Повторение предыдущего материала

Лекция 5

Повторение предыдущего материала

Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна,… 2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на… (а, b), причем f ¢ (x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Асимптоты.

Определение. Прямая называется асимптотойкривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность…   Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. То есть асимптоты может и не быть.

Схема исследования функций

 

Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:

 

1) Область определения функции.

2) Точки разрыва. (Если они имеются). Если есть точки разрыва, то посмотреть нет ли вертикальных асимптот.

3) Наклонные асимптоты, если имеются.

4) Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Определить промежутки знакопостоянства функции (т.е. промежутки, на которых функция сохраняет знак).

5) Найти производную и критические точки. Определить знаки производной и найти интервалы возрастания и убывания. Определить точки максимума и минимума.

6) Найти вторую производную и критические точки второго рода (т.е. такие точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует). Определить знаки второй производной и найти интервалы выпуклости и вогнутости. Определить точки перегиба.

7) Построение графика.

 

Применение этой схемы рассмотрим на примере.

 

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

 

1. Областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).

2. Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1. Прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.

3. Теперь найдем наклонные асимптоты.

 

Итак, уравнение наклонной асимптоты – y = x.

4. Найдем точки пересечения с осями Ox и Oy: Если x=0, то y=0. Если y=0, то x=0. В этом случае есть только одна точка (0,0).

 

5. Найдем производную функции

 

Критические точки: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1. Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-¥ < x < -, y¢ > 0, функция возрастает

-< x < -1, y¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает

Значит, точка х = -является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3/2 и -3/2.

 

6. Найдем вторую производную функции

.

 

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥ < x < -, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

-< x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

-1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая

< x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая

 

7. Построим график функции:

 

 

 

Домашнее задание

Исследуйте функции с помощью производной и постройте графики функций:

у = 3х² – х³. .

.

 

 

Используя правило Лопиталя, вычислите пределы функций:

...

Найдите наибольшее и наименьшее значения следующих функций
(укажите точки, в которых достигаются эти значения):

у = х⁴ – 8х² +3 на отрезке [–2; 2].

а)на отрезке ;