рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Перпендикулярности плоскостей.

Перпендикулярности плоскостей. - раздел Математика, Основные свойства определителей Если Две Плоскости (α1 И α2) Заданы Общими Ур...

Если две плоскости (α1 и α2) заданы общими уравнениями вида:

A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0,

то очевидно, что угол между ними равен углу между их нормалями, то есть между векторами n1={A1,B1,C1) и n2={A2,B2,C2). Из формулы (5.6) получаем, что косинус угла между плоскостями α1 и α2 равен

(8.4)

Условие параллельности плоскостей заключается в параллельности нормалей:

(8.5)

а условие перпендикулярности плоскостей – в перпендикулярности нормалей или равенстве нулю их скалярного произведения:

A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0. (8.6)

 

Выведем еще несколько уравнений плоскости. Пусть плоскость проходит через точки М1(х1, у1, z1), M2(x2, y2, z2) и M3(x3, y3, z3), не лежащие на одной прямой. Тогда векторы М1М2={x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1}, М1М3={x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1М1М={x - x1, y - y1, z - z1}, где М(x, y, z)произвольная точка плоскости, компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Используя координатную запись смешанного произведения, получаем:

(8.7)

Это уравнение, которому удовлетворяют координаты х, у, z любой точки, лежащей на искомой плоскости, является уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.

Способом, аналогичным изложенному в лекции 7, можно получить нормальное уравнение плоскости:

(8.8)

где р – длина перпендикуляра ОР, опущенного из начала координат на плоскость, а cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы нормали к этой плоскости. При этом расстояние от любой точки А пространства до данной плоскости определяется по формуле:

, (8.9)

где x0,y0,z0 – координаты рассматриваемой точки А. Подмодульное выражение в формуле (8.9) называется отклонением точки А от плоскости и принимает положительные значения, если А и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, и отрицательные, если эти две точки лежат по одну сторону от плоскости. Нормальное уравнение получается из общего уравнения плоскости в результате деления его на нормирующий множитель знак которого противоположен знаку D.

Доказательства всех сформулированных утверждений полностью аналогичны исследованию нормального уравнения прямой на плоскости, рассмотренного в лекции 7.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Основные свойства определителей

Определение матрицы Определители второго и третьего порядков их основные свойства Миноры и алгебраические дополнения разложение определителя по... Определение Матрицей называется прямоугольная таблица чисел...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Перпендикулярности плоскостей.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Основные свойства определителей.
Сформулируем и докажем основные свойства определителей 2-го и 3-го порядка (доказательство проведем для определителей 3-го порядка).   Свойство 1. Определитель не изме

Разложение определителя по строке.
  Определение1. 7. Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный

Лекция 2. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Правило Крамера.
Определение 2.1. Линейными операциями над какими-либо объектами называются их сложение и умножение на число.   Определение 2.2. Линейно

Метод Гаусса решения линейных систем.
Замечание. Линейная система (2.2) может иметь единственное решение, бесконечно много решений или не иметь ни одного решения.   Примеры: 1.

Правило Крамера.
  Рассмотрим систему (2.3). Назовем главным определителем этой системы определитель , элем

Перемножение матриц.
Выше было указано, что сложение матриц накладывает условия на размерности слагаемых. Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей сомножителей, а именн

Обратная матрица.
  Определение 3.7. Квадратная матрица А называется вырожденной, если , и не

Решение линейных систем с помощью обратной матрицы.
Рассмотрим линейную систему (2.3): и введем следующие обозначения:

Теорема о ранге.
  Определение 4.3. Базисным минором матрицы называется любой ее ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы.   Определение

Совместность линейных систем.
  Определение 4.5. Линейная система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Общее решение однородной линейной системы.
Рассмотрим однородную линейную систему . (4.2) Отметим, что такая система всегда совместна, поскольку и

Структура общего решения неоднородной линейной системы.
  Рассмотрим неоднородную линейную систему (2.2): . Докажем следующие свойства ее решений

Лекция 5.
Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Декартовы координаты векторов и точек. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, координатное выражение. &n

A a+(b+c)=OA+(AB+BC)=OA+AC=OC.
Свойство 2 доказано. b+с O cС Свойство 3. Для любого

Базис и координаты вектора.
  Определение 5.7. Линейной комбинацией векторов а1, а2,…,аnназывается выражение вида: k1

Скалярное произведение векторов.
  Определение 5.14. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними: ab =

Векторное произведение векторов.
  Определение 6.2. Вектор с называется векторным произведениемвекторов аи b, если:

Смешанное произведение векторов.
Определение 6.4. Смешанным произведением векторов а, bи с называется результат скалярно

Прямая на плоскости.
  Рассмотрим различные виды уравнений прямой на плоскости. Пусть прямая проходит через точку М0 (x0,y0) перпендикулярно вектору

Неполные уравнения прямой.
Уравнение (7.4) называется полным, если коэффициенты А,В и С не равны нулю, и неполным, если хотя бы одно из этих чисел равно нулю. Рассмотрим возмож

Угол между прямыми. Условия параллельности и
перпендикулярности двух прямых.   1. Если прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями А1х + В1у + С1 = 0 и А

Плоскость в пространстве.
  Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0 ,у0 ,z0) перпендикулярно вектору n

Неполные уравнения плоскости.
Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнение (8.2) называют неполным. Рассмотрим возможные виды неполных уравнений: 1) D = 0 – плоскость Ax + By +

Прямая в пространстве.
  Замечание. Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Для этого требуется система двух или более уравнений. Первая возможность составить уравнения прямой в п

Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.
  Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида

Кривые второго порядка. Эллипс, гипербола и парабола, их свойства и канонические уравнения.
Определение 9.1. Кривыми второго порядкана плоскости называются линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину.  

Эллипс.
Определение 9.2. Эллипсомназывается множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плос

Гипербола.
Определение 9.5. Гиперболойназывается множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2

Парабола.
  Определение 9.8. Параболой называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно рассто

Эллипсоид.
Определение 10.2. Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе прямоугольных декартовых координат определяется уравнением

Гиперболоиды.
  Определение 10.3. Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе прямоугольных декартовых координат определяются каноническими ура

Параболоиды.
Определение 10.4. Параболоидаминазываются поверхности, которые в некоторой системе прямоугольных декартовых координат определяются каноническими уравнениями

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги