Глава 1. Высказывания

 

 

Курс лекций по математике

 

(составитель: старший преподаватель
кафедры МНО Керова Г. В. )
Раздел 1. Общие понятия математики

Глава 1. Высказывания

Высказывания и операции над ними. Равносильные высказывания

 

Когда мы говорим, пишем, то свои мысли выражаем при помощи предложений.

Рассмотрим ряд простых повествовательных предложений:

1) Студенты педфака изучают математику 5 лет.

2) Чепца – судоходная река.

3) Ижевск – столица Удмуртии.

4) Все птицы – перелетные.

Все эти предложения различны по содержанию, но есть для них нечто общее – в одних предложениях утверждается нечто истинное (правильное, верное), а в других нечто ложное (неправильное, неверное). Так, предложения 1 и 3 считаем истинными, а предложения 2 и 4 ложными.

Определение. Повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно, называется высказыванием.

Вопросительные, восклицательные предложения высказываниями не являются. Например, предложения «Который час?», «Пусть всегда будет мир!» высказываниями не являются.

Предложения, содержащие переменные, которые могут принимать различные значения, тоже не считают высказываниями, т.к. при одних значениях переменных они становятся истинными высказываниями, а при других – ложными. Например, предложение х + 2 < 5 не является высказыванием, т.к. при х = 2 получим истинное предложение, а при х = 7 – ложное предложение.

Высказывания могут обозначаться не только с помощью слов, но и с помощью различных символов: 5 · 5 = 25, 7 · 8 < 50, Н₂О – вода (первое и третье высказывание являются истинными, а второе – ложным).

Условимся обозначать высказывания заглавными буквами латинского алфавита, значение истинного высказывания буквой «И», ложного высказывания – буквой «Л».

Уже с первых уроков математики учащиеся начальных классов встречаются с высказываниями, в основном, с истинными, например: 1 < 2, 2 + 3 = 5 и т.д. Позже появляются высказывания о числах двузначных и трехзначных, геометрических фигурах и т.д.

Так, выполняя упражнение: «Проверьте, правильно ли выполнено действие: 364 + 287 = 641», требуется установить, истинным или ложным является данное предложение. Легко определить, что оно ложно.

 

Высказывания бывают элементарные (простые) и составные.

Определение. Высказывание называется элементарным, если его нельзя расчленить на другие высказывания.

Определение. Высказывание называется составным, если его можно расчленить на другие высказывания.

Пример. «Число 135 делится на 5.» – элементарное высказывание, а «Число 135 трехзначное и делится на 5.» - составное высказывание.

Составные высказывания образуются из элементарных при помощи связок «и», «или», «если, то», «неверно, что», «тогда и только тогда», причем их смысловая характеристика не рассматривается. Допускаются, например, такие высказывания: «Земля вращается вокруг Солнца и параллельные прямые не пересекаются».

 

Операции над высказываниями

1. Отрицание высказываний

Пусть А – некоторое высказывание.

Определение. Высказывание «не А» называют отрицанием высказывания А (обозначают ). Оно истинно, когда высказывание А ложно, и ложно, когда высказывание А истинно.

Связь между высказыванием и его отрицанием можно изобразить с помощью таблицы, которую называют таблицей истинности:

А
И	Л
Л	И

 

 

Чтобы получить отрицание некоторого высказывания А, можно перед данным высказыванием поставить слова «неверно, что» или к сказуемому добавить частицу «не» (или ее отбросить, если она стоит перед сказуемым в высказывании). Например, если В – высказывание «8 делится на 2», то – высказывание «неверно, что 8 делится на 2» или «8 не делится на 2».

Пусть А – некоторое высказывание. Его отрицание тоже является высказыванием, и, следовательно, можно рассмотреть отрицание высказывания , т.е. высказывание . Оно называется двойным отрицанием высказывания А. Легко показать, что двойное отрицание высказывания А есть само высказывание А, т.е. отрицая дважды какое-либо высказывание, получаем исходное высказывание.

 

2. Конъюнкция высказываний

Определение. Высказывание «А и В» (обозначают А Ù В называют конъюнкцией высказываний А, В (от латинского слова соnjunctio – связываю). Оно истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А, В истинны; если хотя бы одно из высказываний ложно, то и конъюнкция ложна. Из определения следует, что таблица истинности будет такой:

А	В	А Ù В
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

Рассмотрим высказывание «Глазов расположен на севере Удмуртии и является ее столицей». Оно является конъюнкцией двух высказываний «Глазов расположен на севере Удмуртии» и «Глазов является столицей Удмуртии». Первое высказывание истинно, а второе ложно, следовательно, все высказывание будет ложным.

Высказывание «2 < 4 и 3 · 3 = 9» является истинным, т.к. истинны оба высказывания, входящие в конъюнкцию.

С конъюнкцией двух высказываний мы встречаемся, оперируя двойным неравенством. Так, неравенство 23 < 34 < 45 является конъюнкцией двух высказываний «23 < 34» и «34 < 45», т.е. его можно записать так: «23 < 34 Ù 34 < 45» и оно истинно, т.к. истинны оба высказывания, из которых оно составлено.

 

3. Дизъюнкция высказываний

Определение. Высказывание «А или В» (обозначают А Ú В называют дизъюнкцией высказываний А, В (от латинского слова disjunctio – различаю). Оно ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А, В ложны; если хотя бы одно из высказываний истинно, то и конъюнкция истинна. Из определения следует, что таблица истинности имеет вид:

А	В	А Ú В
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Высказывание «Стихотворение «Идет бычок, качается» написал Пушкин или Лермонтов» является ложным, т.к. ложны оба элементарные высказывания, в него входящие.

Высказывание «2 · 2 = 4 или 2 · 2 = 5» является истинным, т.к. одно из элементарных высказываний «2 · 2 = 4» истинно.

Нестрогое неравенство, например, «12 ³ 4» представляет собой дизъюнкцию высказываний «12 > 4» и «12 = 4». Поскольку одно из высказываний истинно, то и вся дизъюнкция истинна.

4. Импликация высказываний

Определение. Высказывание «если А, то В» (обозначают А Þ В) называют импликацией высказываний А, В (от латинского слова implicatio – тесно связываю). Оно ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А истинно, а высказывание В ложно; во всех остальных случаях импликация истинна. Из определения следует, что таблица истинности имеет вид:

А	В	А Þ В
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

Рассмотрим импликацию: «Если 3 < 5, то 7 · 8 = 48». Т.к. условие импликации «3 < 5» истинно, а заключение импликации «7 · 8 = 48» ложно, то все высказывание является ложным.

Высказывание «Если 2 · 2 = 5, то Земля – спутник Луны» истинно, т.к. представляет собой импликацию, условие и заключение которой – ложные высказывания.

 

5. Эквиваленция высказываний.

Определение. Высказывание «А в том и только в том случае, если В» (обозначают А Û В) называют эквиваленцией высказываний А, В. Оно истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А, В истинны или оба высказывания А, В ложны; если одно из высказываний истинно, а другое ложно, то эквиваленцию считают ложной. Таблица истинности для эквиваленции имеет вид:

А	В	А ÛВ
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	И

Например, высказывание «Число 123 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3» истинно, т.к. оба высказывания истинны.

Высказывание «Число 29 делится на 3 в том и только в том случае, когда сумма его цифр делится на 3» является истинным, т.к. оба элементарных высказывания ложные.

Высказывание «Число 27 делится на 3 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа делится на 3» будет ложным, т.к. высказывание «Число 27 делится на 3» истинно, а высказывание «Последняя цифра числа 27 делится на 3» ложно.

Определение. Составные высказывания А и В называются равносильными, если принимают одинаковые значения истинности при любых значениях истинности входящих в них элементарных высказываний (обозначают А º В)

 

Законы алгебры высказываний

1. Коммутативные законы А Ù В º В Ù А А Ú В º В Ú А

Глава 2. Элементы теории множеств

Понятие множества. Элемент множества. Пустое множество

Обычно под множеством понимают совокупность предметов, объединенных по общему признаку. Так, можно говорить о множестве студентов в группе,… Для числовых множеств в математике приняты специальные обозначения: N– множество натуральных чисел;

Способы задания множеств

Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.

Множество можно задать, перечислив все его элементы. Запись С = {а, б, в, г} обозначает, что множество С содержит элементы а, б, в, г.

Каждый элемент входит в множество только один раз. Например, множество различных букв в слове «математика» запишется так: {м, а, т, е, и, к}.

Данный способ применим для конечных множеств, которые содержат небольшое число элементов.

Иногда, используя данный способ, можно задать и бесконечное множество. Например, множество натуральных чисел может быть представлено в виде: N= {1, 2, 3, 4, ...}. Такой способ записи возможен лишь тогда, когда из записанной части множества видно, что скрывается под многоточием.

Другой способ задания множеств состоит в следующем: указывают характеристическое свойство его элементов. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

Случается, что одно и то же множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество двузначных чисел, делящихся на 11 и множество натуральных чисел первой сотни, записанных двумя одинаковыми цифрами, содержат одни и те же элементы.

При данном способе задания множество может быть записано так: в фигурных скобках пишут сначала обозначение элемента, затем проводят вертикальную черту, после которой записывают свойство, которым обладают элементы данного множества. Например, множество А натуральных чисел, меньших 5, запишется так: А = {х½хÎN, х < 5}.

 

Отношения между множествами. Графическая иллюстрация множеств

Определение. Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно множествам А и В, то говорят, что эти множества… Например, множества А = {1, 2, 3, 4} и В = {0, 3, 5} пересекаются, т.к. имеют… На диаграмме пересекающиеся множества изображают следующим образом:

Операции над множествами

Из элементов двух и более множеств можно образовывать новые множества.

 

1. Пересечение множеств.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множествам А и В одновременно (обозначают А Ç В).

Данное определение можно записать в таком виде:

А Ç В = {х½х Î А Ù х Î В}.

На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью.

А В

 

Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что множества не пересекаются, и пишут А Ç В = Æ.

Если элементы множеств А и В перечислены, то чтобы найти их пересечение, достаточно перечислить элементы, которые одновременно принадлежат множеству А и множеству В, т.е. их общие элементы.

Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А Ç В = {4, 5}.

Если множества А и В заданы указанием их характеристических свойств, то в их пересечение войдут только те элементы, которые обладают одним и другим свойством одновременно.

Например, если множество А – множество однозначных чисел, В – множество натуральных чисел, делящихся на 5, то множеству А Ç В принадлежат натуральные числа, делящиеся на 5.

 

2. Объединение множеств.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из данных множеств (обозначают А È В).

Данное определение можно записать в таком виде:

А È В = {х½х Î А Ú х Î В}.

На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью.

