ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ЭТФ (ИРЭ)(ЭР–1÷7, ЭЛ-15), 1 семестр, 23, 2013/2014 уч. год

Лектор Богомолова Е.П.

 

Экзаменационная программа

1. Окрестности на расширенной числовой прямой. Определение предела в точке и при . Односторонние пределы. Иллюстрация. 2. Определение бесконечно малой функции в точке и при . Арифметические… 3. Теорема об асимптотическом представлении функции, имеющей конечный предел. Действия с пределами.

ПРИМЕРНЫЕ ТИПЫ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ЗАДАЧ

Тип 1. Дана функция . Найти:

а) производные первого и второго порядков;

б) дифференциалы первого и второго порядков;

в) формулы Тейлора первого, третьего и др. порядков в точках и ;

г) формулу Лагранжа на отрезке ;

д) среднее значение на отрезке ;

е) точки экстремума и уравнения касательных в этих точках;

ж) точки перегиба графика функции и уравнения касательных в этих точках;

з) асимптоты графика функции;

и) интеграл на ;

к) интеграл на ;

л) приближённое значение интеграла на от функции .

 

Тип 2. Дана функция .

а) провести полное исследование функции и построить график функции;

б) по графику функции построить график её производной;

в) по графику функции построить график одной из её первообразных.

 

Тип 3. Дана функция . Найти:

а) предел функции при ;

б) производную первого порядка.

 

Тип 3. В полярной системе координат для функции :

а) определить допустимые значения полярного угла;

б) изобразить соответствующую кривую;

в) найти длину этой кривой при ;

г) найти площадь фигуры, ограниченной этой кривой при , и полярной осью.

 

Тип 4. Для поверхности :

а) определить тип;

б) изобразить линии её пересечения с координатными плоскостями;

в) найти точки пересечения с координатными осями;

г) узнать, пересекает ли её прямая, проходящая через начало координат и имеющая направляющий вектор .

 

Тип 5. Даны два числа и . Найти:

а) модуль и аргумент каждого из чисел (изобразить на комплексной плоскости);

б) комплексно сопряжённые числа для каждого их чисел;

в) сумму и произведение данных чисел;

г) корень уравнения ;

д) тригонометрическую и показательную формы для каждого из чисел.

 

Тип 4. Даны точки А (1,–2,3), В (–1,0,3), С (5,0,–1), О (0,0,0). Найти:

а) объем пирамиды построенной на векторах ;

б) уравнение прямой, содержащей ребро ;

в) площадь грани с ребрами и ;

г) расстояние от точки O до грани с ребрами и ;

д) уравнение прямой, содержащей высоту пирамиды, опущенной из точки ;

е) уравнение плоскости, проходящей через точку и середины ребер и ;

ж) точку пересечения высоты, проведенной из точки и грани ;

з) уравнение перпендикуляра, проведенного к грани через точку пересечения медиан ;

и) уравнение плоскости, проходящей через вершину параллельно грани ;

к) уравнения плоскости, проходящей через вершины и перпендикулярно

грани

л) расстояние от основания высоты, проведенной из вершины до точки ;

м) угол между гранями и ;

н) угол между ребрами и ;

о) объем пирамиды, отсекаемой от пирамиды плоскостью, проходящей через середины ребер и ;

п) объем пирамиды, отсекаемой от пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра параллельно грани .

 

Тип 5. Дана матрица

а) решить систему

б) решить систему при

в) решить систему

г) решить систему , где

д) решить систему , где

ж) найти базис пространства решений системы

з) найти какую-нибудь фундаментальную систему решений для системы

 

Тип 6. Дан оператор в пространстве R³, действующий следующим образом А:

в базисе е₁, е₂, е₃.

а) найти его матрицу;

б) найти его собственные значения и собственные векторы;

в) найти образ вектора ;

г) найти образы базисных векторов е₁, е₂, е₃ и матрицу А_е в базисе е;

д) найти матрицу А_f оператора А в базисе

е) найти матрицу обратного оператора А^-1 в базисе е;

ж) найти ранг оператора где .