Реферат Курсовая Конспект
Ответы, указания, решения - Лекция, раздел Математика, Гирлин С.К. Интегральные уравнения 2. Указание:Воспользоваться Теоремой 2.1 И П...
|
2. Указание:воспользоваться теоремой 2.1 и примером в начале пункта 2.4.
3. Решение.Докажем индукцией относительно порядка матриц. Утверждение непосредственно проверяется при . Предположим, что оно верно для всех квадратных матриц порядка . Докажем его справедливость для произвольной матрицы А порядка . Обозначим и разложим по первому столбцу:
Но и, следовательно, по индуктивному предположению . Поэтому
.
4. Решение.Докажем индукцией относительно порядка матриц. Утверждение непосредственно проверяется для треугольных квадратных матриц порядка 2. Предположим, что оно верно для всех квадратных треугольных матриц порядка . Докажем его справедливость для произвольной треугольной матрицы А порядка . Для определенности считаем, что все элементы матрицы А, которые выше главной диагонали, равны нулю. Разложим по первой строке:
где - треугольная матрица порядка и, следовательно, для нее выполняется индуктивное предположение, т.е. . Отсюда , что и требовалось доказать.
5. Решение. Если обозначить через вектор-строку , то согласно условию, т.е. однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение . Поэтому по следствию 1.3 столбцы матрицы F линейно зависимы, т.е. F – вырожденная. Но тогда по следствию 2.6. Утверждение доказано.
6. Решение. Пусть
И нечетно. Если умножить каждую строку матрицы на -1, то опять получится матрица А. Из свойства 2.5 вытекает, что или , что возможно только при .
7. Решение.Докажем индукцией относительно порядка матрицы Вандермонда. Матрица Вандермонда второго порядка имеет вид и ее определитель равен , т.е. утверждение выполняется. Предположим, что утверждение верно для матриц Вандермонда порядка . Произведем следующие элементарные преобразования столбцов матрицы В: поочередно из каждого столбца, начиная с -го, вычитаем предыдущий столбец, умноженный на . В результате получим матрицу:
,
откуда
.
Из того, что последний сомножитель является определителем матрицы Вандермонда порядка . Следует требуемое утверждение.
7. Доказательство.Доказательство утверждения проведем индукцией относительно порядка матрицы А. Для матриц второго порядка его справедливость проверяется непосредственно. Предположим, что утверждение верно для матрицы порядка и рассмотрим квадратную матрицу порядка . Из определения определителя следует, что
.
По индуктивному предположению для любой матрицы определитель состоит из слагаемых, каждое из которых содержит в качестве сомножителей ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы . Поэтому рассматриваемая сумма может быть представлена в виде слагаемых, составленных таким же образом. Осталось доказать, что каждое такое слагаемое фактически является членом определителя. Рассмотрим одно из таких слагаемых в выражении . По индуктивному предположению оно равно:
,
где - число инверсий вектора , координаты которого составлены из номеров столбцов матрицы , содержащих соответственно элементы матрицы А. При этом следует отметить, что из-за исключения -го с толбца из матрицы А происходит сдвиг ее номеров столбцов ( на 1 уменьшаются все номера с -го по -1). Поэтому
(2.3)
Сравним числа и , где - число инверсий вектора Ввиду (2.3) число инверсий, образованных парами координат, не содержащих в векторах и одинаково. Число , стоящее на первом месте в векторе , образует инверсию с меньшими числами 1.2. …, . Поэтому Числа и имеют одинаковую четность. Следовательно, слагаемое равно члену определителя . Отсюда следует, что сумма членов определителя матрицы А равна .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
С К ГИРЛИН составитель... Компьютерная математика ЛЕКЦИИ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Ответы, указания, решения
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов