Пусть число уравнений равно числу неизвестных ().
Теорема:Пусть дана система из уравнений с неизвестными
,
тогда если
1) - определитель матрицы системы не равен 0, то система совместная и определенная, решения ищется по формулам: , – определитель матрицы, получаемый из основной матрицы системы заменой -го столбца столбцом свободных членов.
2) = 0.
2а) если все = 0, то система совместная и неопределенная.
2б) если хотя бы один из вспомогательных не равен 0, то система несовместная.
Матричное решение систем линейных уравнений размера
Матричная запись системы линейных уравнений размера
,
где – матрица размера , и – векторы-столбцы.
Умножим обе части слева на матрицу – обратную к матрице .
, ,
тогда уравнение имеет вид , окончательно .
При этом матрица должна быть невырожденной, т. е. .