Подмножества.

Множество называется подмножеством множества , если каждый элемент мно­жества является в то же время элементом множества . Тот факт, что является подмножеством , символически записывают так: . Знак называется знаком включения, отношение – отношением включения. Говорят, что множество включено в множество .

Каждое непустое множество имеет по крайней мере два подмножества:

1) пустое множество является подмножеством любого множества Æ ;

2) каждое множество является подмножеством самого себя .

Пример. Приведем примеры подмножеств:

1) множество всех квадратов есть подмножество множества всех прямоугольников;

2) множество студентов–первокурсников вуза является подмножеством множества всех студентов вуза;

3) множество натуральных чисел, делящихся на 10, является подмножеством множества четных натуральных чисел.

Множество натуральных чисел является подмножеством множества рациональных чисел, которое является подмножеством множества действительных чисел. Следовательно, и , или, короче, . Множество натуральных чисел оказывается подмножеством множества действительных чисел. В общем случае, если и , то . Это свойство называют свойством транзитивности отношения включения.

Если одновременно выполняются включения и , то всякий элемент из принадлежит и обратно. В этом случае множества и совпадают, т.е. состоят из одних и тех же элементов. Такие множества называют равными и пишут .

Нужно различать элементы множества подмножества этого множества. Например, когда мы пишем , это означает, что элемент является членом множества, состоящего из трех элементов: и . Когда же пишем , это значит, что множество, состоящее из элемента , является подмножеством множества, состоящего из трех элементов: и .

Замечание: множество из элементов имеет подмножеств.