рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Проверка правильности умозаключений

Проверка правильности умозаключений - Лекция, раздел Математика, Глава 1. Высказывания В Логике Существуют Различные Способы Проверки Правильности Умозаключений....

В логике существуют различные способы проверки правильности умозаключений.

Один из них – с использованием кругов Эйлера. Данное умозаключение вначале записывают на теоретико-множественном языке и изображают посылки на кругах Эйлера.

Словесная формулировка Запись на теоретико-множественном языке Изображение на кругах Эйлера
Всякое А есть В А Ì В

А

В

 

 

Некоторые А есть В А Ç В ¹ Æ А В  
Некоторые А не есть В А Ç В ¹ Æ А В  
Ни одно А не есть В А Ç В = Æ А В  
а есть А а Î А А  
а не есть А а Ï А А · а    

Изображая посылки на кругах Эйлера, считают их истинными. После этого выясняют, всегда ли при таких посылках истинно заключение. Если всегда – умозаключение правильное; если же возможен рисунок, из которого видно, что заключение может быть ложным, то умозаключение неправильное.

В
Пример 1. Все числа, делящиеся на 10, делятся на 5. Число 140 делится на 10. Следовательно, число 140 делится на 5.

А
Запишем данное умозаключение на теоретико-множественном языке, для чего обозначим через А множество чисел, делящихся на 10, через В множество чисел, делящихся на 5. Тогда умозаключение можно записать в виде: . Изобразив посылки на кругах Эйлера, видим, что в этом случае а Î В, т.е. умозаключение построено правильно.

Пример 2. Все числа, делящиеся на 10, делятся на 5. Число 47 не делится на 10. Следовательно, число 47 не делится на 5. На теоретико-множественном языке умозаключение

А
В
А
· а
В
примет вид: . Изобразим посылки на кругах Эйлера и посмотрим, обязательно ли
а Ï В. По первому рисунку видно, что возможен случай, когда а Î В. Следовательно, заключение логически не следует из посылок, т.е. умозаключение построено неправильно.

Второй способ связан с применение таблиц истинности.

Пример. Если Иванов является участником этого преступления, то он знал потерпевшего. ылки на кругах Эйлера и посмотрим, обязательно ли делится на 5. еправльное. осылки на кругах Эйлера. к их еще называют, схемИванов не знал потерпевшего, но знал его жену. Потерпевший знал Иванова. Следовательно, Иванов является участником преступления.

Введем обозначения:

р – Иванов является участником этого преступления;

q – Иванов знал потерпевшего;

r – Иванов знал жену потерпевшего;

s – потерпевший знал Иванова.

Запишем рассуждение схематически: . Этому рассуждению соответствует формула (p ® q) Ù (Ù r) Ù s ® p. Если эта формула является тождественно истинной, то рассуждение является правильным, если нет – неправильным. Составим таблицу истинности.

p q r s p ® q Ù r (p ® q) Ù (Ù r) Ù s (p ® q) Ù (Ù r) Ù s ® p
И И И И И Л Л Л И
И И И Л И Л Л Л И
И И Л И И Л Л Л И
И Л И И Л И И Л И
Л И И И И Л Л Л И
И И Л Л И Л Л Л И
И Л Л И Л И Л Л И
И Л И Л Л И И Л И
Л Л И И И И И И Л
Л И Л И И Л Л Л И
Л И И Л И Л Л Л И
Л Л Л И И И Л Л И
Л Л И Л И И И Л И
Л И Л Л И Л Л Л И
И Л Л Л Л И Л Л И
Л Л Л Л И И Л Л И

Из таблицы видно, что формула не является тождественно истинной, следовательно нет основания считать рассматриваемое рассуждение правильным.

 

Третий способ. Принимается, что истинностное значение заключения ложно, а каждая из посылок истинная. Анализируется, что получится из необходимого для этого приписывания истинностных значений для простых компонентов. Такой анализ приводит либо к противоречию, доказывающему, что заключение есть логическое следствие из всех посылок, либо к приписыванию для каждого из простых компонентов такого истинностного значения, что все допущения будут удовлетворяться: последнее подтверждает, что это рассуждение не логично.

Пусть в нашем примере импликация ложна. Это возможно, если посылка истинна, а заключение ложно; следовательно, каждый член конъюнкции имеет истинное значение:
(p ® q) Ù (Ù r) Ù s ® p.

и и и л

Т.к. Ù r принимает истинное значение, то – истинно, r – истинно. Если – истинно, то q – ложно; в этом случае импликация p ® q принимает истинное значение, т.к. из лжи следует ложь. Получаем, что если p принимает значение ложь, q – ложь, r – истина, s – истина, то наше допущение выполняется (противоречия нет) и исходное рассуждение не логично.

 

Математические софизмы

 

В математике давно заметили, что использование схем, не гарантирующих истинность заключения, приводят к неверному выводу, лонному заключению. Математики стали умышленно придумывать неправильные рассуждения, имеющие видимость правильных.

Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применения теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности».

В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики.

Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях.

Пример 1. Докажем, что 5 = 1. Будем рассуждать так: из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и тоже число 3. Получим числа 2 и –2. При возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа 4 и 4. Значит, должны быть и исходные числа 5 и 1. Необходимо указать, где допущена ошибка. Ошибка в следующем: из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.

Пример 2. Докажем, что спичка вдвое длиннее телеграфного столба. Пусть а – длина спички (дм) и b – длина столба (дм). Разность между b и а обозначим через с. Имеем: b – а = с,
b = а + с. Перемножая эти два равенства по частям, находим: b2ab = ca+ c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2ab – bc = ca+ c2bc, или b(ba – c) = – c(ba – c), откуда b = – с, но
b – а = с, поэтому b = а b, или а = 2b, т.е. спичка вдвое длиннее телеграфного столба. Ошибка состоит в том, что нельзя делить на ba – c, т.к. ba – c = 0.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Глава 1. Высказывания

Курс лекций по математике...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Проверка правильности умозаключений

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Законы алгебры высказываний
  1. Коммутативные законы А Ù В º В Ù А А Ú В º В Ú А 2. Ассоц

Понятие множества. Элемент множества. Пустое множество
Множество – основное понятие математики и поэтому не определяется через другие. Обычно под множеством понимают совокупность предметов, объединенных по общему признаку. Так, можно говорить

Отношения между множествами. Графическая иллюстрация множеств
  Определение. Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно множествам А и В, то говорят, что эти множества

Законы операций над множествами
  1. Коммутативные законы А Ç В = В Ç А А È В = В È А 2. Ассоциативные з

Число элементов объединения двух и трех конечных множеств
  В математике часто приходится решать задачи, в которых требуется определить число элементов в множестве, либо в объединении или пересечении множеств. Условимся число элемен

Упорядоченная пара. Декартово произведение двух множеств
  Рассмотрим задачу: используя цифры 1, 2, 3, образуйте все возможные двузначные числа. Запись каждого числа состоит из двух цифр, причем существенен порядок их следования (ч

Взаимно однозначное соответствие
Определение. Отображением f множества Х в множество Y называется такое соответствие между множествами Х и Y, при котором каждому элемен

Равномощные множества. Счетные и несчетные множества
Определение. Два множества Х и Y равномощны, если существует взаимно однозначное отображение множества Х на множество Y. (Обозначают: Х ~ Y).

Виды функций
  1. Постоянная функция. Определение. Постоянной называется функция, заданная формулой у = b, где b - некоторое число.

Обратная функция
  Пусть функция у = f (х) задает инъективное отображение числового множества Х в множество действительных чисел R (т.е. различным значения

Свойства отношений
  Отношение, заданное на множестве, может обладать рядом свойств, а именно: 1. Рефлексивность Определение. Отношение R на множестве Х

Отношение порядка. Упорядоченные множества
  Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением порядка, если оно транзитивно и асимметрично или антисимметрично. Определение. Отн

Высказывания с кванторами и их отрицания
Если задан предикат, то, чтобы превратить его в высказывание, достаточно вместо каждой из переменных, входящих в предикат, подставить ее значение. Например, если на множестве натуральных ч

Отношение следование и равносильности между предложениями. Необходимое и достаточное условие
  Часто встречаются такие предикаты, что из истинности одного из них следует истинность другого. Например, можно сказать, что из предиката А (х): «число х кратно

Строение и виды теорем
Теорема – это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства). С логической точки зрения теорема представляет собой высказывание вида А &T

Определение понятия. Требования к определению понятия
Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение. Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового

Умозаключения и их виды
  Умозаключение (рассуждение) – это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося. Умозаключение состоит из посылок и заключения. Посылки – это выск

Схемы дедуктивных умозаключений
  Умозаключение дает истинное заключение, если исходные посылки истинны и соблюдены правила вывода, или, как их еще называют, схемы дедуктивных умозаключений. Рассмотрим наиб

Способы математического доказательства
Доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных утверждений. В логике считают, что если рассматриваемое утвержд

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги