имя вектора Клавишей введите знак присваивания z . Комбинацией клавиш выведите диалоговое окно Вставить матрицу(Insert Matrix).В полеСтрок(Rows)этого окна задайте размерность 4 вектора. В поле Колонок ( Colomns) задайте 1. Щелкните на кнопке OK. Справа от знака присваивания (на месте метки, выделенной синим курсором ввода) появится шаблон вектора с метками для ввода его координат:

 

Некоторые операции над векторами производятся с помощью подпанели инструментов Матрица(Matrix), для вызова которой надо щелкнуть на кнопке панели инструментов Математика(Math). Подпанель Матрица(Matrix) содержит 12 кнопок. Щелкнув на кнопке скалярного произведения, можно вывести шаблон и на месте меток ввести векторы, участвующие в скалярном произведении. Кнопка задает шаблон для определения суммы координат вектора, имя которого следует задать на месте метки.

N-мерное векторное пространство действительных чисел. Задачи

2. Доказать все свойства сформулированные в теореме 1.1. 3. Доказать, что косинус угла между векторами и равен 1, если один из них… 4. Доказать, что косинус угла между векторами и равен -1, если один из них равен другому, умноженному на некоторое…

Матрицы. Математическая часть

Определение. Матрицей М размера называется прямоугольная таблица с строками и столбцами, состоящая из чисел, называемых элементами матрицы М. Элемент матрицы, расположенный на пересечении -ой строки и -ого столбца обозначается через ; будем говорить, что этот элемент находится на позиции . Матрица размера называется квадратной матрицей порядка . Единичной матрицей Е порядка называется квадратная матрица порядка , в которой элементы равны 1, б а остальные элементы (,, ) равны 0.

Говорят, что элементы , , образуют главную диагональ квадратной матрицы порядка .

Любую строку или столбец матрицы размера можно рассматривать как вектор пространства или соответственно. При необходимости они будут считаться таковыми без особых оговорок. Однако при этом следует различать, является ли вектор строкой, которая будет называться вектор-строкой, или столбцом, который будем называть вектор-столбцом. Вектор-строка – это матрица размера , а вектор-столбец – матрица размера . Там, где не будет ясно из контекста, какие векторы имеются в виду, это будет уточняться дополнительно.

Операции над матрицами:

- сложить (вычесть) две матрицы одинакового размера означает сложить (вычесть) их элементы, стоящие на одинаковых позициях; при этом получится матрица того же размера;

- умножить матрицу на скаляр означает умножить на это число все элементы матрицы;

- транспонировать матрицу означает преобразовать ее в матрицу , строки которой являются столбцами матрицы с теми же номерами;

- умножить матрицу размера на матрицу размера означает получить матрицу размера , элемент которой равен скалярному произведению -ой строки матрицы и -го столбца матрицы , т.е.

Замечание 1.1 Для упрощения записи знак умножения в произведении матриц будем опускать.

Теорема 1.11. Пусть , , , - матрицы, - квадратная матрица. Тогда , , , , (где - единичная матрица) при условии, что размеры матриц согласуются во всех операциях сложения и умножения.

Доказательствопроведем для последних двух утверждений теоремы. Для доказательства равенства матриц и достаточно сравнит их элементы на одинаковых позициях. На позиции в матрице находится некоторое число , равное скалярному произведению -ой строки матрицы и -ого столбца . Но -я строка матрицы - это -й столбец матрицы , а -й столбец матрицы - это -я строка матрицы . Поэтому число равно скалярному произведению -щй строки матрицы и -го столбца матрицы , т.е. число находится на позиции матрицы или на позиции матрицы . Свойство доказано.

Для доказательства равенства рассмотрим число на позиции матрицы : если -я строка в есть , то

,

так как в -ом столбце матрицы именно -я координата равна 1, а остальные координаты равны 0. Итак, доказано, что . Равенство доказывается аналогично.

Замечание 1.2. Если рассматривать векторы и как матрицы, то скалярное произведение можно записать следующим образом:

Пусть задана система линейных уравнений с переменными, имеющая следующий вид:

Здесь называются коэффициентами при переменных, - свободными членами, . Если использовать обозначения

, , ,

то систему (1.1) можно записать в матричном виде: . Если использовать обозначения:

то систему (1.1) можно записать тремя способами в векторном и векторно-матричном виде:

или

Следом квадратной матрицы называется сумма элементов, стоящих на главной диагонали.

Теорема 1.12. След матрицы равен следу матрицы .

Доказательство. Обозначим через и элементы матриц и соответственно. Элемент главной диагонали матрицы , находясь на позиции , является скалярным произведением -й строки матрицы и -го столбца матрицы :

.

Поэтому след матрицы равен . Переставим знаки суммирования:

Нетрудно видеть, что выражение в скобках есть элемент матрицы на позиции . Поэтому последнее выражение является следом матрицы .

Теорема 1.13.Пусть , и , где А, В, С – квадратные матрицы порядка , , , - квадратные матрицы порядка , , , - квадратные матрицы порядка (), , , - матрицы размера , , , матрицы порядка . Тогда , , , .

Доказательство.Пусть

и .

Рассмотрим элемент матрицы . Тогда:

.

Но сумма в первой скобке – это элемент произведения , находящийся на позиции , а сумма во второй скобке – это элемент произведения , находящийся на той же позиции. Следовательно, . Аналогично доказываются и другие равенства.

Теорема 1.14.Пусть А – матрица размера . Тогда .

Доказательство.Используем замечание 1.2 и теорему 1.12:

, что и требовалось доказать.

 

Матрицы. Компьютерная часть

Индексы матриц и векторов в Mathcad могут принимать целые неотрицательные значения. Начало индексации (нумерации) строк и столбцов матриц задается системной переменной . Например, означает, что нумерация строк и столбцов начинается с нуля. По умолчанию значение переменной равно нулю.

Ввод элементов матрицы аналогичен вводу координат векторов. Пусть, к примеру, надо ввести матрицу В нужном месте рабочего листа введите имя матрицы и знак присваивания . Затем выведите диалоговое окно Вставить матрицу (Insert Matrix). В поле Строк (Rows) этого окна надо задать число строк 3, а в поле Колонок(Columns) – число столбцов 2. После щелчка кнопкой OKсправа от знака присваивания появится шаблон матрицы с метками для ввода ее элементов:

Чтобы извлечь элемент матрицы, находящийся на позиции , необходимо набрать имя матрицы с индексами (индексы – через запятую) в случае равенства единице или с индексами в случае равенства нулю. Рассмотрим, например, элемент 8ю2 матрицы , который находится на позиции (3,2). Предположим, что равно нулю. Для извлечения элемента 8.2 наберите имя матрицы , затем комбинацией клавиш перейдите в режим ввода индексов: . Введите на месте метки индексы 2,1. Клавишей введите знак равенства, справа от которого появится искомый элемент: .

Некоторые операции над матрицами производятся с помощью подпанели Матрица (Matrix). Щелчок на кнопке сразу же после ввода имени матрицы приводит к транспонированию этой матрицы. Щелчок по кнопке сразу же после ввода имени матрицы приводит к появлению шаблона с меткой для ввода номера столбца матрицы: . На месте метки надо ввести номер того столбца, который требуется извлечь. Например, (в случае равенства нулю).

Стандартные функции и определяют соответственно число строк и столбцов матрицы М. Например, и .

 

Матрицы. Задачи

2. Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ=ВА. Доказать, что квадратная матрица А перестановочна со всеми квадратными матрицами того же… 3. Найти матрицы и , где а) , , ;

Метод Гаусса. Математическая часть

Рассмотрим систему уравнений относительно неизвестных

(1.1)

Ее решениями являются такие наборы значений переменных , которые превращают каждое уравнение системы в тождество. Система (1.1) однозначно определяет «расширенную» матрицу с столбцами, в которой матрицы и просто расположены рядом. В то же время любой матрице с столбцами можно сопоставить систему линейных уравнений с переменными: для этого достаточно считать элемент на позиции коэффициентом при переменной в -м уравнении, если , и свободным членом -го уравнения, если . В этих случаях матрицу и систему будем называть соответствующими. Строку расширенной матрицы будем называть противоречивой, если последний ее элемент отличен от нуля, а остальные элементы нулевые.

Утверждение 1.1. Если расширенная матрица содержит хотя бы одну противоречивую строку, то соответствующая ей система линейных уравнений не имеет решения.

Аналогично элементарным преобразованиям векторов можно рассмотреть элементарные преобразования строк матрицы:

- умножение строки на любое ненулевое число (элементарное преобразование типа 1);

- прибавление к одной из строк другой, умноженной на любое число (элементарное преобразование типа 2).

Утверждение 1.2. Элементарные преобразования строк расширенных матриц не изменяют множества решений соответствующей системы уравнений.

Если удалить из расширенной матрицы последний столбец, а затем все нулевые строки (если таковые имеются), то получим так называемую приведенную матрицу .

Пусть приведенная матрица имеет размер (). Если в существует столбцов, в которых ровно по одному ненулевому элементу, причем никакие два их этих ненулевых элементов не находятся в одной строке, то переменные, соответствующие эти столбцам, называются базисными, остальные переменные – свободными. Базисные переменные составляют так называемый базис переменных.

Пример.

Составим расширенную матрицу этой системы:

.

Нетрудно увидеть, что данная система имеет два базиса переменных: . Решим эту систему, например, относительно первого базиса: ; здесь переменные ,- свободные и могут принимать произвольные значения, по которым затем определяются значения базисных переменных.

