Дифференциалы.

Гипотетически рассуждая, в условиях неведения о производных, можно было бы задаться вопросом, когда приращение функции представимо в виде ∆у = A∆x + о(∆х), (*)

где А — некоторая константа.

Ответ очевиден.

Это представление имеет место тогда и только тогда, когда функция дифференцируема в точке х. При этом А = f'(x).

Таким образом, проблема тривиальна, и на этом можно было бы закончить, но традиционно на данном аспекте сфокусировалось слишком много внимания, чтобы его теперь можно было обойти стороной.

Определение. Линейная часть приращения ∆у, равная А∆х в представлении, называется дифференциалом функции у = f(x) и обозначается dy.

Следовательно, ∆y = dy+о(∆х), т. е. приращение ∆у равно сумме линейного приращения dy и нелинейной части о(∆х). Полагая для независимого приращения ∆х = dx, имеем откуда, собственно, и возникло обозначение производной