Реферат Курсовая Конспект
НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - Методические Указания, раздел Математика, Теория вероятностей и математическая статистика 11.1. Нормальным Называют Распределение Вероятностей Непрерывной Случа...
|
11.1. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, плотность которого имеет вид:
,
где а – математическое ожидание, σ – среднее квадратическое
отклонение Х.
11.2.Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α, β):
P(α < x < β) = Ф((β – а) / σ) – Ф((α – а) / σ),
где – функция Лапласа.
11.3.Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа δ,
P(│x - a│ < δ) = 2Ф (δ / σ).
В частности, при а = 0 справедливо равенство
P(│x│ < δ) = 2Ф (δ / σ) .
Задача 21. Заданы математическое ожидание a и среднее квадратическое отклонение σ нормально распределенной случайной величины Х. Найти: 1) вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α, β); 2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения Х – а окажется меньше δ.
α = 8, β = 10, a = 6, σ = 2, δ = 0,5 Х-а
Решение.
1) Воспользуемся формулой
P(α < Х < β) = Ф((β – а) / σ) – Ф((α – а) / σ).
Получим
α < Х < β, P(8 < Х <10) = Ф((10 – 6) / 2) – Ф((8 – 6) / 2) = Ф(2) – Ф(1).
По таблице приложения 2 находим Ф(2) = 0,4772 и Ф(1) = 0,3413. Искомая вероятность:
P(8 < Х < 10) = 0,1359.
2) Воспользуемся формулой
P(│Х - a│ < δ) = 2Ф (δ / σ)
Подставив a = 6, σ = 2, δ = 0,5, получим:
P(│Х - 6│ < 0,5) = 2Ф(0,5 / 2) = 2Ф(0,25) = 2 ∙ 0,0987 = 0,1974.
Ответ:
1)Вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие интервалу (8, 10), равна 0,1359;
2)Вероятность того, что абсолютная величина отклонения х – а окажется меньше δ, равна 0,1974.
12. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Математическая статистика разрабатывает способы сбора, группировки и анализа статистических данных, т.е. сведений, полученных в результате многократных наблюдений изучаемого явления. Методы математической статистики позволяют решать многие задачи, которые возникают на практике. К их числу относится изучение большой совокупности объектов по небольшому числу случайно отобранных объектов (выборочный метод); нахождение приближенных значений параметров, которыми определяется распределение вероятностей изучаемого признака (статистическая оценка параметров распределения); установление формы и силы связи между случайными величинами (теория корреляции) и др.
В настоящее время методы математической статистики все шире и шире применяются в различных отраслях науки и техники, способствуя их прогрессу. Например, статистические методы используются для правильной и целесообразной организации технологического процесса (предупредительный и приемочный контроль качества продукции), содействуют созданию современной теории точности механизмов; использование этих методов в теоретических исследованиях привело к созданию ряда новых разделов науки (статистическая физика, теория ошибок и др.). Теоретической основой математической статистики является теория вероятностей.
12.1 Точечные оценки
Оценки параметров генеральной совокупности, полученные на основании выборки, называются статистическими. Если статистическая оценка характеризуется одним числом, она называется точечной. К числу таких оценок относится выборочная средняя и выборочная дисперсия.
Выборочная средняя определяется как среднее арифметическое полученных по выборке значений:
где - варианта выборки;
ni - частота варианты;
n - объем выборки.
Замечание. Выборочная средняя будет также обозначаться и без нижнего индекса: .
Выборочная дисперсия представляет собой среднюю арифметическую квадратов отклонений вариант от их выборочной средней:
Для расчетов может быть использована также формула
где - выборочная средняя квадратов вариант выборки.
Статистическая оценка является случайной величиной и меняется в зависимости от выборки. Если математическое ожидание статистической оценки равно оцениваемому параметру генеральной совокупности, то такая оценка называется несмещенной, если не равно – то смещенной.
Выборочная средняя является оценкой математического ожидания случайной величины и представляет собой несмещенную оценку. Выборочная дисперсия оценивает дисперсию генеральной совокупности и является смещенной оценкой.
Для устранения смещенности выборочной дисперсии ее умножают на величину n/(n-1) и получают
Величину s2 называют несмещенной или «исправленной» выборочной дисперсией.
В некоторых случаях для удобства расчетов при определении статистических оценок переходят к условным вариантам. Например, если варианты xi – большие числа, то используют разность
,
где С – произвольно выбранное число (ложный нуль), такое, при котором условные варианты принимают небольшие значения.
В этом случае
,
Для изменения значения варианты можно ввести также условные варианты путем использования масштабного множителя:
где С =10(b выбирается положительным или отрицательным целым числом).
Задача 22. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки:
Решение. Так как выборочные значения – большие числа, то целесообразно ввести условные варианты. В качестве ложного нуля выбираем С = 1470 и рассчитываем по формуле ;
-20 | |||
.
Определяем выборочную среднюю: .
Ответ: .
Задача 23. Найти несмещенную оценку дисперсии случайной величины Х на основании данного распределения выборки:
Решение. Находим объем выборки и выборочную среднюю
;
Для вычисления выборочной дисперсии найдем формулу
Находим несмещенную оценку дисперсии («исправленную» выборочную дисперсию)
Ответ: 7,73.
12.2 Интегральные оценки
Интегральной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.
Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью у покрывает заданный параметр.
Интервальной оценкой (с надежностью) математического ожидания нормально распределенного количественного признака X по выборочной средней в при известном среднем
квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал.
b - < < b +,
где - точность оценки, n - объем выборки,
где t - значение аргумента функции Лапласа Ф (t) (см. приложение 1), где Ф (t) = .
Задача 24. Заданы среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X, выборочная средняя , объем выборки n. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания с заданной надежностью = 0,95.
= 3, = 18,21, n = 100.
Решение. Воспользуемся формулой ,тогда 0,95 = 2Ф(t),
Ф(t) = 0.475. Найдем t=1,96. Вычислим точность оценки
Найдем доверительный интервал для оценки известного математического ожидания а с заданной надежностью =0,59:
18,21-0,59 << 18,21+0,59;
17,62 < < 18,80.
Ответ:
(17,62;18,80).
13. задачи для контрольных работ.
Студент должен выполнять контрольные работы по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его учебного номера зачётной книжки (шифра).
Варианты | Номера заданий | ||||||
1-10 | 1.1 | 1.2 | 1.3 | 1.4 | 2.1 | 2.2 | |
Контрольная работа состоит из двух заданий. Решения типовых заданий 1.1, 1.2, 1.3 показаны в пункте 18, а образцами выполнения заданий 1.4, 2, 3 соответственно являются: задача 21 – 1.4, задача 23 – 2.1, задача 24 – 2.2.
При выполнении и оформлении контрольных работ необходимо соблюдать следующие правила:
1. В начале работы должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, шифр, номер контрольной работы.
2. Контрольная работа выполняется в тетради, а не на листах, обязательно чернилами, с полями для замечаний преподавателя.
3. Решения задач контрольной работы располагаются в порядке номеров, указанных в контрольной работе. Перед решением задачи должно быть полностью записано её условие, исходя из данных своего варианта задания. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, переписывая условие задачи, следует заменить общие данные конкретными из своего варианта.
4. Решения задач и объяснения к ним должны быть подробными, аккуратными, без сокращения слов.
Контрольные работы, выполненные студентом с нарушением изложенных правил или не по своему варианту, не зачитываются и возвращаются без проверки.
Получив прорецензированную работу, студент должен исправить в ней все отмеченные ошибки и недочеты. Если работа не зачтена, то в короткий срок либо должна быть выполнена заново, либо должны быть решены задачи, указанные рецензентом.
Исправленную работу следует посылать в университет вместе с незачтенной.
Зачтенные контрольные работы следует предъявить преподавателю на экзамене.
Задание 1.
1.1. В партии из N изделий n из них имеют скрытый дефект (табл. 2). Какова вероятность того, что из взятых наугад m изделий k изделий являются дефектными?
1.2. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: n1 c первого завода, n2 со второго, n3 с третьего (табл. 3). Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе p1, на втором p2, на третьем p3. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?
1.3. В городе имеются N оптовых баз (табл. 4). Вероятность того, что товар требуемого сорта отсутствует на этих базах, одинакова и равна p. Составить закон распределения числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент. Построить многоугольник распределения. Найти дисперсию и среднеквадратичное отклонение числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент.
1.4. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее математическое ожидание равно a, среднее квадратичное отклонение равно σ (табл. 5). Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (α, β).
Задание 2.
2.1. Найти несмещённую оценку дисперсии случайной величины Х на основании данного распределения выборки (табл.6).
Таблица 6
Вариант | Распределение | ||||
xi | |||||
ni | |||||
xi | |||||
ni | |||||
xi | |||||
ni | |||||
xi | 0,2 | 0,3 | 0,5 | 0,6 | |
ni | |||||
xi | |||||
ni | |||||
xi | –4 | –1 | |||
ni | |||||
xi | |||||
ni | |||||
xi | –6 | –2 | |||
ni | |||||
xi | |||||
ni | |||||
xi | –3 | –1 | |||
ni |
2.2. Заданы среднее квадратическое отклонение σ нормано-распределенной случайной величины Х, выборочная средняя , объем выборки n. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а с заданной надежностью γ=0,95.
1. | σ = 10 | = 18,21 | n = 16 | 6. | σ = 10 | = 18,71 | n = 25 | |
2. | σ = 9 | = 18,31 | n = 49 | 7. | σ = 9 | = 18,81 | n = 16 | |
3. | σ = 8 | = 18,41 | n = 36 | 8. | σ = 8 | = 18,91 | n = 49 | |
4. | σ = 7 | = 18,51 | n=100 | 9. | σ = 7 | = 20,01 | n = 36 | |
5. | σ = 6 | = 18,61 | n = 81 | 10. | σ = 6 | = 20,11 | n = 64 |
14. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАНИЙ
КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задание 1.1
В партии 30 изделий, 10 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад пяти изделий три изделия являются дефектными?
Решение. События А –среди отобранных пяти изделий, три изделия являются дефектными.
10 деф. | 20 нет | 3 деф. | 2 нет | |
Общее число возможных элементарных исходов события n равно числу способов, которыми можно взять пяти изделий из тридцати, т.е. число сочетаний из тридцати элементов по пять.
.
m - число благоприятствующих исходов событию А определяется как произведение ·, где первый сомножитель указывает число комбинаций выбора деталей с дефектами из десяти. Но с каждой такой комбинацией могут встретиться детали без дефектов. Число комбинаций таких деталей будет . Поэтому искомая вероятность запишется в виде ,
Р(А) == 0,16.
Ответ: Р (А) = 0,16.
Задание 1.2
На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: n1= 20 c первого завода,n2=1,5 со второго, n3=15 с третьего (табл. 3). Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе p1=0,9, на втором p2=0,9, на третьем p3=0,8. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?
Решение. Задача решается по формуле полой вероятности:
Р(А)=Р(H1) . Р(А/ H1) + Р(H2) . P(A/ H2) + Р(Н3) .Р(A/ Н3).
Событие А - взятое изделие оказалось качественное.
Гипотезы:
H1 - изделие первого завода;
H2 - изделие второго завода;
Н3 - изделие третьего завода.
На завод поступило всего изделий n = n1 + n2 + n3 =50.
Вычислим вероятности данных гипотез
Р(H1) = n1/n =20/50= 0,4 ; Р(H2)= n2 /n=15/50=0,3 ;
Р(Н3)= 15/50 = 0,3.
Условные вероятности соответственно равны Р(А/ H1) = p1 = 0,9,
P(A/ H2) = p2 = 0,9, P(A/ Н3) = p3 0,8.
Искомую вероятность того, что взятое изделие окажется качественным, найдем по формуле:
Р(А)=Р(H1) . Р(А/ H1) + Р(H2) . P(A/ H2) + Р(Н3) .Р(A/ Н3) =
=04 . 09+0,3 . 0,8+0,3 . 0,8= 0,84.
Ответ: Вероятность того, что взятое случайным образом изделие, будет качественным, равна 0,84.
Задание 1.3
В городе имеются N=3 оптовых баз. Вероятность того, что требуемого сорта товар отсутствует на этих базах, одинакова и равна p=0,15. Составить закон распределения числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент. Построить многоугольник распределения. Найти дисперсию и среднеквадратичное отклонение числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент.
Решение. Вычисления будем проводить по формуле Бернулли:
Pn(k) = Ckn. pk . qn-k.
0
p1= P(x=0) =P3 (0) = C3 . p0 . q3 = 1. 1. 0,853 = 0,614,
1
p2 = P(x=1) = P3(1) = C3 . p1 . q2 = 3. 0,15 . 0, 852 = 0,325,
2
p3 = P(x=2) = P3(2) = C3 . p2 . q1 = 3 . 0,152 . 0,85 = 0,0544,
3
p4 = P(x=3) = P3(3) = C3 . p3 . q0= 1. 0,153 . 1 = 0,0034.
Проверим: p1 + p2+ p3+ p4= 0,614 + 0,325 + 0,0574 + 0,0034 =1.
Тогда закон распределения числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент, примет вид
xi | ||||
pi | 0,6140 | 0,3250 | 0,0574 | 0,0034 |
Вычислим математическое ожидание случайной величины Х иM(X2):
M(X) = x1 .p1 + x2.p2 + x3.p3 + x4.p4 = 0 . 0,61 + 1.0,325 + 2.0,057 + +3.0,0034 = 0,325 + 0,114 + 0,0102 = 0,45,
M(X2) = x12.p1 + x22.p2 + x32.p3 + x42.p4 = 0,325 + 4 .0,057 + 9.0,0034= = 0,553 + 0,0306 = 0,58.
Затем определим дисперсию по формуле
D(X) = M(X2) - (M(X))2 = 0,58 – 0,2 = 0,38.
Среднеквадратичное отклонение равно
(X) = √ 0,38 = 0,62.
Построим многоугольник распределения (рис.6)
0,6
0,3
0,1
0 1 2 3
Рис.6
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Предлагаемые методические указания предназначены для выполнения контрольной... Особенностью данного пособия является то обстоятельство что рассматриваемые задачи в данном пособии подобраны так...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов