Число называется детерминантом (определителем) этой матрицы и обозначается символом:
или .
Итак, , то есть для вычисления определителя матрицы надо из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, вычесть произведение элементов, стоящих на побочной ее диагонали.
Пример: .
Свойства этого определителя:
Свойство 1: При перестановке строк матрицы на место столбцов и обратно определитель матрицы не меняется.
Пусть задана матрица , а матрица получена из перестановкой строк на место столбцов.
называется транспонированной матрицей по отношению к .
Тогда, .
Свойство 2: При перестановке двух столбцов (или строк) абсолютное значение определителя матрицы не меняется, а знак меняется на противоположный.
Пусть задана матрица , полученная из перестановкой столбцов. Тогда,
.
Свойство 3:Если матрица имеет два одинаковых столбца (или строки), то определитель матрицы равен нулю.
Свойство 4: Если все элементы какого-либо столбца (строки) матрицы умножить на одно и то же число, то определитель матрицы окажется умноженным на то же число.
; .
;
.
Свойство 5:Если все элементы какого-либо столбца (или строки) матрицы равны нулю, то определитель матрицы равен нулю.
Свойство 6: Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк матрицы пропорциональны, то .
; .
Свойство 7:Пусть все элементы какого-либо столбца (строки) матрицы представляют собой сумму двух слагаемых, и пусть соответственные столбцы матрицы и состоят из этих слагаемых.
; ; .
Тогда, .
Свойство 8:Определитель матрицы не меняется, если к элементам какого-либо столбца (или строки) матрицы прибавить элементы другого столбца (или строки), умноженные на одно и то же число.
Пусть и .
Тогда,