Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность произведения этих событий.
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность произведения этих событий. - раздел Математика, Учебное пособие предназначено для студентов гуманитарных специальностей, изучающих математику по технологии индивидуализированного обучения Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(Ав)
Пусть А И В – ...
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Пусть А и В – два случайных события одного и того же испытания. Тогда условной вероятностью события А или вероятностью события А при условии, что наступило событие В, называется число (при этом В¹V). Обозначают Р(А/В).
Из этого определения следует, что Р(АВ)=Р(В)Р(А/В), т.е. вероятность произведения двух совместных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло.
Пример 10. Из колоды в 36 карт поочередно достают две карты. Найти вероятность того, что вторым вынут червовый король, если первая карта – король черной масти.
Решение. Событие А состоит в одновременном наступлении двух совместных событий: А2 – вынут король червей и А1 – вынут король черной масти. При этом наступление события А2 зависит от наступления события А1. Найдем вероятности каждого из событий А1 и А2.
(т.к. в колоде всего 36 карт и мы берем 1 карту). N(A1) = 2 (т.к. в колоде 2 короля черной масти). Тогда .
(т.к. мы одну карту из колоды вынули). N(A2) = 1 (т.к. в колоде 1 король червей и мы вынули не его). Тогда .
Теперь найдем вероятность события А:
.
Событие А называется независимым от события В, если наступление события В не влияет на вероятность наступления события А.
ТЕОРЕМА 3: (теорема умножения вероятностей). Вероятность одновременного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
Р(АВ)=Р(В)Р(А)
События А1, А2, …, Ап называются независимыми, если любые два из них попарно независимы и выполняется равенство Р(А1А2…Ап)= Р(А1)Р(А2)…Р(Ап).
Пример 11. В первой урне находятся 6 черных и 4 белых шара, во второй – 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?
Решение. Пусть А1 – из первой урны извлечен белый шар; А2 – из второй урны также извлечен белый шар. Очевидно, что события А1 и А2 – независимы. Р(А1)=, Р(А2)=.
По теореме: Р(А1А2)=.
Пример 12. В экзаменационные билеты включено по два теоретических вопроса и по одной задаче. Всего составлено 28 билетов. Вычислить вероятность того, что, вынув наудачу билет, студент ответит на все вопросы, если он подготовил 50 теоретических вопросов и 22 задачи.
Решение. Полный ответ на билет состоит из произведения двух событий: студент одновременно ответит на два вопроса (событие А) и решит задачу (событие В).
Число всех возможных комбинаций из 56 вопросов по два составляет .
Так как студент подготовил только 50 вопросов, то число благоприятных исходов равно
. Р(А)=.
Вероятность события В определяется тем, что студент знает 22 задачи из 28 возможных Р(В) = .
Р(АВ)=Р(А)Р(В) = ∙=0,625.
В заключение обсудим следующий принципиальный вопрос: можно ли доказать, что вероятность выпадения «решки» при одном бросании монеты равна – .
Ответ отрицательный. Вообще говоря, сам вопрос не корректен, неясен точный смысл слова «доказать». Ведь доказываем мы что-либо всегда в рамках некоторой модели, в которой уже известны правила, законы, аксиомы, формулы, теоремы и т. п. Если речь идет о воображаемой, «идеальной» монете, то потому-то она и считается идеальной, что, по определению, вероятность выпадения «решки» равна вероятности выпадения «орла». А, в принципе, можно рассмотреть модель, в которой вероятность выпадения «решки» в два раза больше вероятности выпадения «орла» или в три раза меньше и т. п. Тогда возникает вопрос: по какой причине из различных возможных моделей бросания монеты мы выбираем ту, в которой оба исхода бросания равновероятны между собой?
Совсем лобовой ответ таков: «А нам так проще, понятнее и естественнее!» Но есть и более содержательные аргументы. Они приходят из практики. В подавляющем большинстве учебников по теории вероятностей приводят примеры французского естествоиспытателя Ж. Бюффона (XVIII в.) и английского математика-статистика К. Пирсона (конец XIX в.), которые бросали монету, соответственно, 4040 и 24000 раз и подсчитывали число выпадений «орла» или «решки». У них «решка» выпала, соответственно, 1992 и 11988 раз. Если посчитать частоту выпадения «решки», то получится у Бюффона и у Пирсона. Возникает естественное предположение, что при неограниченном увеличении числа бросаний монеты частота выпадения «решки», как и частота выпадения «орла», все больше и больше будет приближаться к 0,5. Именно это предположение, основанное на практических данных, является основой нашего выбора в пользу модели с равновероятными исходами.
Кстати, вы вполне можете проверить это предположение даже на большем числе бросаний монеты. Например, если за один день каждый из 25 студентов вашей группы 40 раз бросит монету, то уже получится 1000 бросаний. За месяц «набежит» очень большое число.
