Таблиця 3 - раздел Математика, Основи автоматизованого проектування ...
Рішенням задачі повинне бути поле переміщень . Відповідно до МСЕ це рішення апроксимується за допомогою координатних функцій і невизначених коефіцієнтів, які стосовно до сукупності скінченних елементів представимо в матричній формі: де — матриця координатних функцій, — вектор невизначених коефіцієнтів.
Замінюючи ( ) на ( ), одержуємо
(3.29)
де — матриця жорсткості.
Відповідно до принципу потенційної енергії в стані рівноваги маємо або, диференціюючи (3.29), знаходимо
(3.30)
де — вектор навантажень. Таким чином, задача аналізу міцності, згідно МСЕ, зведена до рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3.30).
Матриця жорсткості виявляється сильно розрідженою, тому для рішення (3.30) застосовують методи розріджених матриць.
Одним із широко відомих методів розріджених матриць є метод прогону, застосовуваний у випадку тридіагональних матриць коефіцієнтів у системі алгебраїчних рівнянь.
Для рішення розподілених задач часто застосовують метод Гальоркіна в рамках МСЕ. У методі Гальоркіна у випадку аналізу механічної міцності виробів замість вираження потенційної енергії використають нев’язки, що виходять після заміни функції переміщення апроксимуючим вираженням у вихідному диференціальному рівнянні Ламе (для статичного режиму) Тут — диференціальний оператор , що застосовується до всіх елементів вектора , — вектор масових і прикладених сил, віднесених до скінченного елемента. Нев’язка по області скінченного елемента при заміні на повинна бути мінімізована. Використовуючи вагові функції, що дорівнюють апроксимуючим вираженням , і необхідну умову екстремуму
одержуємо систему алгебраїчних рівнянь (3.30).
Для практичного застосування МСЕ необхідно попередньо розробити математичні моделі скінченних елементів (СЕ) і реалізувати їх у бібліотеці СЕ програми аналізу механічної міцності.
Основою математичної моделі -го СЕ є квадратна матриця жорсткості скінченного елемента, розмір якої дорівнює числу невизначених коефіцієнтів у частині вектора , що ставиться до цього СЕ. У свою чергу, розмір цієї частини вектора є добуток розмірності простору й числа вузлів, виділених у моделі -го СЕ. Це треба для того, щоб кожний невизначений коефіцієнт в у задачі аналізу механічної міцності був значенням переміщення в напрямку осі в -м вузлі. При одержанні моделі СЕ використовується матриця координатних функцій скінченного елемента, у якої число рядків дорівнює , а число стовпців ×. Наприклад, розмір для СЕ у формі паралелепіпеда з вісьма вузлами дорівнює 24×24, тому що розміри матриць , і є 6×3, 3×24 і 6×6. При розрахунку спочатку вибирають вид залежності переміщень від просторових координат. Потім перетворять ці залежності у вираження й за допомогою інтегрування по просторових координатах визначають матрицю жорсткості СЕ.
При наявності бібліотеки СЕ застосування МСЕ зводиться до наступних операцій:
1. Створення геометричної моделі досліджуваного середовища (наприклад, деталі) за допомогою програми геометричного моделювання або шляхом зображення вручну на екрані дисплея ескізу (креслення) виробу.
2. Вибір бібліотечної моделі СЕ, завдання зовнішніх навантажень і значень геометричних і фізичних параметрів, формулювання граничних умов. Наступні операції виконуються програмою моделювання.
3. Реалізація в моделі сітки скінченних елементів. Тим самим стають відомими координати вузлових точок у моделі.
4. Приведення наявних об’ємних сил і поверхневих навантажень до вузлових точок моделі.
5. Об’єднання моделей СЕ в загальну скінченноелементну модель деталі (3.30), у якій матриця твердості має порядок, рівний , де — загальне число вузлів. При об’єднанні елементи матриці утворяться підсумовуванням тих елементів матриць жорсткості окремих СЕ, які відносяться до того самого вузла й напрямку переміщення. Якщо деякий вузел закріплений (його переміщення дорівнює нулю), то відповідному цьому вузлу рядки в та і стовпці у викреслюються.
6. Зміст інших операцій відповідає блокам програми, розглянутої стосовно до аналізу на макрорівні. Оскільки аналіз механічної міцності найчастіше проводиться в стаціонарних режимах у межах пружних деформацій, те наступною операцією є рішення системи (3.30).
7. Подання результатів рішення в зручній для користувача формі. Поряд із числовим висновком результатів звичайно використається графічне зображення деформованої деталі, можливе подання розподілів напруг, деформацій, температур і т.п. усередині деталі із вказівкою їхньої інтенсивності за допомогою колірного розфарбування.
До числа відомих програм аналізу по МСЕ відносяться ANSYS, NASTRAN, PATRAN і ін.
Вимоги до технічного забезпечення САПР
Технічне забезпечення САПР містить у собі різні технічні засоби (hardware), використовувані для виконання автоматизованого проектування, а саме обчислювальні системи, ЕОМ (комп'ютери), периферійні
Процесори ЕОМ
Призначення процесора — керування обчислювальним процесом і обробка даних відповідно до заданої програми. Процесори можуть бути універсальними, здатними вирішувати широке коло задач і спеціа
Процесори ЕОМ
Призначення процесора — керування обчислювальним процесом і обробка даних відповідно до заданої програми. Процесори можуть бути універсальними, здатними вирішувати широке коло задач і спеціа
Монітори
У більшості сучасних моніторів використовуються електронно-променеві трубки, у яких світіння шару люмінофора, яким покритий екран, відбувається під дією його опромінення потоком електронів,
Периферійні пристрої
Периферійні пристрої комп'ютерів ділять на пристрої вводу, пристрою виводу й зовнішні запам'ятовувальні пристрої. До пристроїв вводу відносяться клавіатура, миша, сканер, дигітайзер.
Периферійні пристрої
Периферійні пристрої комп'ютерів ділять на пристрої вводу, пристрою виводу й зовнішні запам'ятовувальні пристрої. До пристроїв вводу відносяться клавіатура, миша, сканер, дигітайзер.
Типи обчислювальних машин і систем
Комп'ютери (ЕОМ) і обчислювальні системи (ОС) прийнято класифікувати по ряду ознак.
Залежно від продуктивності й вартості обчислювального встаткування виділяють кілька типів ЕОМ і ОС, прич
Вимоги до математичних моделей і методів у САПР
Основними вимогами до математичних моделей є вимоги адекватності, точності, економічності.
Модель завжди лише приблизно відбиває деякі властивості об'єкта. Адекватність має
Вихідні рівняння для формування моделей на макрорівні
Вихідний математичний опис процесів в об'єктах на макрорівні представлено системами звичайних диференціальних і алгебраїчних рівнянь. Аналітичні рішення таких систем при типових зна
Механічні системи
Фазовими змінними в механічних поступальних системах є сили й швидкості. Використовують одну із двох можливих електромеханічних аналогій. Надалі будемо використати ту з них, у якій
Вибір методів аналізу в часовій області
Аналіз процесів у проектованих об'єктах можна робити в часовій і частотній областях. Аналіз у часовій області (динамічний аналіз) дозволяє одержати картину перехідних процесів, оцінити динам
Методи рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь
У програмах аналізу в САПР для рішення СЛАР найчастіше застосовують метод Гауса або його різновиду. Метод Гауса — метод послідовного виключення невідомих із системи рівнянь. При виключенні
Методи рішення систем нелінійних алгебраїчних рівнянь
Обчислення при рішенні СНАР складаються з декількох вкладених один в іншій циклічних процесів. Зовнішній цикл – цикл покрокового чисельного інтегрування, параметром циклу є номер кроку. Якщо модель
Аналіз у частотній області
Аналіз у частотній області більш специфічний у порівнянні з аналізом у часовій області. Його застосовують, як правило, до об’єктів з лінеаризуємимі ММ при дослідженні коливальних стаціонарни
Багатоваріантний аналіз
Одноваріантний аналіз дозволяє одержати інформацію про стан і поводження проектованого об’єкта в одній точці простору внутрішніх
Математичні моделі для аналізу на мікрорівні
Математичними моделями на мікрорівні є диференціальні рівняння в частинних похідних або інтегральні рівняння, що описують поля фізичних величин. Інакше кажучи, на мікрорівні використаються модел
Методи аналізу на мікрорівні
У САПР рішення диференціальних або інтегро-диференціальних рівнянь із частковими похідними виконується чисельними методами. Ці методи засновані на дискретизації незалежних змінних – їхньому предста
Метод скінченних елементів для аналізу механічної міцності
Як вихідне положення в методі скінченних елементів приймають варіаційний принцип Лагранжа (принцип потенційної енергії), відповідно до якого рівноважний стан, у який може прийти система, характериз
Типи геометричних моделей
Підсистеми машинної графіки й геометричного моделювання займають центральне місце в машинобудівних САПР. Конструювання виробів у них, як правило, проводиться в інтерактивному режимі при оперуванні
Типи геометричних моделей
Підсистеми машинної графіки й геометричного моделювання займають центральне місце в машинобудівних САПР. Конструювання виробів у них, як правило, проводиться в інтерактивному режимі при оперуванні
Системи ERP
Функції автоматизованих систем керування підприємством (АСКП) у різних сполученнях поєднуються в кілька груп, відповідно з'являються різновиди АСКП з назвами ERP, MRP, MES, SCM і ін. Звичайн
Стандарт MRP II
Під MRP розуміють методологію ефективного планування ресурсів виробничого підприємства, включаючи бізнес-планування, планування продажів і операцій, планування виробництва, формування головн
Підсистеми ERP
Типовий склад підсистем ERP:
· керування запасами;
· керування постачанням; реалізує наступні функції: формування замовлень на закупівлю; графіка поставок; планування потре
Логістичні системи
Складність задач керування, які доводиться вирішувати в сучасних виробничих системах, обумовлює інтерес до логістики й розвитку логістичних систем. Традиційно логістику зв'язували з керуванн
Системи SCM
Системи SCM призначені для забезпечення ефективного керування матеріальними й відповідними їм інформаційними потоками: від постачальників сировини й комплектуючих через виробництво до продаж
CRM - системи взаємин із замовниками
Система CRM — це система, на вхід якої надходять дані, пов'язані із клієнтами компанії, а на виході з'являється інформація, що впливає на поводження компанії в цілому або на поводження її ок
Типи САПР в області машинобудування
Серед CAD-систем розрізняють системи нижнього, середнього й верхнього рівнів. Цей поділ виник на рубежі 80-90-х років минулого століття. Системами нижнього рівня (або легкими системами) стали назив
Основні функції CAD-систем
Функції CAD-систем у машинобудуванні підрозділяють на функції двомірного (2D) і тривимірного (3D) проектування. До функцій 2D відносять креслення, оформлення конструкторської документації; до функц
Основні функції CAE-систем
Функції CAE-систем досить різноманітні, тому що пов'язані із проектними процедурами аналізу, моделювання, оптимізації проектних рішень. До складу машинобудівних CAE-систем насамперед включаю
Основні функції CAM-систем
Основні функції CAM-систем: розробка технологічних процесів, синтез керуючих програм для технологічного встаткування із ЧПК, моделювання процесів обробки, у тому числі побудова траєкторій ві
Прототипування
Прототипування — виготовлення прототипів деталей або шаблонів, по яких деталі будуть виготовлятися. Прототипування в CAD/CAM – безпосередня реалізація розробленої геометричної моделі.
Огляд машинобудівних САПР
Як правило, машинобудівні САПР мають багатомодульну структуру. Типовий поділ модулів на групи програм конструкторського проектування механічних об'єктів, промислового дизайну, інженерного аналізу (
Типи CASE-систем
У сучасних інформаційних технологіях важливе місце приділяється інструментальним засобам і середовищам розробки АС, зокрема, системам розробки й супроводу їх ПЗ. Ці технології й середовища утворюют
Специфікації проектів програмних систем
Важливе значення в процесі розробки ПЗ мають засоби специфікації проектів ПЗ. Засоби специфікації значною мірою визначають суть методів CASE.
Способи й засоби специфікації класифікують по
Програмне забезпечення CASE-систем
На ринку програмних продуктів є багато CASE-систем для концептуального проектування АС.
Найчастіше в них підтримується методологія IDEF. Широко відомі програми BPwin, ERwin, OOwin фірми Pl
ЛІТЕРАТУРА
Автоматизация инженерно-графических работ/ Г.Красильникова, В.Самсонов, С.Тарелкин – СПб: Издательство «Питер», 2000.-256 с. Басов К.А. ANSYS в приме
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
. Відповідно до МСЕ це рішення апроксимується за допомогою координатних функцій і невизначених коефіцієнтів, які стосовно до сукупності скінченних елементів представимо в матричній формі:
— матриця координатних функцій, 
— вектор невизначених коефіцієнтів.
(
) на 
(
— матриця жорсткості.
— вектор навантажень. Таким чином, задача аналізу міцності, згідно МСЕ, зведена до рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3.30).
апроксимуючим вираженням 
у вихідному диференціальному рівнянні Ламе (для статичного режиму)
— диференціальний оператор 
, що застосовується до всіх елементів вектора 
— вектор масових і прикладених сил, віднесених до скінченного елемента. Нев’язка по області 
скінченного елемента при заміні 
-го СЕ є квадратна матриця жорсткості 
скінченного елемента, розмір якої дорівнює числу 
невизначених коефіцієнтів у частині вектора 
простору й числа 
вузлів, виділених у моделі 
в напрямку осі 
в 
-м вузлі. При одержанні моделі СЕ використовується матриця координатних функцій 
скінченного елемента, у якої число рядків дорівнює 
, 
є 6×3, 3×24 і 6×6. При розрахунку 
й за допомогою інтегрування по просторових координатах визначають матрицю жорсткості СЕ.
має порядок, рівний 
, де 
— загальне число вузлів. При об’єднанні елементи матриці 
Новости и инфо для студентов