Этот пример помогает заметить следующее очевидное утверждение: если система имеет базис переменных, то она разрешима относительно этого базиса, при этом при наличии свободных переменных система будет иметь бесконечно много решений, а при их отсутствии значения базисных переменных определяются однозначно.

Метод Гаусса, описанный ниже, позволяет с помощью элементарных преобразований привести систему к виду, содержащему базис переменных, либо установить отсутствие решения.

Шагом алгоритма Гаусса будем считать переход от системы линейных уравнений к равносильной системе, имеющей большее число столбцов с единственным ненулевым элементом. Для удобства пользования вместо системы уравнений будем преобразовывать соответствующую ей матрицу. Ниже приведено описание шага алгоритма. Алгоритм прекращает работу при установлении неразрешимости системы или при невозможности выполнения очередного шага.

Алгоритм Гаусса

- Выберем ненулевой элемент матрицы и назовем его разрешающим элементом. К этому элементу предъявляется единственное требование: чтобы на предыдущих… - С помощью элементарных преобразований все остальные элементы разрешающего… Пример 1. Решить систему уравнений:

Метод Гаусса. Компьютерная часть

При определении элементов матрицы и операций над ними часто приходится использовать так называемые ранжированные переменные, принимающие значения из заданного промежутка с равными интервалами – шага изменения. Пусть, к примеру, требуется определить ранжированную переменную с начальным значением , конечным значением и с заданным шагом изменения . В этом случае в нужном месте рабочего листа вводится имя переменной , знак присваивания и затем через запятую значения и ; после этого клавишей вводится знак и на месте появившейся метки вводится . Если конечное значение при заданном шаге не достигается точно, то последним значением переменной будет наибольшее возможное значение, не превышающее . Выражение можно опускать. В этом случае шаг по умолчанию равен 1 (если больше ) или -1 (если меньше ).

Следует различать знаки равенства и логического равенства, которые на экране почти неразличимы (логический знак равенства отличается только полужирным шрифтом). Знак равенства, вводимый клавишей , используется для получения на экране численного значения выражения, предшествующего этому знаку. Иное – знак логического равенства. Он вводится комбинацией клавиш и имеет двоякое значение: помимо логических (булевых) выражений, он используется при вводе уравнений, связывая их левые и правые части. Так, щечок на кнопке подпанели Логические(Boolean) вызывает шаблон для ввода левой и правой частей уравнения.

Для решения систем уравнений в Mathcad используется так называемые блоки решений. Каждому такому блоку должно предшествовать задание начальных (стартовых) значений для искомых переменных. Начинается блок ключевым словом . Затем вводится собственно система уравнений. Завершается блок встроенной функцией , аргументами которой являются переменные системы (допускается векторная форма записи этих переменных). Если система имеет несколько решений, то найденное функцией решение определяется набором начальных значений переменных. Возможно также параметрическое решение системы уравнений с помощью функции относительно параметров , присутствующих в записи этой системы. В этом случае должна быть определена функция решений, зависящая от параметров . Например, . Придавая затем различные значения перменным , получим конкретные решения исходной системы.

 

Метод Гаусса. Задачи

2. Пусть система (1.1) имеет решения и . Найти систему линейных уравнений с теми же коэффициентами при переменных, как и в системе (1.1), имеющую… 3. Пусть система (1.1) имеет решение . Найти систему линейных уравнений с теми… 4. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:

Ответы, указания, решения.

. 3.Ответ: искомая система будет иметь следующий вид: .

ГЛАВА 2. ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

 

Обратные матрицы. Математическая часть

Пусть А и С – квадратные матрицы порядка . Решить матричное уравнение

, (2.1)

это значит найти такую квадратную матрицу В, что АВ=С. При этом В называется решением матричного уравнения (2.1).

Непосредственно из определения операции умножения матриц вытекает следующее утверждение.

Утверждение 2.1. Матрица В является решением матричного уравнений (2.1), если и только если ее столбцы , , … являются соответственно решениями систем линейных уравнений , , …, , где , …, - столбцы матрицы С,

Матричному уравнению (2.1) можно поставить в соответствие расширенную матрицу К=(АС) размера , приписав справа к матрице А матрицу С. В то же время любой матрице К размера можно однозначно сопоставить матричное уравнение вида (2.1), положив, что первые столбцов в К составляют матрицу А, последние столбцов – матрицу С. В этих случаях матрицу К и матричное уравнение (2.1) будем называть соответствующими.

Утверждение 2.1 фактически доказано при доказательстве теоремы 2.1.

Из утверждений 2.1 и 1.2 вытекает следующее утверждение.

Утверждение 2.2. Элементарные преобразования расширенных матриц не изменяют множеств решений соответствующих матричных уравнений.

Теорема 2.1. Пусть в уравнении (2.1) матрица С является единичной, т.е. С=Е. Тогда уравнение (2.1) имеет решение, если и только если матрица А невырожденная.

Доказательство.Согласно следствию 1. 6 существует такая последовательность элементарных преобразований строк матрицы А, которая приводит матрицу А к единичной матрице того же порядка в случае невырожденности А, либо к некоторой матрице того же порядка, содержащей хотя бы одну нулевую строку, в случае вырожденности А. Применим последовательность к строкам расширенной матрицы АЕ. После того как «левая половина» этой матрицы приведется к Е, правая приведется к некоторой матрице . В силу утверждения 2.2 пары матричных уравнений и (или и ) имеют одинаковые множества решений. Рассмотрим первую пару. Очевидно, решением уравнения является матрица (см. теорему 1.12) и, следовательно, является решением уравнения . Рассмотрим вторую пару. Предположим, что в -я строка нулевая. Тогда в произведении -я строка также будет нулевой, что невозможно, ибо , а матрица получена из невырожденной матрицы Е элементарными преобразованиями и потому в силу теоремы 1.8 не может содержать нулевых строк. Теорема доказана.

Следствие 2.1.Пусть А и Е – квадратные матрицы одного порядка. Если матричное уравнение

(2.2)

имеет решение, то оно единственное.

Определение. Обратной матрицей для матрицы А называется решение матричного уравнения (2.2). Обратная для А матрица обозначается .

Следствие 2.2.Невырожденные матрицы, и только они, имеют обратные.

Следствие 2.3.Матрица, обратная для , есть А, т.е. =.

Доказательство.Если применить в обратном порядке последовательность элементарных преобразований ( см. доказательство теоремы 2.1) к строкам матрицы , то получим матрицу , откуда следует, что А является обратной для (см. далее приведенное практическое правило построения обратной матрицы).

Следствие 2.4.Пусть - невырожденная матрица. Тогда единственным решением матричного уравнений (2.1) является .

Доказательство.(см. теорему 2.1), откуда - решение матричного уравнения (2.1). Предположим теперь, что имеется еще одна матрица такая, что . Умножим обе части этого равенства слева на матрицу (такая матрица существует в силу следствия 2.1):

или , или .

Следствие 2.5.Пусть - невырожденная матрица порядка . Тогда для любого вектора-столбца размерности система уравнений имеет единственное решение .

Доказательство аналогично предыдущему.

Из доказательства теоремы 2.1 вытекает следующее практическое правило проверки матрицы на невырожденность и построения обратной матрицы:с помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы АЕ привести «левую половину» к единичной матрице (если в ходе этого процесса образуется хотя бы одна нулевая строка в этой «левой половине», то А вырожденная); тогда на место первоначально приписанной матрицы Е окажется матрица .

 

Обратные матрицы. Задачи

1. Доказать следствие 2.1. 2. Доказать следствие 2.2. 3. Доказать следствия 2.3 -2.5.

Ответы, указания, решения.

5. Решение. , поэтому матрица - обратная для АВ. Это означает также, что АВ – невырожденная (в силу следствия 3.2). 6. Решение. Так как (см. теорему 1.12), то обратная для . 7. З). Решение.Перепишем систему в матрично-векторном виде: где

Определители. Математическая часть

Условимся в дальнейшем через обозначать матрицу, полученную из матрицы удалением -й строки и -го столбца. Считаем также, что на позиции в находится элемент .

Каждой квадратной матрице по определенному правилу ставится в соответствие некоторое число, называемое определителем матрицы и обозначаемое через . Ниже дается интуитивное определение этого понятия.

Определение.Если квадратная матрица имеет порядок 1, то ее определитель равен . Если порядок квадратной матрицы А больше 1, то алгебраическим дополнением элемента в матрице А называется число , которое будет обозначаться (здесь - определитель матрицы . Определителем матрицы называется сумма произведений элементов первой строки на соответствующие им алгебраические дополнений:

Пример. Вычислим определитель матрицы второго порядка:

.

В приведенном выше вычислении определителя первая строка играет особую роль. Однако следующая теорема, приводимая без доказательства, показывает, что в этой роли может выступать любая строка или любой столбец.

Теорема 2.2. Определитель квадратной матрицы А, порядок которой больше 1, равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения:

().

Эти равенства называются разложением определителя по -й строке (-му столбцу).

 

Свойства определителей:

Свойство 2.1. Если квадратная матрица содержит нулевую строку (нулевой столбец), то ее определитель равен 0.

Свойство 2.2. При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняется на противоположное число.

Доказательство.Предположим, что в А переставляются две соседние строки:-я и . Вновь полученную матрицу обозначим В. Очевидно, что для каждого .Но . Поэтому Разложим теперб определитель матрицы В по - й строке:

.