Подведем итоги.
Основное понятие – вероятность случайного события, подсчет которой производится в рамках простейшей модели – классической вероятностной схемы. Важное значение и в теории, и в практике имеет понятие противоположного события и формула Р() = 1 - Р(А) для нахождения вероятности такого события.
Наконец, мы познакомились с несовместными событиями и с формулами Р(А + В) = Р(А) + Р(В), Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С), позволяющими находить вероятности суммы таких событий.
Контрольные вопросы
1 Что называется испытанием?
2 Как называется результат испытания?
3 Какие виды событий бывают, чем они отличаются?
4 Что такое статистическая вероятность события?
5 Опишите классическую схему нахождения вероятности события.
6 Сформулируйте определение классической вероятности события.
7 Какие события называются противоположными?
8 Чему равна вероятность достоверного события, невозможного события?
9 Какие события называют несовместными?
10 Как можно найти вероятность одного из двух противоположных событий?
11 Какие события называются независимыми?
12 Сформулируйте теоремы сложения и умножения вероятностей.
Тема 6: Элементы математической статистики
Существует вынужденная ложь, которая простительна, намеренная ложь, которой нет оправдания, и статистика.
Учебное пособие предназначено для студентов гуманитарных специальностей изучающих математику по технологии индивидуализированного обучения Оно... Теоретический материал был отобран из учебников по математике для гуманитарных... Задачи для самостоятельного решения разбиты на два уровня сложности основной и повышенный Задачи основного уровня...
Конфуций
Весь теоретический материал курса разбит на порции по темам и сопровождается задачами двух уровней сложности. Работа по усвоению нового учебного материала осуществляется следующим о
Сущность аксиоматического метода
Математика строится на основе понятий. Понятия бывают определяемые и неопределяемые. Под определением понимают точную формулировку того или иного понятия. Оп
Предмет математики
Предмет математики нельзя ни подменять формальными логическими схемами, ни низводить до уровня коллекции разрозненных фактов. Математика есть учение об общих формах, свойственных ре
Пересечение множеств
Рассмотрим два множества: Х = {0, 1, 3, 5}, Y = {1, 2, 3, 4}.
Числа 1 и 3 и только они принадлежат одновременно обоим множествам Х и Y. Составленное из них множество {1, 3}
Объединение множеств
Вновь возьмём множества Х = {0, 1, 3, 5} и Y = {1, 2, 3, 4} и наряду с ними рассмотрим множество {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Это множество содержит все элементы множества Х и все элементы м
Вычитание множеств
Если заданы два множества, то можно не только найти их пересечение и объединение, но и вычесть из одного множества другое. Результат вычитания называют разностью и определяют следую
Дополнение
В случаях, когда одно из множеств является подмножеством другого, А В называют дополнением множества В до множества А, и обозначают символом В'А
Формула Грассмана
Теория множеств используется при решении задач следующего вида:
В группе зверей 15 умных, 13 – красивых, и 8 мартышек. Сколько зверей в группе?
Ре
Формулы логики высказываний
В логике высказываний – первом и основном разделе математической логики – элементарные высказывания рассматриваются как нерасчленяемые «атомы», а составные высказывания – как молеку
Никаких других формул в логике высказываний нет.
Определение такого вида называется индуктивным. В п.п. 1 и 2 определены элементарные формулы, в п.п. 3 и 4 даны правила образования новых формул из любых двух данных формул.
Простейшие комбинаторные задачи
Знакомство с новыми понятиями начнем с двух простых задач.
Пример 1. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 9?
Реш
Правила умножения и сложения
Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех и
Выбор нескольких элементов. Размещения. Сочетания
В предыдущем параграфе все примеры и упражнения сводились к выбору одного элемента из данного множества и подсчету количества таких выборов. А если необходимо выбрать бо
Случайные события и их вероятности
Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием.
Например, многократное п
Случайные величины
Случайная величина – переменная величина, конкретное значение которой зависит от случая. Например, температура воздуха в 12 ч дня 1 июля в г. Новосибирске; номер грани, выпадающий при бро
Характеристики и параметры статистической совокупности
В результате непосредственных наблюдений, измерений или регистрации фактов получается множество данных, которые образуют статистическую совокупность и нуждаются в обработке, которая
Группировка информации в виде таблиц
Знакомство с элементами статистики начнем с конкретного примера.
В девятых классах «А» и «Б» измерили рост 50 учеников. Получились следующие результаты:
162, 168,
Графическое представление информации
Итак, выборки удобно задавать с помощью таблиц. Но мы знаем, что и для функций есть табличный способ их задания. Таблицы образуют «мостик», по которому от выборок данных можн
Гистограммы распределения большого объема информации
Гистограммы особенно незаменимы в случаях, когда ряд данных состоит из очень большого количества чисел (сотни, тысячи и т. п.). В этих случаях обработчику информации в первую очеред
Поделить найденную сумму на сумму всех кратностей.
В тех случаях, когда выборка задана распределением не кратностей, а распределением частот, удобно применять еще один способ подсчета среднего значения. Объясним его на том же примере.
Экспериментальные данные и вероятности событий
В конце темы рассмотрим связь между вероятностями случайных событий и экспериментальными статистическими данными. А сделаем это на примере бросания монеты. Будем последовательно, че
Два подхода к построению моделей
Способов построения моделей существует великое множество, ибо, пытаясь разобраться в сложившемся положении вещей, можно совершенно по-разному упрощать его в надежде вскрыть суть явл
Три типа моделей
Различают три типа моделей – физические, аналоговые и математические модели.
Физические модели. Так называют увеличенное или уменьшенное описание объекта и
Основные этапы математического моделирования
1 Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект – явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т.д.
Задача о движении снаряда.
Рассмотрим следующую задачу механики.
Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v0 = 30 м/c под углом α = 450 к ее поверхности; требуется найти траектори
Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.
Требуется найти высоту h0 и радиус r0 жестяного бака объема V = 30 м3, имеющего форму закрытого кругового цилиндра, при которых площадь его пов
Транспортная задача.
В городе имеются два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозят 50 т муки, а со второго – 70 т на заводы, причем на первый – 40 т, а на второй – 80 т.
Обозначим чере
Задача о радиоактивном распаде.
Пусть N(0) – исходное количество атомов радиоактивного вещества, а N(t) – количество нераспавшихся атомов в момент времени t. Экспериментально установлено, что скорость изменен
Задача о коммивояжере.
Коммивояжеру, живущему в городе А1, надо посетить города А2, А3 и А4, причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно
Построение модели.
Изобразим каждый город точкой на плоскости и пометим ее соответствующей меткой Ai (i = 1, 2, 3, 4). Соединим эти точки отрезками прямых: они будут изображать дороги между г
Задача об определении надежности электрической цепи.
Здесь мы рассмотрим пример вероятностной модели (основные понятия теории вероятностей находятся в теоретическом разделе 5 темы).
Предположим, что в электрическую цепь последовательно включ
Задача о диете.
Дама просто приятная решила похудеть и, как это нередко случается, обратилась за советом к подруге. Подруга – дама приятная во всех отношениях, посоветовала ей перейти на рациональное питание, сост
Людвиг Бьорне
Самой древней математической деятельностью являлся счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, соп
Основной уровень
Задание 1. Принадлежат ли данному множеству объекты?
1.1 F – множество фруктов. Принадлежит ли этому множеству: а) яблоко; б) арбуз; в) груша; г) апельсин; д) морко
Повышенный уровень
Задание 1. Определите, принадлежат ли объекты данному множеству:
1.1 М – множество предметов спортивного инвентаря. Принадлежит ли этому множеству:
Основной уровень
Задание 1.Укажите, какие из данных предложений являются высказываниями или высказывательными формами, не являются высказываниями или высказывательными формами:
1.1 а) Кург
Повышенный уровень
Задание 1.Укажите, какие из данных предложений являются высказываниями или высказывательными формами, не являются высказываниями или высказывательными формами:
Основной уровень
Задание 1. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное:
1.1 А = «день рождения моего друга – число, мен
Повышенный уровень
Задание 1. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное.
1.1 Вы открыли эту книгу на любой странице и прочитали первое попавшее
Основной уровень
Задание 1. После группировки данных эксперимента получилась таблица их распределения, с помощью которой: а) определите объем выборки; б) найдите наиболее часто встр
Повышенный уровень
Задание 1. Выборка состоит из всех букв, входящих в двустишие. Для нее: а) выпишите ряд данных выборки; б) найдите объем выборки; в) определите кратность и частоту варианты «о»; г)
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ (зачету)
1. Какие понятия называют основными неопределяемыми понятиями?
2. Что значит определить понятие?
3. Что такое аксиома, теорема?
4. Какие требования предъя
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
(при этом В¹V). Обозначают Р(А/В).
(т.к. в колоде всего 36 карт и мы берем 1 карту). N(A1) = 2 (т.к. в колоде 2 короля черной масти). Тогда 
.
(т.к. мы одну карту из колоды вынули). N(A2) = 1 (т.к. в колоде 1 король червей и мы вынули не его). Тогда 
.
.
, Р(А2)=
.
.
.
. Р(А)=
.
.
.
у Бюффона и 
у Пирсона. Возникает естественное предположение, что при неограниченном увеличении числа бросаний монеты частота выпадения «решки», как и частота выпадения «орла», все больше и больше будет приближаться к 0,5. Именно это предположение, основанное на практических данных, является основой нашего выбора в пользу модели с равновероятными исходами.
) = 1 - Р(А) для нахождения вероятности такого события.
Новости и инфо для студентов