рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Упорядоченная пара. Декартово произведение двух множеств

Упорядоченная пара. Декартово произведение двух множеств - Лекция, раздел Математика, Глава 1. Высказывания   Рассмотрим Задачу: Используя Цифры 1, 2, 3, Образуйте Все Воз...

 

Рассмотрим задачу: используя цифры 1, 2, 3, образуйте все возможные двузначные числа.

Запись каждого числа состоит из двух цифр, причем существенен порядок их следования (числа 12 и 21 различны).

В том случае, когда важен порядок следования элементов множества, в математике говорят об упорядоченных наборах элементах. В данном случае имеем дело с упорядоченной парой.

Упорядоченную пару, образованную из элементов а, b обозначают (а; b).

а – первая компонента пары, b – вторая компонента пары.

Определение. Пары (а; b) и (с; d) равны тогда и только тогда, когда а = с и b = d.

В школьном курсе математики мы встречались с упорядоченными парами при использовании прямоугольной системы координат, в которой каждая точка имеет координаты, представляющие собой пару чисел.

Задача. А = {1; 2}, В = {5; 6}. Составьте все возможные двузначные числа, число десятков которого принадлежит множеству А, а число единиц – множеству В.

Такими числами будут 15, 25, 16, 26.

В процессе решения этой задачи из двух данных множеств А и В образовано новое множество, элементами которого являются упорядоченные пары чисел (1; 5), (2; 5), (1; 6), (2; 6). Это новое множество называют декартовым произведением множеств А и В.

Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.

Записывают: А ´ В = {(а; bа Î А, bÎВ}

Пример. А = {1; 2}, В = {3; 4}. А ´ В = {(1; 3); (2; 3); (1; 4); (2; 4)}; В ´ А = {(3; 1); (3; 2); (4; 1); (4; 2)}. А ´ В ¹ В ´ А, следовательно, декартово умножение не обладает свойством коммутативности.

Аналогично рассуждая, можно показать, что для этой операции не выполняется свойство ассоциативности.

Декартово произведение множеств есть множество, поэтому, как и всякое множество, его можно задать перечислением и указанием характеристического свойства.

Элементы декартова произведения удобно записывать при помощи таблицы:

В А
(1; 2) (1; 4)
(2; 3) (2; 4)

Каждый элемент множества А ´ В записывается в клетке, стоящей на пересечении соответствующей строки и столбца. Т.о. множество клеток этой таблицы представляет собой декартово произведение множеств А ´ В.

Декартово произведение множеств можно задать также

  у  
А
1 2 х
В
графом и графиком

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Глава 1. Высказывания

Курс лекций по математике...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Упорядоченная пара. Декартово произведение двух множеств

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Законы алгебры высказываний
  1. Коммутативные законы А Ù В º В Ù А А Ú В º В Ú А 2. Ассоц

Понятие множества. Элемент множества. Пустое множество
Множество – основное понятие математики и поэтому не определяется через другие. Обычно под множеством понимают совокупность предметов, объединенных по общему признаку. Так, можно говорить

Отношения между множествами. Графическая иллюстрация множеств
  Определение. Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно множествам А и В, то говорят, что эти множества

Законы операций над множествами
  1. Коммутативные законы А Ç В = В Ç А А È В = В È А 2. Ассоциативные з

Число элементов объединения двух и трех конечных множеств
  В математике часто приходится решать задачи, в которых требуется определить число элементов в множестве, либо в объединении или пересечении множеств. Условимся число элемен

Взаимно однозначное соответствие
Определение. Отображением f множества Х в множество Y называется такое соответствие между множествами Х и Y, при котором каждому элемен

Равномощные множества. Счетные и несчетные множества
Определение. Два множества Х и Y равномощны, если существует взаимно однозначное отображение множества Х на множество Y. (Обозначают: Х ~ Y).

Виды функций
  1. Постоянная функция. Определение. Постоянной называется функция, заданная формулой у = b, где b - некоторое число.

Обратная функция
  Пусть функция у = f (х) задает инъективное отображение числового множества Х в множество действительных чисел R (т.е. различным значения

Свойства отношений
  Отношение, заданное на множестве, может обладать рядом свойств, а именно: 1. Рефлексивность Определение. Отношение R на множестве Х

Отношение порядка. Упорядоченные множества
  Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением порядка, если оно транзитивно и асимметрично или антисимметрично. Определение. Отн

Высказывания с кванторами и их отрицания
Если задан предикат, то, чтобы превратить его в высказывание, достаточно вместо каждой из переменных, входящих в предикат, подставить ее значение. Например, если на множестве натуральных ч

Отношение следование и равносильности между предложениями. Необходимое и достаточное условие
  Часто встречаются такие предикаты, что из истинности одного из них следует истинность другого. Например, можно сказать, что из предиката А (х): «число х кратно

Строение и виды теорем
Теорема – это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства). С логической точки зрения теорема представляет собой высказывание вида А &T

Определение понятия. Требования к определению понятия
Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение. Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового

Умозаключения и их виды
  Умозаключение (рассуждение) – это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося. Умозаключение состоит из посылок и заключения. Посылки – это выск

Схемы дедуктивных умозаключений
  Умозаключение дает истинное заключение, если исходные посылки истинны и соблюдены правила вывода, или, как их еще называют, схемы дедуктивных умозаключений. Рассмотрим наиб

Проверка правильности умозаключений
В логике существуют различные способы проверки правильности умозаключений. Один из них – с использованием кругов Эйлера. Данное умозаключение вначале записывают на теоретико-множественном

Способы математического доказательства
Доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных утверждений. В логике считают, что если рассматриваемое утвержд

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги