График функции распределения

Из свойств функции распределения следует:

Ø График расположен в полосе, ограниченной прямыми y=0 и y=1;

Ø При возрастании х в интервале (a,b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график “поднимается вверх”;

Ø При х ≤ a ординаты графика равны нулю; при х ≥ b ординаты графика равны единице.

График функции распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

 

F(x)

 

 

 

a b x

 

10.14. Функцию распределения вероятностей случайной величины называют интегральной функцией.

По функции распределения вероятностей трудно судить о характере распределения в небольшой окрестности точки числовой оси. Для этого удобнее пользоваться плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

10.15. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x):

 

f(x) = F′(x).

 

Функцию f(х) называют дифференциальной функцией.

 

10.16. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b:

 

Р(а < X < b) = f(x)dx .

 

Если известна плотность распределения f(x), то функция распределения F(x) находится по формуле:

 

F(x) = f(x)dx.

10.17. Плотность распределения обладает следующими свойствами:

Ø плотность распределения – неотрицательная функция:

 

f(x) ≥ 0.

 

Геометрически это свойство означает, что точки, принадлежащие графику плотности распределения, расположены либо над осью ОХ, либо на этой оси;

 

Ø несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - ∞ до ∞ равен единице:

 

f(x)dx = 1.

Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то

 

f(x)dx = 1.

 

10.18. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку

[a, b], называется определенный интеграл:

M (X) = x f(x)dx

Если возможные значения принадлежат всей оси ОХ, то

 

М(X) = f(x)dx.

Все свойства математического ожидания, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных величин.

Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством:

 

D(X) = [x – M(X)]² f(x)dx,

 

или D(X) = x² f(x)dx – [M(x)]².

 

Если все возможные значения Х принадлежат интервалу (a, b), то

 

D(X) = [x – M(X)]² f(x)dx,

 

или D(X) = x² f(x)dx – [M(X)]^2.

 

Все свойства дисперсии, указанные для дискретных случайных величин сохраняются и для непрерывных величин.

Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной величины:

 

Задача 19.Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной по данному закону ее распределения:

 

Х	-5
р	0,4	0,3	0,1	0,2

 

Решение. Дисперсию можно вычислить, исходя из ее определения, однако мы воспользуемся формулой

 

D(X) = M(X²) – [M(X)]².

 

Найдем математическое ожидание случайной величины Х:

 

M(X) = х₁р₁ + х₂р₂ + … + х_nр_n = -5∙0,4 + 1∙0,3 + 8∙0,1 + 4∙0,2 = -0,1

 

Напишем закон распределения для Х²:

 

Х2
р	0,4	0,3	0,1	0,2

 

Найдем математическое ожидание квадрата случайной величины Х²:

 

M(X²) = х²₁ р₁+ х ²₂р₂ + … + х²_nр_n,

 

M(X²) = 25∙0,4 + 1∙0,3 + 64∙0,1 + 16∙0,2 = 19,9.

Найдем искомую дисперсию:

D(X) = M(X²) – [M(X)]² = 19,9 – (-0,1)² = 19,89.

 

Найдем искомое среднее квадратическое отклонение:

.

 

Ответ: Дисперсия равна 19,89, среднее квадратическое отклонение равно 4,46.

Задача 20.Случайная величина Х задана интегральной функцией (функцией распределения) F(x). Требуется: 1) найти дифференциальную функцию (плотность вероятности); 2) найти математическое ожидание и дисперсию Х; 3) построить графики интегральной и дифференциальной функций.

 

0 при х ≤ 0

х² _{ПРИ 0 < x ≤ 11;}

F(x) = 121

1 при х > 11.

 

Примечание. Для решения задачи необходимо знать:

 

1. (c∙f(x))′ = c∙(f(x))′;

 

2. (xⁿ)′ = n∙x^n-1;

 

3. ∫ f(x)dx = F(x) + c;

 

4. ∫ c∙f(x)dx = c ∫ f(x)dx;

 

5. ∫ (f₁(x)+f₂(x) + … +f_n(x))dx = ∫ f₁(x)dx + ∫ f₂(x)dx + … + ∫ f_n(x)dx;

xⁿ⁺¹

6. ∫ xⁿdx = _{n + 1} + c;

_{b b}

7. ∫ f(x)dx = F(x)│ = F(b) – F(a).

^{a a}

Решение.

1) Плотность распределения вероятностей равна первой производной функции распределения:

 

0 при x ≤ 0

f(x) = F′(x) = 2∙x _{при 0 < x ≤ 11}

¹²¹

^{0 при x > 11}

2) Найдем математическое ожидание:

11 11 11 11

М(Х) = ∫ x∙f(x)dx = ∫ x∙2∙x /121dx = 2/121∫ x²dx = 2/121 ∙ x³/ 3 =

0 0 0 0

= 2/362 ∙ (11³ – 0³) = 22/3 = 7,3.

 

3) Найдем искомую дисперсию, учитывая, что М(Х) = 22/3:

_b

или D(X) = ∫ x² f(x)dx – [M(X)]^2.

^a

11 11

D(Х) = ∫ [x ]²∙f(x)dx-М²(х) = ∫ (x )² ∙2x/121dx –(22/3)² =

_{0 0}

 

¹¹

=2/121(x⁴/4) –(22/3)² = 6,72.

⁰

 

4) Построим графики интегральной и дифференциальной функций:

 

 

у

Х 0 11

F(x) 0 1

 

 

1

0 11 x

 

у X 0 11

f(x) 0 2/11

 

 

 

_2/11

 

0 11 x

 

 

Ответ: 1)Дифференциальная функция равна:

0 при x ≤ 0;

f(x) = F′(x) = 2∙x _{ПРИ 0 < Х ≤ 11;}

¹²¹

^{0 ПРИ Х > 11.}

 

2)Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны: М(Х) = 7,3, D(X) = 6,72