Определители третьего порядка, определители высших порядков.

 

Рассмотрим матрицу порядка .

.

Возьмем произвольный элемент этой матрицы , удалим ту строку и тот столбец, на пересечении которых стоит этот элемент (т.е. -ую строку и -ый столбец). Тогда получим матрицу -го порядка. Определитель этой матрицы -го порядка называется минором матрицы , соответствующим элементу , и обозначается .

Пусть исходная матрица была 3-го порядка: .

Она имеет девять миноров, являющихся определителями матриц 2-го порядка.

Запишем минор , и т.д.

, и так далее.

Определение:определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по следующему правилу:

Эта формула называется разложением определителя матрицы по элементам первой строки.

Так как свойства определителя матрицы 2-го порядка верны и для определителей матриц 3-го порядка и высших порядков, то, учитывая 1-ое свойство, можно записать разложение определителя матрицы по элементам первого столбца:

.

А учитывая 2-ое свойство (при перестановке двух строк (или столбцов) матрицы значение определителя матрицы не меняется, а знак меняется на противоположный), можем записать разложение определителя матрицы по элементам любой строки

и столбца

.

Определение:Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется минор этой матрицы, взятый со знаком плюс, если сумма четна и минус, если – нечетна.

, , .

Теперь формулы для вычисления определителя матрицы через его миноры можно записать так:

,

,

,

,

,

.

 

Пусть дана матрица -го порядка

.

Определителем этой матрицы называется число, полученное по следующему правилу:

, (2)

причем , а минор будет определителем матрицы -го порядка.

Формула (2) есть разложение определителя по элементам первой строки.

Все свойства верны для матриц -го порядка.