А В

 

Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А È В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Рассмотрим случай, когда множества заданы указанием характеристического свойства. Пусть А – множество чисел, кратных 2; В – множество чисел, кратных 3. Тогда объединению этих множеств будут принадлежать числа, кратные 2 или 3.

Понятие пересечения и объединения множеств можно обобщить на любое конечное число множеств.

 

3. Разность множеств.

Определение. Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В (обозначают А В).

Данное определение можно записать так:

А В = {х½х Î А Ù х Ï В}.

На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью.

А В

 

Если А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А В = {1, 2, 3}.

Часто приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из множеств является подмножеством другого. Если В Ì А, то разность А В называют дополнением множества В до множества А (обозначают ).

Множество на рисунке показано штриховкой.

А

 

 

Определение. Дополнением множества А до универсального называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат универсальному, но не принадлежат множеству А (обозначают ).

Например, если I – множество цифр, а множество А = {1, 2, 3, 4, 5}, то = {6, 7, 8, 9, 0}.

Если множества заданы указанием характеристического свойства и В Ì А, то множество с помощью характеристического свойства, общий вид которого «х Î А Ù х Ï В». Так, если А множество натуральных чисел, кратных 3, а В – множество натуральных чисел, кратных 9, то – это множество, содержащее натуральные числа, кратные 3, но не кратные 9.

Мы рассмотрели различные операции над множествами. Часто для доказательства равенства множеств бывает необходимо знать, в каком случае элемент принадлежит тому или иному множеству. Для удобства составим таблицу.

 

х Î А Ç В Û х Î А Ù х Î В х Ï А Ç В Û х Ï А Ú х Ï В

х Î А È В Û х Î А Ú х Î В х Ï А È В Û х Ï А Ù х Ï В

х Î А В Û х Î А Ù х Ï В х Ï А В Û х Ï А Ú х Î В

х Î Û х Ï А х Ï Û х ÎА

Выясним, каков порядок выполнения действий над множествами.

Пересечение множеств – более «сильная» операция, чем объединение, поэтому в выражении А È В Ç С вначале нужно найти пересечение множеств В и С, а затем найти объединение множества А с полученным множеством.

Условились считать, что пересечение – более «сильная» операция, чем вычитание, поэтому в выражении А В Ç С сначала находят пересечение множеств В и С, а затем полученное множество вычитают из множества А.

Объединение и вычитание множеств считают равноправными, поэтому их выполняют в том порядке, в каком они записаны в выражении.

 

Законы операций над множествами

1. Коммутативные законы А Ç В = В Ç А А È В = В È А

Число элементов объединения двух и трех конечных множеств

В математике часто приходится решать задачи, в которых требуется определить число элементов в множестве, либо в объединении или пересечении… Условимся число элементов конечного множества А обозначать п (А). Пусть А = {a, b, c, d}, п (А) = 4; В = {e, f}, п (В) = 2. Множества А и В не пересекаются, т.е. А Ç В =…

Понятие разбиения множества на классы

 

Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации.

Любая классификация связана с разбиением некоторого множества объектов на подмножества.

Определение. Множество А разбито на классы А₁, А₂, ..., А_п, если:

1) подмножества А₁, А₂, ..., А_п не пусты;

2) подмножества А₁, А₂, ..., А_п попарно не пересекаются;

3) объединение подмножеств совпадает с множеством А.

Если не выполнено хотя бы одно свойство, то классификацию считают неправильной.

Например, если множество треугольников разбить на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные, то разбиение будет выполнено верно, т.к. выполнены все условия, данные в определении.

Если из множества треугольников выделить подмножества равносторонних, равнобедренных и разносторонних треугольников, то разбиения мы не получим, т.к. множество равносторонних треугольников является подмножеством равнобедренных треугольников, т.е. не выполняется второе условие разбиения множества на классы.

Пример 1. Пусть А – множество двузначных чисел. Рассмотрим на этом множестве свойство «быть четным».

А

А2

А1

Множество А разбилось на два подмножества:

А₁ – множество четных чисел,

А₂ – множество нечетных чисел, при этом

А₁ È А₂ = А и А₁ Ç А₂ = Æ.

Т.о. задание одного свойства приводит к разбиению этого множества на 2 класса.

 

Пример 2. Пусть А – множество треугольников. Рассмотрим на данном множестве два свойства: «быть прямоугольным» и «быть равнобедренным». При помощи этих свойств из множества треугольников можно выделить 2 подмножества: В – множество прямоугольных треугольников и С – множество равнобедренных треугольников. Эти множества пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого.

 

По рисунку видно, что получилось 4 класса:

I – В Ç С – множество равнобедренных прямоугольных треугольников;

II – В Ç – множество прямоугольных, но не равнобедренных треугольников;

III – Ç С – множество равнобедренных, но не прямоугольных треугольников;

IV – Ç – множество не равнобедренных и не прямоугольных треугольников.

 

Т.о. с помощью двух свойств множество разбилось на 4 класса, таких, что их пересечение пусто, а их объединение составляет множество А.

Следует отметить, что задание двух свойств приводит к разбиению множества на 4 класса не всегда.

Пример 3. Пусть А – множество треугольников. Рассмотрим на данном множестве два свойства: «быть прямоугольным» и «быть остроугольным». При помощи этих свойств из множества треугольников можно выделить 2 подмножества: В – множество прямоугольных треугольников и С – множество остроугольных треугольников. Эти множества не пересекаются. По рисунку видно, что при помощи этих свойств множество треугольников разбивается на три класса:

I – множество прямоугольных треугольников;

II – множество остроугольных треугольников;

III – множество не прямоугольных, не остроугольных треугольников.

 

Контрольные вопросы

1. При каких условиях считают, что множество разбито на классы?

2. Как определить число элементов в объединении двух или трех конечных множеств?

 

Глава 3. Соответствия

Упорядоченная пара. Декартово произведение двух множеств

Рассмотрим задачу: используя цифры 1, 2, 3, образуйте все возможные двузначные числа. Запись каждого числа состоит из двух цифр, причем существенен порядок их… В том случае, когда важен порядок следования элементов множества, в математике говорят об упорядоченных наборах…

Соответствие между элементами множеств. Способы задания соответствий

 

Учащимся некоторого класса был задан вопрос, какие кружки они посещают. Их ответы были занесены в таблицу:

	Музыкальный	Рисования	Танцевальный	Выжигания
Артем
Борис
Виктор

 

Из таблицы видно, что Артем посещает 3 кружка, а Виктор только один; больше всего из опрошенных посещают кружок рисования и никто из них не посещает кружок выжигания…

В данном примере рассматриваются два множества: Х = {А; Б; В} – множество имен и Y = {м; р; т; в} – множество названий кружков.

При помощи слов «посещать какой-либо кружок» между элементами этих множеств установлена некоторая связь, или, как говорят в математике, соответствие. В таблице это соответствие выделено заштрихованными клетками, а множество всех клеток таблицы является декартовым произведением множеств Х и Y.

Соответствие между множествами Х и Y мы установили, имея 3 множества: множество Х – множество имен, множество Y – множество названий кружков и подмножество декартова произведения Х ´ Y.

Определение. Соответствием между множествами Х и Y называется любое подмножество R декартова произведения множеств Х и Y.

Множество Х называют множеством отправления соответствия, множество Y – множеством прибытия соответствия.

Если пара (х; у) Î R, то говорят, что элемент у соответствует элементу х; у является образом элемента х; х является прообразом элемента у.

Определение. Множество всех первых компонент пар, входящих в соответствие, называется областью определения соответствия.

Определение. Множество всех вторых компонент пар, входящих в соответствие, называется областью значений соответствия.

Т.к. соответствие – подмножество декартова произведения, то способы задания соответствий такие же, как и для декартова произведения.

Пример. Х = {2; 3; 5; 7}, Y = {6; 9; 15; 17}

R – «х – делитель у» – соответствие задано указанием характеристического свойства;

R = {(2; 6); (3; 6); (3; 9); (3; 15); (5; 15)} – соответствие задано перечислением. Также соответствие можно задать таблицей:

Х Y

 

у

графом: графиком:

Х Y

 

2 3 5 7 х

В нашем примере элементу 3 соответствует три элемента множества Y – 6, 9 и 15. Множество, состоящее из чисел 6, 9 и 15, называют образом элемента 3.

В общем случае, образ элемента х из множества Х определяется как множество всех элементов у Î Y, соответствующих элементу х.

Число 6 соответствует двум элементам множества Х – числам 2 и 3. Множество, состоящее из чисел 2 и 3, называют полным прообразом элемента 6 из множества Х.

В общем виде: полный прообраз элемента уÎY определяют как множество элементов х ÎХ, таких что элементу х соответствует элемент у.

Определение. Множество всех элементов из множества Х, имеющих непустые образы, называется областью (множеством) определения соответствия R.

Определение. Множество всех элементов из множества Y, имеющих непустой полный прообраз, называется множеством значений соответствия R.

В нашем примере: {2; 3; 5} – множество определения; {6; 9; 15} – множество значений.

Понятие соответствия между множествами относится к числу фундаментальных понятий математики. Оно лежит в основе определения таких важнейших понятий математики, как функция и отображение. Кроме того, в любой науке изучаются не только сами объекты, но и связи между ними.

 

Взаимно однозначное соответствие

Определение. Отображением f множества Х в множество Y называется такое соответствие между множествами Х и Y, при котором каждому элементу х Î… Определение. Если множество значений отображения f совпадает с множеством… Определение. Если полный прообраз каждого элемента уÎY содержит не более одного элемента (может быть и пустым),…

Равномощные множества. Счетные и несчетные множества

Определение. Два множества Х и Y равномощны, если существует взаимно однозначное отображение множества Х на множество Y. (Обозначают: Х ~ Y). Пример. Множество сторон четырехугольника и множество его углов. Понятие равномощности применимо как к конечным, так и к бесконечным множествам.

Определение числовой функции. Способы задания функций. Свойства функций

На рисунке дан граф соответствия между множествами
Х = {а; b; с; d; е}, Y = {1; 2; 3; 4; 5}. Данное соответствие таково, что не у каждого элемента множества Х есть соответствующий элемент множества Y, но если есть, то он единственный.

А = {а; b; с} – множество тех элементов, для которых есть соответствующий элемент в множестве Y. Заметим, что каждому элементу множества А соответствует единственный элемент множества Y.

Определение. Соответствие между множествами Х и Y, где каждому элементу множества Х соответствует не более одного элемента множества Y, называется функциональным соответствием или функцией.

Функции обозначают буквами латинского алфавита f, g, h и др. и пишут: у = f (х).

х – независимая переменная или аргумент, все значения, которые принимает независимая переменная – область определения функции.

Пусть дана функция f с областью определения А Ì Х, где Х – множество отправления функции f. Множество прибытия обозначим Y.

Элемент у Î Y, соответствующий элементу х Î А, называют значением функции f и пишут у = f (х).

Определение. Множество всех у Î Y, которые являются значениями функции f, называют множеством значений функции f.

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Пример. Пусть дана функция f (х) = . Областью определения функции f (х) является множество R {2}.

Способы задания функций

1) Аналитическое задание функции – задание функции с помощью формулы у = f (х), где f (х) – некоторое выражение в переменной х.

2) Табличное задание функции – приводится таблица, указывающая значение функции для имеющихся в таблице значениях аргумента. Этот способ часто используется на практике, когда зависимость одной величины от другой находят опытным путем; оказывается удобным, т.к. позволяет найти значение функции для имеющихся в таблице значений аргумента без вычислений.

3) Графическое задание функции. Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

 

Свойства функций

Четные и нечетные функции

Определение. Функция у = f (х) называется четной, если для любого элемента х из области определения функции выполняется равенство f (– х) = f (х).

Определение. Функция у = f (х) называется нечетной, если для любого элемента х из области определения функции выполняется равенство f (– х) = – f (х).

Из определений следует, что область определения Х как четной, так и нечетной функции должна обладать следующим свойством: если х Î Х, то – х Î Х.

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Возрастающие и убывающие функции

Определение. Функция у = f (х) называется возрастающей на промежутке Х, если "х₁, х₂ Î Х, таких, что х₁ < х₂, выполняется неравенство f (х₁) < f (х₂).

Определение. Функция у = f (х) называется убывающей на промежутке Х, если "х₁, х₂ Î Х, таких, что х₁ < х₂, выполняется неравенство f (х₁) > f (х₂).

Определение. Функция называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает.

 

Виды функций

1. Постоянная функция. Определение. Постоянной называется функция, заданная формулой у = b, где b -… у = b у

Обратная функция

Пусть функция у = f (х) задает инъективное отображение числового множества Х в множество действительных чисел R (т.е. различным значениям аргумента… Пусть Y – множество значений функции у = f (х), где х Î Х. Тогда для… Чтобы найти выражение для обратной функции, надо выразить х через у и затем поменять их местами.

Контрольные вопросы

 

1. Дайте определение числовой функции. Перечислите способы задания функций.

2. Какое множество называют областью определения и множеством значений функции?

3. Какое множество точек координатной плоскости называют графиком функции?

4. Дайте определения постоянной функции, прямой пропорциональности, обратной пропорциональности, линейной функции, квадратичной функции и укажите их свойства.

 

 

Глава 4. Отношения на множестве

Понятие отношения. Способы задания отношений

 

Мы выяснили, что между элементами двух различных множеств существуют различные соответствия. Но различные связи, отношения существуют и между элементами одного и того же множества.

Например, на множестве студентов первого курса можно рассмотреть отношения: «х старше у», «х и у – друзья», «х и у учатся в одной группе» и т.д.

В математике рассматриваются такие отношения как «х > у», «х кратно у», «прямая х параллельна прямой у» и т.д.

В математике чаще всего рассматриваются отношения между двумя объектами. Их называют бинарными.

Определение. Отношением между элементами множества Х или отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения Х ´ Х.

Другими словами: бинарное отношение – это соответствие, заданное на одном и том же множестве Х.

Обозначают отношения прописными буквами латинского алфавита: Р, Q, R и т.д.

Поскольку отношение есть частный случай соответствия, то и способы задания отношений будут те же, что и для соответствий.

Рассмотрим отношение «меньше», заданное на множестве Х = {1; 2; 3; 4}. Отношение задано указанием характеристического свойства. Зададим его перечислением: R = {(1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 3); (2; 4); (3; 4)}. Также данное отношение можно задать

таблицей

 

 

графом

графиком

 

Точки, изображающие элементы множества Х – вершины графа, стрелки – ребра графа.

Пример. Построим граф отношения «х кратно у», Х = {1; 2; 3; 4}.

 

Каждое число является делителем самого себя, поэтому для каждой точки множества рисуем стрелку, начало и конец которой совпадают (стрелку на графе, у которой начало и конец совпадают, называют петлей).

Графы отношений удобно использовать при решении логических задач, в том числе и в начальной школе.

Задача. Из лагеря вышли 5 туристов. Мы назовем их не в том порядке, в котором они идут один за другим: Вася, Аня, Толя, Лена и Миша. Толя идет впереди Миши, Лена – впереди Васи, но позади Миши, Аня – впереди Толи. Кто идет первым и кто идет последним? Кто идет вслед за Мишей, и кто идет перед Мишей?

В задаче рассматривается два отношения: «идти впереди» и «идти позади». Выберем одно из них, например, «идти впереди», т.е. будем на графе ставить стрелку от впереди идущего к тому, кто идет вслед за ним. Граф будет выглядеть следующим образом:

 

Вася Аня

 

 

Толя

 

Миша

Лена

По графу можно легко ответить на все вопросы задачи: Первой идет Аня, последним – Вася, Вслед за Мишей идет Лена, а перед Мишей – Толя.

Свойства отношений

Отношение, заданное на множестве, может обладать рядом свойств, а именно: 1. Рефлексивность Определение. Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если каждый элемент х множества Х находится в…

Отношение эквивалентности. Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы

 

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пример. Рассмотрим отношение «х однокурсник у» на множестве студентов педфака. Оно обладает свойствами:

1) рефлексивности, т.к. каждый студент является однокурсником самому себе;

2) симметричности, т.к. если студент х является однокурсником студента у, то и студент у является однокурсником студента х;

3) транзитивности, т.к. если студент х - однокурсник у, а студент у – однокурсник z, то студент х будет однокурсником студента z.

Таким образом, данное отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, а значит, является отношением эквивалентности. При этом множество студентов педфака можно разбить на подмножества, состоящие из студентов, обучающихся на одном курсе. Получаем 5 подмножеств.

Отношением эквивалентности являются также, например, отношение параллельности прямых, отношение равенства фигур. Каждое такое отношение связано с разбиением множества на классы.

Теорема. Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно разбивает это множество на попарно непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности).

Верно и обратное утверждение: если какое-либо отношение, заданное на множестве Х, порождает разбиение этого множества на классы, то оно является отношением эквивалентности.

Пример. На множестве Х = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Является ли оно отношением эквивалентности?

Построим граф данного отношения: (самостоятельно)

 

 

Данное отношение обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, следовательно, является отношение эквивалентности и разбивает множество Х на классы эквивалентности. В каждом классе эквивалентности будут числа, которые при делении на 3 дают один и тот же остаток: Х₁ = {3; 6}, Х₂ = {1; 4; 7}, Х₃ = {2; 5; 8}.

Считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом этого класса. Так, класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу.

В начальном курсе математики также встречаются отношения эквивалентности, например, «выражения х и у имеют одинаковые числовые значения», «фигура х равна фигуре у».

Отношение порядка. Упорядоченные множества

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением порядка, если оно транзитивно и асимметрично или антисимметрично. Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением строгого… Примеры отношений строгого порядка: «больше» на множестве натуральных чисел, «выше» на множестве людей и др.

Глава 5. Предикаты и теоремы

Предикаты и операции над ними

В математике часто встречаются предложения, содержащие одну или несколько переменных, например: «х + 2 = 7», «город стоит на Волге». Эти предложения не являются высказываниями, т.к. о них нельзя сказать, истинны они или ложны. Однако при подстановке конкретных значений переменной х они обращаются в истинные или ложные высказывания. Так, в первом примере при х = 5 получаем истинное высказывание, а при х = 3 – ложное высказывание.

Определение. Предложение с переменными, которое при конкретных значениях переменных обращается в высказывание, называется высказывательной формой или предикатом.

По числу входящих в предикат переменных различают одноместные, двухместные и т.д. предикаты и обозначают А(х), В(х;у)…

Пример: А(х): «х делится на 2» – одноместный предикат, В(х; у): «прямая х перпендикулярна прямой у» – двухместный предикат.

Следует иметь в виду, что в предикате переменные могут содержаться неявно: «число делится на 2», «студент получил отличную оценку на экзамене по математике».

Задание предиката, как правило, предполагает и задание множества, из которого выбираются значения переменных, входящих в предикат.

Определение. Множеством (областью) определения предиката называется множество Х, состоящее из всех значений переменных, при подстановке которых в предикат последний обращается в высказывание.

Так, предикат «х > 2» можно рассматривать на множестве натуральных чисел или действительных чисел.

Каждый предикат А(х), х Î Х определяет множество Т Ì Х, состоящее из элементов, при подстановке которых в предикат А(х) вместо х получается истинное высказывание.

Определение. Множество, состоящее из всех тех значений, при подстановке которых в предикат получается истинное высказывание, называется множеством истинности предиката (обозначается Т).

Пример. Рассмотрим предикат А(х): «х < 5», заданный на множестве натуральных чисел. Т = {1; 2; 3; 4}.

Предикаты, как и высказывания, бывают элементарными и составными. Составные предикаты образуются из элементарных при помощи логических связок.

Пусть Т_А – область истинности предиката А(х), Т_В – область истинности предиката В(х).

Определение. Конъюнкцией предикатов А(х) и В(х) называется предикат А(х) Ù В(х), который истинен для тех и только тех значениях х Î Х, для которых оба предиката истинны.

Покажем, что Т_{А Ù В} = Т_А ÇТ_В.

Доказательство. 1) Пусть а Î Т_{А Ù В} Þ А(а) Ù В(а) – истинное высказывание. По определению конъюнкции имеем: А(а) – истинно, В(а) – истинно Þ а Î Т_А Ù а Î Т_В Þ а Î Т_А Ç Т_В Þ Т_{А Ù В} Ì Т_А Ç Т_В.

2) Пусть bÎ Т_А Ç Т_В Þ b Î Т_А Ù b Î Т_В Þ А(b) – истинно, В(b) – истинно Þ по определению конъюнкции А(b) Ù В(b) – истинное высказывание Þ b Î Т_{А Ù В} Þ Т_А Ç Т_В Ì Т_{А Ù В}.

Т.к. Т_{А Ù В} Ì Т_А Ç Т_В и Т_А Ç Т_В Ì Т_{А Ù В}, то по свойству равенства множеств Т_{А Ù В} = Т_А ÇТ_В, что и требовалось доказать.

Заметим, что полученное правило справедливо и для предикатов, содержащих более одной переменной.

Пример. Рассмотрим предикаты А(х): «х < 10», В(х): «х делится на 3», заданные на множестве натуральных чисел. Найдем область истинности предиката А(х) Ù В(х): «х < 10 и делится на 3».

Т_А = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}, Т_В = {3; 6; 9; 12; 15; …}, тогда Т_{А Ù В} = {3; 6; 9}.

Определение. Дизъюнкцией предикатов А(х) и В(х) называется предикат А(х) Ú В(х), который истинен для тех и только тех значениях х Î Х, для которых истинен хотя бы один из предикатов.

Можно доказать (самостоятельно), что Т_{А Ú В} = Т_А ÈТ_В.

Пример. Рассмотрим предикаты А(х): «х делится на 2 », В(х): «х делится на 3», заданные на множестве натуральных чисел. Найдем область истинности предиката А(х) Ú В(х): «х делится на 2 или на 3».

Т_А = {2; 4; 6; 8; 10;…}, Т_В = {3; 6; 9; 12; 15; …}, Т_{А Ú В} = {2; 3; 4; 6; 8; 9; …}.

 

Определение. Отрицанием предиката А(х) называется предикат . Он истинен для тех и только тех значениях х Î Х, для которых предикат А(х) ложен и наоборот.

Заметим, что = .

 

Определение. Импликацией предикатов А(х) и В(х) называется предикат А(х) Þ В(х) (читают: «Если А(х), то В(х)»). Он обращается в ложное высказывание при тех значениях х Î Х, для которых предикат А(х) истинен, а предикат В(х) ложен.

Из определения имеем, что предикат А(х) Þ В(х) ложен на множестве Т_А Ç , а следовательно истинен на дополнении к этому множеству. Воспользовавшись законами операций над множествами, имеем: .

 

Контрольные вопросы

 

1. Что называется высказывательной формой или предикатом?

2. Какие различают предикаты по числу входящих в них переменных? Приведите примеры.

3. Какое множество называют областью определения предиката?

4. Какое множество называют множеством истинности предиката?

5. Что называют конъюнкцией предикатов? Докажите равенство, связывающее область истинности конъюнкции предикатов с областями истинности этих предикатов.

6. Дайте определения дизъюнкции, отрицания, импликации предикатов. Запишите равенства, связывающие области истинности конъюнкции предикатов с областями истинности этих предикатов.

 

Высказывания с кванторами и их отрицания

Например, если на множестве натуральных чисел задан предикат А(х): «х – четное число», то подставив вместо переменной число 4, получим истинное… Существуют и другие способы получения высказывания из предиката. Подставим… Выражение «для всякого х» в логике называют квантором общности, обозначают " х. В математике наряду со словом…

Отношение следование и равносильности между предложениями. Необходимое и достаточное условие

Часто встречаются такие предикаты, что из истинности одного из них следует истинность другого. Например, можно сказать, что из предиката А (х):… Определение. Предикат В (х) следует из предиката А (х), если В (х) обращается… В этом случае говорят, что данные предложении находятся в отношении логического следования и обозначают: А (х) Þ…

Контрольные вопросы

1. Что значит предикат В (х) следует из предиката А (х)? В каком отношении находятся множества истинности этих предикатов?

2. В каком случае предикат А (х) будет являться необходимым условием для предиката В (х), достаточным условием для В (х)?

3. В каком случае предикаты А (х) и В (х) будут равносильны?

 

 

Строение и виды теорем

С логической точки зрения теорема представляет собой высказывание вида А Þ В , где А и В – предикаты с одной или несколькими переменными.… Рассмотрим теорему: «Если натуральное число делится на 2 и на 3, то оно… Т.о. в записи теоремы можно выделить 3 части:

Контрольные вопросы

 

1. Какое утверждение называется теоремой?

2. Для теоремы вида А (х) Þ В (х) запишите обратное, противоположное, обратное противоположному предложения. В каком случае полученные предложения будут являться теоремами?

Глава 6. Математические понятия

Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, ромб имеет 4 угла, 4 стороны, противоположные стороны параллельны. Можно указать и другие свойства, например, диагональ АС расположена горизонтально.

Среди свойств различают существенные и несущественные. Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Несущественные свойства – это такие свойства, отсутствие которых не влияет на существование объекта.

Существенные свойства: иметь 4 равных стороны, 4 угла.

 

Несущественные свойства: вершина В лежит напротив вершины D, диагональ АС расположена горизонтально.

 

Чтобы понимать, что представляет собой данный объект, надо знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте.

Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином. Так, говоря о треугольнике, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся треугольниками.

Любое понятие имеет объем и содержание.

Определение. Объем понятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.

Определение. Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.

Пример. Рассмотрим понятие «параллелограмм». Объем понятия – это множество различных параллелограммов (в том числе и ромбов, прямоугольников, квадратов). В содержание понятия входят такие свойства параллелограммов, как «иметь 4 стороны», «иметь параллельные противоположные стороны», «иметь равные противоположные углы» и т.д.

Между объемом и содержанием понятия существует такая связь: чем «больше» объем понятия, тем «меньше» его содержание и наоборот. Например, объем понятия «ромб» является частью понятия «параллелограмм», а в содержании понятия «ромб» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «параллелограмм». Например, в содержании понятия «ромб» есть свойство «все стороны равны», которого нет в содержании понятия «параллелограмм».

Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами.

Условимся понятия обозначать строчными буквами а, b, с, d,…, а их объемы соответственно А, В, С, D,… .

Если объемы понятий а и b не пересекаются, т.е. А Ç В = Æ, то говорят, что понятия а и b несовместимы. Примерами несовместимых понятий являются понятия трапеции и треугольника.

Если объемы понятий а и b пересекаются, т.е. А Ç В ¹ Æ, то говорят, что понятия а и b совместимы. Пример – прямоугольник и ромб.

Если объемы понятий а и b совпадают, т.е. А = В, то говорят, что понятия а и b тождественны. Пример – квадрат и ромб с прямым углом.

Если объем понятия а является собственным подмножеством объема понятия b, т.е. А Ì В, А ¹ В, то говорят, что:

а) понятие а является видовым по отношению к понятию b, понятие b – родовым по отношению к понятию а;

б) понятие а уже, чем понятие b, понятие b шире, чем понятие а;

в) понятие а есть частный случай понятия b, а понятие b – обобщение понятия а.

Пример: понятие «квадрат» – видовое по отношению к понятию «прямоугольник», а понятие «прямоугольник» – родовое по отношению к понятию «квадрат».

Остановимся подробнее на последнем отношении.

1) Понятие рода и вида относительны. Одно и то же понятие может быть видовым по отношению к одному понятию и родовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» является родовым по отношению к понятию «квадрат» и видовым по отношению к понятию «параллелограмм».

2) Для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий, среди которых можно указать ближайшее. Например, родовыми для понятия «квадрат» будут понятия «прямоугольник», «параллелограмм», «четырехугольник». Ближайшим среди них будет понятие «прямоугольник».

3) Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, понятие «ромб» является видовым по отношению к понятию «параллелограмм»; ромбы обладают всеми свойствами, присущими параллелограммам.

Рассмотрим отношения между понятиями «отрезок» и «прямая». Объемы этих понятий не пересекаются, т.к. ни один отрезок нельзя назвать прямой и наоборот. Об этих понятиях можно сказать, что они находятся в отношении целого и части: отрезок – часть прямой, а не ее вид. Заметим, что часть не всегда обладает свойством целого. Прямая бесконечна, а отрезок – нет.

 

 

Определение понятия. Требования к определению понятия

Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина. Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. Определить… Различают явные и неявные определения. Явные определения имеют форму равенства, совпадения двух понятий, его можно представить в таком виде: а есть (по…

Глава 7. Математические доказательства

Умозаключения и их виды

Умозаключение (рассуждение) – это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося. Умозаключение состоит из посылок и заключения. Посылки – это высказывания, содержащие исходное знание.

Схемы дедуктивных умозаключений

Умозаключение дает истинное заключение, если исходные посылки истинны и соблюдены правила вывода, или, как их еще называют, схемы дедуктивных… Рассмотрим наиболее часто использующиеся правила. 1. Правило заключения: .

Проверка правильности умозаключений

Один из них – с использованием кругов Эйлера. Данное умозаключение вначале записывают на теоретико-множественном языке и изображают посылки на… А В

Способы математического доказательства

В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обосновано и также истинно, как и… Таким образом, основой математического доказательства является дедуктивный… Математическое доказательство – это не просто набор умозаключений, это умозаключения, расположенные в определенном…

Контрольные вопросы

1. Что называется умозаключением?

2. Какое умозаключение называется дедуктивным?

3. Дайте определения неполной и полной индукции.

4. Дайте определение умозаключения по аналогии.

5. Запишите схемы дедуктивных умозаключений и докажите тождественную истинность формул, лежащих в основе этих правил.

6. Как проверить правильность умозаключений с помощью кругов Эйлера? Какие еще известны способы проверки правильности умозаключений?

7. Какое умозаключение называется софизмом?

8. Что значит доказать утверждение?

9. Какие доказательства различают по способу ведения?

10. Опишите способы ведения рассуждения при различных формах прямого и косвенного доказательства.

 

 

Оглавление

 

Раздел 1. Общие понятия математики. 2

Глава 1. Высказывания. 2

§ 1. Высказывания и операции над ними. Равносильные высказывания. 2

§ 2. Законы алгебры высказываний. 4

Глава 2. Элементы теории множеств. 6

§ 1. Понятие множества. Элемент множества. Пустое множество. 6

§ 2. Способы задания множеств. 6

§ 3. Отношения между множествами. Графическая иллюстрация множеств. 7

§ 4. Операции над множествами. 8

§ 5. Законы операций над множествами. 9

§ 6. Число элементов объединения двух и трех конечных множеств. 10

§ 7. Понятие разбиения множества на классы.. 11

Глава 3. Соответствия. 13

§1. Упорядоченная пара. Декартово произведение двух множеств. 13

§ 2. Соответствие между элементами множеств. Способы задания соответствий. 14

§ 3. Взаимно однозначное соответствие. 15

§ 4. Равномощные множества. Счетные и несчетные множества. 15

§ 5. Определение числовой функции. Способы задания функций. Свойства функций. 16

§ 6. Виды функций. 18

§ 7. Обратная функция. 20

Глава 4. Отношения на множестве. 22

§ 1. Понятие отношения. Способы задания отношений. 22

§ 2. Свойства отношений. 23

§ 3. Отношение эквивалентности. Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы.. 25

§ 4. Отношение порядка. Упорядоченные множества. 26

Глава 5. Предикаты и теоремы.. 27

§ 1. Предикаты и операции над ними. 27

§ 2. Высказывания с кванторами и их отрицания. 28

§ 3. Отношение следование и равносильности между предложениями. Необходимое и достаточное условие. 29

§ 4. Строение и виды теорем.. 30

Глава 6. Математические понятия. 32

§ 1. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями. 32

§ 2. Определение понятия. Требования к определению понятия. 33

Глава 7. Математические доказательства. 35

§ 1. Умозаключения и их виды.. 35

§ 2. Схемы дедуктивных умозаключений. 36

§ 3. Проверка правильности умозаключений. 37

§ 4. Способы математического доказательства. 39