Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции

Между понятиями непрерывности и дифференцируемости (существованием конечной производной) существует простая связь.

Одно из определений непрерывности гласит, что функция называется непрерывной в точке, если в этой точке .

Определение 1. Функция f(x) называетсядифференцируемой в точкех, если приращение функции, соответствующее приращению аргумента, можно представить в виде

Δy = A·Δx + α(Δx)·Δx,

где А – число, не зависящее от Δx, а α(Δx) – б.м.ф. при Δx → 0.

Теорема 1 (о необходимом и достаточном условии дифференцируемости). Для того чтобы функция f(x) была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно, чтобы f(x) имела в этой точке конечную производную.

Доказательство необходимости. Пусть f(x) дифференцируема в точке х. Докажем, что в этой точке существует производная f'(x).

Из дифференцируемости f(x) в точке х следует, что приращение функции, соответствующее приращению аргумента, можно представить в виде

Δy = A · Δx + α(Δx) · Δx,

где α(Δx) – б.м.ф. при Δx → 0.

Отсюда A + α(Δx) или α(Δx).

По определению б.м.ф.:

.

Значит, и Но тогда Следовательно, f'(x) = А. Существование производной доказано.

Доказательство достаточности. Пусть f(x) в точке х имеет конечную производную f'(x). Докажем, что f(x) в этой точке дифференцируема.

Существование производной f'(x) означает, что при Δx → 0 существует предел отношения , т.е.

Отсюда f'(x) + α(Δx), где α(Δx) → 0 при Δx → 0.

Поэтому Δy = f'(x) · Δx + α(Δx) · Δx.

Величина f'(x) не зависит от Δx, а α(Δx) → 0 при Δx → 0. Это доказывает, что f(x) дифференцируема в точке х.

Теорема 1 устанавливает, что для функции f(x) дифференцируемость в данной точке х и существование конечной производной в этой точке – понятия равносильные.

Теорема 2 (о непрерывности дифференцируемой функции в точке).Если функция дифференцируема (т.е. имеет конечный предел) в некоторой точке, то в этой точке функция непрерывна.

Доказательство: Пусть функция дифференцируема. Тогда существует конечный предел . Отсюда

.

Следовательно, функция у = f(x) непрерывна в точке х. Теорема доказана.

Замечание 1. Обратное утверждение неверно. Непрерывная функция может не иметь производной.

Пример 1. – непрерывная функция, но не дифференцируема в точке х = 0, так как в ней график функции имеет излом, где не существует касательной.

Более строго: в точке х = 0 имеем

Отсюда следует, что не существует, т.е. y = |x| не имеет производной в точке х = 0.

Таким образом, непрерывность функции – необходимое, но не достаточное условие дифференцируемости функции.

Замечание 2. Требование существования конечной производной является важным.

Например, существуют односторонние пределы функции y = |x| в точке х=0: , . В таких случаях говорят, что функция имеет односторонние производные (или производные слева и справа): и .

Если , то производная в точке не существует.

Не существует производной и в точках разрыва функции. Например, если функция имеет точку разрыва 2-го рода, то в этой точке производная функции может быть бесконечной.

Замечание 3. Производная непрерывной функции сама не обязательно непрерывна.

Определение 2.Если функция имеет непрерывную производную на некотором промежутке X, то функция называется непрерывно дифференцируемой на (или гладкой) этом промежутке.