Теперь предположим, что нужно переставить -ю и -ю строки в матрице А. Эту перестановку можно осуществить посредством перестановок соседних строк:

… , , …,

(в скобках указаны переставляемые строки). Поэтому для полученной после этих перестановок матрицы В верно следующее:

,

что завершает доказательство. Доказательство утверждения для столбцов проводится аналогично.

Свойство 2.3.Если квадратная матрица имеет хотя бы две одинаковые строки (два одинаковых столбца), то ее определитель равен нулю.

Доказательство.Если в матрице А переставить две одинаковые строки (два одинаковых столбца), то новая матрица будет совпадать с А и поэтому с учетом свойства 2.2 , что возможно только при

Свойство 2.4.Сумма произведений элементов произвольной -й строки соответственно на алгебраические дополнения к этим элементам произвольной другой -й строки из тех же столбцов равна нулю:

.

Аналогичное утверждение верно и для столбцов.

Доказательство. Заменим в А -ю строку -й строкой. В полученной матрице В -я и -я строки уже одинаковы, т.е. по свойству 2.3. Разложим по -й строке:

что и требовалось доказать.

Свойство 2.5. Пусть - матрица, полученная при умножении строки (столбца) квадратной матрицы А на число . Тогда .

Для доказательства свойства достаточно разложить определитель полученной матрицы по строке, которая была умножена на .

Теорема 2.2.Определитель матрицы остается неизменным при элементарных преобразованиях строк (столбцов) типа 2.

Доказательство. Предположим, что матрица В получена из матрицы А прибавлением к-й строке -й строки, умноженной на . Разложим определитель матрицы В по -й строке. Тогда с учетом имеем:

так как по свойству 2.4. Теорема доказана.

Теорема 2.2. подсказывает практический способ вычисления определителя, который состоит в следующем. Если -я строка (столбец) в матрице А состоит из одного ненулевого элемента , то по теореме 2.1 Тем самым вычисление определителя порядка сводится к вычислению определителя порядка . Хотя в матрице А может не оказаться строк (столбцов) с нужным числом нулей, тем не менее с помощью элементарных преобразований типа 2 А можно преобразовать к нужному виду. При этом величина определителя останется неизменной в силу теоремы 2.2.

Следствие 2.6. Квадратная матрица А невырождена, если и только если ее определитель отличен от нуля.

в силу свойства 2.1. Следствие доказано. Определение.Матрица

Пример.

Еслито ,

.

Определители. Задачи

. Доказать, что Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, находящиеся выше (ниже) главной диагонали, равны нулю.… Доказать, что определитель матрицы Вандермонда равен произведению всех разностей вида , где . Пусть А –…

Ответы, указания, решения

2. Указание:воспользоваться теоремой 2.1 и примером в начале пункта 2.4. 3. Решение.Докажем индукцией относительно порядка матриц. Утверждение… Но и, следовательно, по индуктивному предположению . Поэтому

Глава 3. Метод наименьших квадратов

Очевидно, система линейных уравнений не всегда имеет непустое множество решений. В связи с этим (и не только) возникает вопрос о существовании такого вектора , при котором левая часть минимально отличалась бы от правой части .

Определение.Пусть даны матрица А размера , вектор-столбец и вектор-столбец . Тогда вектор называется ошибкой вектора и обозначается через Квадрат длины вектора будем называть модулем ошибки вектора .

Теорема 3.1.Пусть дана матрица А размерности с линейно независимыми столбцами и вектор- столбец . Тогда найдется единственный вектор-столбец , для которого модуль ошибки минимален, причем .

Доказательство.Предположим, что матрица вырождена. Тогда в силу следствия 1.3 однородная система линейных уравнений имеет некоторое ненулевое решение т.е. . Домножим обе части этого равенства слева на , получим теперь воспользуемся теоремой 1.12, замечанием 1.1 и задачей и теоремой 1.14:

,

т.е. ( см. задачу 1 в п. 1.3). А это возможно только в случае линейной зависимости столбцов матрицы (следствие 1.3).

Итак, доказана невырожденность матрицы . Но тогда для найдется обратная матрица (следствие 2.2). Обозначим через вектор . Осталось доказать, что для любого вектора-столбца , не равного , верно неравенство .

Обозначим через . Тогда, применяя теорему 1.12 , получаем:

т.е. и ортогональны. Из равенства вытекает, что Используя теорему 1.1 и ортогональность векторов и , получаем:

Поскольку , то может равняться нулю только в случае линейной зависимости столбцов матрицы А. Так как столбцы этой матрицы линейно независимы, то . Отсюда следует последнее неравенство. Теорема доказана.

