Асимптоты.

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

Определение. Прямая называется асимптотойкривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

 

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. То есть асимптоты может и не быть.

Асимптоты бывают вертикальные и наклонные. Исследование функций на асимптоты позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.

 

 

Рассмотрим правила нахождения асимптот кривых.

 

Вертикальные асимптоты.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках, где функция не является непрерывной.

Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

В общем случае, если или или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

 

Наклонные асимптоты.

 

Как выглядит график функции, имеющей наклонную асимптоту? Мы можем составить представление, посмотрев на рисунок.

 

 

Пусть прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой ниже приведены формулы для вычисления коэффициентов k и b.

, .

Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

Примеры

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

1) Вертикальные асимптоты: Вполне возможно, что вертикальная асимптота х = 0.

Нужно посмотреть, что происходит с y при x®0. При вычислении пределов получается, что y®+¥ при x®0-0 и y®-¥ при x®0+0, следовательно, х = 0 - вертикальная асимптота.

2) Наклонные асимптоты:

Вычисляем по формулам

 

 

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

 

Построим график функции:

 

 

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

 

Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.

 

Найдем наклонные асимптоты:

y = 0 – горизонтальная асимптота.

 

 

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

 

Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.

 

Найдем наклонные асимптоты.

 

Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.