 

Задачи для самостоятельного решения

а) , ; б) , ; в) , ;

Ответы, указания, решения

1 д). Решение.Матрица А элементарными преобразованиями столбцов приводится к следующему виду: (вначале ко второму столбцу прибавляется первый, умноженный на -3; затем второй столбец умножается на : затем к…

Глава 4. Собственные значения неотрицательных матриц

Определение.Будем считать, что матрица или вектор положительны (неотрицательны), если все их элементы положительные (неотрицательные). Записьили (или ) означает, что матрица А или вектор положительны (неотрицательны).

Определение.Число называется собственным значением квадратной матрицы А, если существует такой ненулевой вектор-столбец , для которого:

. (4.1)

Ненулевой вектор называется собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению (нулевой вектор не считается собственным).

Определение.Пусть - некоторая переменная. - определитель квадратной матрицы . Уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А.

Теорема 4.1.Число является собственным значением матрицы А, если и только если - корень ее характеристического уравнения.

Доказательство.Поскольку , то условие (4.1) и эквивалентны. Число является собственным значением матрицы А, если и только если однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение. Из следствий 1.3 и 2.6 последнее равносильно равенству нулю определителя матрицы . Теорема доказана.

Следствие 4.1. Множества собственных значений квадратных матриц и совпадают.

Для доказательства достаточно воспользоваться равенством .

Следующее утверждение приведем без доказательства.

Теорема 4.2 (теорема Перрона-Фробениуса).Квадратная неотрицательная матрица А имеет неотрицательное действительное собственное значение , и модуль любого собственного значения матрицы А не превосходит (называется максимальным собственным значением матрицы А) Среди собственных векторов, соответствующих , имеется неотрицательный вектор. Если А положительна, то превосходит модули всех других собственных значений матрицы А, и среди собственных векторов, соответствующих , имеется положительный вектор.

Следствие 4.2.Если в квадратной неотрицательной матрице А сумма элементов каждого столбца равна 1, то максимальное собственное значение матрицы А равно 1.

Доказательство.В силу теоремы 4.2 матрица А имеет неотрицательное собственное значение , которому соответствует неотрицательный собственный вектор : . Если обозначить через вектор-строку, размерность которой равна порядку А, а все координаты равны 1, то условие о суммах элементов столбцов матрицы А можно записать в виде равенства . Умножив обе части этого равенства справа на вектор-столбец , получим

, , .

Поскольку хотя бы одна координата вектора положительна, то число положительное. Поэтому Следствие доказано.

Определение.Неотрицательная квадратная матрица А порядка называется продуктивной, если для любого неотрицательного вектора-столбца существует неотрицательный вектор-столбец такой, что .

Теорема 4.3.Неотрицательная квадратная матрица А продуктивна, если и только если ее максимальное собственное значение меньше 1.

Доказательство.В силу теоремы 4.2 и следствия 4.1 матрицы и имеют неотрицательное собственное значение , причем модули других их собственных значений не превосходят , и значению соответствует такой неотрицательный вектор , что .

Предположим вначале, что матрица А порядка продуктивна. Тогда, в частности, для произвольного положительного вектора-столбца найдется такой вектор-столбец из , что . (Из этого равенства следует, что ). Умножим обе части этого равенства скалярно на вектор : , откуда по теореме 1.1 . Но (см. теорему 1.14)

.

Следовательно, . Согласно выбору, - положительный вектор, - неотрицательный ненулевой вектор, поэтому . По той же причине . Следовательно, .

Положим теперь обратное, что . Покажем, что для произвольного неотрицательного вектора-столбца найдется вектор-столбец такой, что . Для этого рассмотри матрицу , где . Тогда

Отсюда по теореме 4.1 множество собственных значений матрицы В состоит из 1 и множества собственных значений матрицы А. Но по условию , поэтому .- максимальное собственное значение матрицы В. Этому значению в силу теоремы 4.2 соответствует неотрицательный собственный вектор и . Обозначим через вектор . Тогда , откуда . Если , то и, следовательно, - собственное значение матрицы А, что противоречит предположению . Поэтому , и . Последнее означает, что вектор - искомый. Теорема доказана.

Следствие 4.3. Неотрицательная квадратная матрица А порядка продуктивна, если и только если для матрицы существует обратная неотрицательная матрица.

Доказательство.Предположим вначале, что для существует обратная неотрицательная матрица . Для произвольного неотрицательного вектора обозначим через . Тогда или , причем из неотрицательности следует, что . Таким образом матрица А продуктивная по определению.

Предположим теперь, что А – продуктивная матрица, но для матрицы не существует обратной. По следствию 2.2 это равносильно тому, что матрица вырождена. А это в свою очередь равносильно наличию ненулевого решения однородной системы ., т.е. . В этом случае - собственное значение матрицы А, однако по теореме 4.3 ее собственные значения меньше 1. Осталось предположить, что А – продуктивная матрица, но для матрицы существует обратная матрица, среди элементов которой встречаются отрицательные. Пусть - один из них., а - вектор-столбец из , -я координата которого равна 1, а остальные координаты равны нулю. Тогда ввиду продуктивности А существует неотрицательный вектор-столбец такой, что . Отсюда . Но -я координата в равна , что противоречит неравенству . Следствие доказано.

 

Задачи для самостоятельного решения

2. Доказать, что если - собственный вектор некоторой матрицы, то и вектор , где - любое, не равное нулю число, также является собственным вектором,… 3. Доказать, что система векторов, состоящая из собственных векторов,… 4. Известно следующее свойство определителя: для любых двух квадратных матриц С, В одного порядка -Пользуясь этим…

Ответы, указания, решения

3. Доказательство. Докажем индукцией относительно числа векторов в системе. Для одного вектора утверждение следует из задачи 8 п.1.3. Предположим,… или

Глава 5. Балансовые модели многоотраслевой экономики

Пусть имеется различных отраслей, каждая из которых производит свой продукт. Введем следующие обозначения: - общий объем произведенной продукции -й отраслью (валовый выпуск продукции); - объем продукции, произведенной - й отраслью и потребленный -й отраслью в процессе производства; - объем продукции - й отрасли, предназначенный к потреблению а непроизводственной сфере (конечный продукт, включающий накопления, личное и общественное потребление, экспорт и т.д.); - прибавочная стоимость -й отрасли (часть дохода, идущего на зарплату, амортизацию, инвестиции и т.д.); - цена единицы продукции -й отрасли. В этих обозначениях данные о межотраслевом балансе удобно представить в виде таблицы 1, где каждая отрасль фигурирует как производящая и как потребляющая.

 

Таблица 1.

 

…

n

Конечный продукт

Валовый продукт

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

n

…

Прибавочная стоимость

…

Доход

…

 

 

Валовая продукция любой отрасли равна сумме конечной продукции данной отрасли и объемов ее продукции, потребляемой другими отраслями, что может быть отражено в следующих балансовых соотношениях:

(5.1)

Общий доход -й отрасли, равный , состоит из суммы, идущей на закупку продукции у других отраслей, равной , и прибавочной стоимости . Это отражено в следующих балансовых соотношениях:

(5.2)

Умножим обе части -го равенства в (5.1) на а затем сложим все эти равенства почленно:

(5.3)

Сложим почленно равенства в (5.2):

(5.4)

 

Приравняв правые части в (5.3) и (5.4), получим равенство:

,

Означающее единство материального и стоимостного состава дохода.

Известно, что примерное постоянство используемых в производстве технологий обусловливает относительное постоянство в течение ряда лет величин , которые называются коэффициентами прямых затрат. Очевидно, равен количеству единиц продукции - отрасли, потребляемой -й отраслью для производства единицы продукции этой -й отрасли. При этом в случае справедливости неравенства -я отрасль оказывается рентабельной, так как суммарный вклад всех отраслей в выпуск единицы продукции -й отрасли оказывается меньше этой единицы продукции.

Перепишем соотношения (5.1)-(5.2) через коэффициенты прямых затрат:

где величина , равная прибавочной стоимости -й отрасли на единицу произведенной этой отраслью продукции, называется нормой прибавочной стоимости. В векторно-матричном виде эти же балансовые соотношения выглядят так:

 

(5.5)

где , ,

Если матрица А продуктивна (и, следовательно, продуктивна матрица по следствию 4.1 и теореме 4.3), то балансовые уравнения (5.5) позволяют решать следующие задачи планирования производства.

Первая задача:для предстоящего планового периода задается вектор конечной продукции и требуется определить вектор валового выпуска продукции. Ввиду (5.5) откуда

,

так как матрица существует по следствию 4.3.

Вторая задача:для предстоящего планового периода задается вектор норм прибавочной стоимости и требуется спрогнозировать цены на продукцию каждой отрасли. Ввиду (5.5) т.е. так как обратная матрица существует ввиду следствия 4.3.

Определение.Если А – продуктивная матрица, то запасом ее продуктивности называется такое число , при котором матрица продуктивна при каждом а матрица не является продуктивной.

Теорема 5.1. Пусть дано некоторое число и продуктивная матрица А. Тогда матрица продуктивна, если и только если , где - максимальное собственное значение матрицы А.

Доказательство.По теореме 4.1 множество собственных значений матрицы И совпадает с множеством корней ее характеристического уравнения

(5.6)

Разделив каждую строку матрицы на , получим уравнение

, (5.7)

где . По теореме 4.1 множество собственных значений матрицы А совпадает с множеством корней уравнения (5.7). Но максимальный корень этого уравнения , а корни уравнения (5.6) в раз больше соответствующих корней уравнения (5.7) (так как ). Отсюда - максимальное собственное значение матрицы И. Согласно теореме 4.3 И продуктивна, если и только если , т.е. . Теорема доказана.

Компьютерный раздел

Встроенная функция определяет вектор собственных значений квадратной матрицы А. Встроенная функция определяет собственный вектор единичной длины, соответствующий собственному значению квадратной матрицы А. Встроенная функция создает единичную матрицу порядка . Встроенные функции и определяют соответственно максимальную и минимальную координату вектора . Встроенная функция зависит от трех выражений , причем логическое (булево) выражение. Результатом выполнения этой функции будет А или И, в зависимости от того, какое значение – истинное или ложное – примет соответственно логическое выражение . Щелчок по кнопке подпанели Калькулятор (Calculator) или клавиша вызывает шаблон для вычисления модулей координат вектора, имя которого вводится на месте метки. Операция обращения матриц производится кнопкой подпанели Матрица(Matrix): если после ввода имени М матрицы щелкнуть по кнопке , на рабочем листе появится выражение.

Операция векторизации позволяет поэлементно оперировать векторами и матрицами одинакового размера. Эта операция производится с помощью клавиши подпанели Матрица(Matrix). Пусть, к примеру, даны векторы , и требуется определить вектор , -я координата которого будет равна где , , - соответственно -е координаты векторов , . Для этого в нужном месте рабочего листа введите выражениеи синим курсором ввода выделите выражение, стоящее справа от знака присваивания: .После щелчка по кнопке произойдет векторизация: , в результате которой будет получен искомый вектор . Этот вектор можно получить на рабочем листе , введя идентификатор и знак равенства справа от которого появится искомый вектор-столбец: .

Следует также отметить, что для многих встроенных функций операцию векторизации можно не указывать, поскольку эти функеции применяются к элементам векторов, являющихся их аргументами. Например, где . Однако это свойство не распространяется на матрицы. Например, если то функция не будет определена.

Задачи для самостоятельного решения

а) , , , , б) , , ,

Ответы, указания, решения

Общий алгоритм решения задач 1 а)-в)

В случае утвердительного ответа на основе теоремы 5.1 определить ее запас продуктивности

Глава 6. Модели международной торговли

Основу линейной модели международной торговли составляет структурная матрица торговли А, порядок которой равен числу стран-участниц, а на позиции находится элемент , равный части торгового бюджета -й страны, идущего на импорт товаров из -й страны. Предполагается также, что каждая страна расходует весь свой торговый бюджет на закупку товаров внутри страны и на импорт из других стран, причем А>0. Очевидно, сумма элементов каждого столбца матрицы А равна1, а выручка -й страны от торговли составит , где - торговый бюджет -й страны.

Определение.Сбалансированность торговли (или бездефицитность торгового бюджета) означает выполнимость неравенств:

(6.1)

Лемма 6.1. Система неравенств (6.1) равносильна системе равенств:

(6.2)

Доказательство.Предположим, что хотя бы одно из неравенств в (6.1) строгое. Тогда, сложив их все почленно, получим:

(6.3)

Но

,

Что противоречит (6.2). Лемма доказана.

Теорема 6.1.Всегда существует положительный вектор торговых бюджетов стран-участниц, обеспечивающий сбалансированность торговли. При этом любой другой такой вектор может быть получен из умножением на некоторое положительное число.

Доказательство.Сбалансированность торговли означает существование такого положительного вектора , при котором (лемма 6.1). Но по следствию 4.2 и теореме 4.2 матрица А имеет максимальное собственное значение , равное 1, и ему соответствует некоторый положительный собственный вектор , причем любой друцгой положительный собственный вектор матрицы А имеет вид , где - произвольное положительное число (см. задачу 7 п.4.1). Теорема доказана.

Теорема 6.1. означает возможность задать такие соотношения торговых бюджетов стран-участниц, при которых будет обеспечена сбалансированность торговли.

 

Задачи для самостоятельного решения

а) ;   б) ;

Ответы, указания, решения

Общий алгоритм решения задач 1 а)- 1. е)

  В случае утвердительного ответа, вычислить собственный вектор матрицы А, соответствующий максимальному собственному…

Литература

Основная

1. Черняк А.А., Новиков В.А., Мельников О.И., Кузнецов А.В. Математика для экономистов на базе Mathcad. – СПб: БХВ-Петебург, 2003. – 496 с.

2. Гирлин С.К. Лекции по интегральным уравнениям [Текст]/ С.К. Гирлин. – Ялта: РИО КГУ. – 2012. – 168 с.

3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: 1980,1984,1987

Вспомогательная

4. Васильченко І.П. Вища математика для економістів: Підручник. – К.: Знання. – 2007. – 454 с.

5. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: 1980,1984,1987