рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Случайные величины

Случайные величины - раздел Математика, Учебное пособие предназначено для студентов гуманитарных специальностей, изучающих математику по технологии индивидуализированного обучения Случайная Величина – Переменная Величина, Конкретное Значение Котор...

Случайная величина – переменная величина, конкретное значение которой зависит от случая. Например, температура воздуха в 12 ч дня 1 июля в г. Новосибирске; номер грани, выпадающий при бросании игрального кубика; скорость автомобиля в данный момент времени и т.д.

Для характеристики случайной величины необходимо знать множество возможных значений этой величины и вероятности, с которыми она может принимать эти значения. Эти данные образуют закон распределения случайной величины. Например, распределение числа очков при бросании игральной кости описывается равными вероятностями 1/6 для каждого значения от 1 до 6.

Различают случайные величины дискретные и непрерывные. Если множество возможных значений случайной величины конечно (или счетно), то случайная величина называется дискретной. Если случайная величина принимает значения из некоторого числового интервала множества действительных чисел, то такая случайная величина называется непрерывной.

Дискретной случайной называют величину X, которая принимает отдельные значения хi с вероятностями pi.

В зависимости от типа случайной величины – дискретной или непрерывной – возможны различные способы ее задания. Характеристика повторяемости случайных событий есть его вероятность. Поэтому для наиболее полного, исчерпывающего описания случайной величины надо задавать два множества: множество ее значений и множество вероятностей этих значений. В результате приходим к следующему определению.

Законом распределения дискретной случайной величины Х называется всякое соотношение, устанавливающее связь в виде равенства между возможными значениями случайной величины и вероятностями этих значений.

Про случайную величину говорят, что она «распределена» по данному закону распределения или «подчинена» этому закону распределения.

Закон распределения может быть задан в виде ряда, таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Непрерывную случайную величину А следует задавать не указанием вероятностей ее отдельных значений, а непрерывной (или кусочно-непрерывной) функцией, называемой плотностью распределения вероятностей случайной величины А.

Часто встречается нормальное распределение, или распределение Гаусса. На рисунке показаны два варианта плотности нормального распределения.

Важные характеристики случайной величины – математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание М(Х) определяется как среднее взвешенное по формуле .

Термин «математическое ожидание» связан с представлением о среднем или наиболее ожидаемом выигрыше в теории азартных игр.

Пример 1.Пусть в некоторой лотерее на каждый билет вероятность выиграть 100 руб. – 3%, 1 000 руб. – 0,5%, 10 000 руб. – 0,01%, других выигрышей нет. Каков средний выигрыш в лотерее (на один билет)?

Решение. Средний выигрыш подсчитывается по формуле математического ожидания

0,03x100 + 0,005x1000 + 0,0001x10 000 = 9 руб.

Дисперсия (от лат. dispengo – рассыпать, рассеивать, разбрасывать) D(X) случайной величины X характеризует разброс возможных ее значений относительно математического ожидания и определяется по формуле D(X) = М[Х – М (X)]2.

Для детерминированной величины, принимающей только одно значение х0, математическое ожидание равно х0, а дисперсия равна нулю.

Понятие случайного (стохастического) процесса является расширением понятия случайной величины. Можно сказать, что случайный процесс – это семейство случайных величин, эволюционирующих во времени.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Учебное пособие предназначено для студентов гуманитарных специальностей, изучающих математику по технологии индивидуализированного обучения

Учебное пособие предназначено для студентов гуманитарных специальностей изучающих математику по технологии индивидуализированного обучения Оно... Теоретический материал был отобран из учебников по математике для гуманитарных... Задачи для самостоятельного решения разбиты на два уровня сложности основной и повышенный Задачи основного уровня...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Случайные величины

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Конфуций
  Весь теоретический материал курса разбит на порции по темам и сопровождается задачами двух уровней сложности. Работа по усвоению нового учебного материала осуществляется следующим о

Сущность аксиоматического метода
  Математика строится на основе понятий. Понятия бывают определяемые и неопределяемые. Под определением понимают точную формулировку того или иного понятия. Оп

Предмет математики
  Предмет математики нельзя ни подменять формальными логическими схемами, ни низводить до уровня коллекции разрозненных фактов. Математика есть учение об общих формах, свойственных ре

Место и роль математики в современном мире, мировой культуре и истории, в том числе в гуманитарных науках
  Роль математики в общечеловеческой культуре огромна. Обращаясь к истории философии, следует отметить, что ученые, создававшие математику Нового времени, рассматривали математическую

Пересечение множеств
  Рассмотрим два множества: Х = {0, 1, 3, 5}, Y = {1, 2, 3, 4}. Числа 1 и 3 и только они принадлежат одновременно обоим множествам Х и Y. Составленное из них множество {1, 3}

Объединение множеств
  Вновь возьмём множества Х = {0, 1, 3, 5} и Y = {1, 2, 3, 4} и наряду с ними рассмотрим множество {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Это множество содержит все элементы множества Х и все элементы м

Вычитание множеств
  Если заданы два множества, то можно не только найти их пересечение и объединение, но и вычесть из одного множества другое. Результат вычитания называют разностью и определяют следую

Дополнение
  В случаях, когда одно из множеств является подмножеством другого, А В называют дополнением множества В до множества А, и обозначают символом В'А

Формула Грассмана
  Теория множеств используется при решении задач следующего вида: В группе зверей 15 умных, 13 – красивых, и 8 мартышек. Сколько зверей в группе? Ре

Конъюнкцией двух высказываний называется новое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.
Конъюнкция обозначается или А&B; читается: «А и В». Табли

Дизъюнкцией двух высказываний является новое высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Дизъюнкция обозначается и читается «А или В». Таблица истинности для

Формулы логики высказываний
  В логике высказываний – первом и основном разделе математической логики – элементарные высказывания рассматриваются как нерасчленяемые «атомы», а составные высказывания – как молеку

Никаких других формул в логике высказываний нет.
Определение такого вида называется индуктивным. В п.п. 1 и 2 определены элементарные формулы, в п.п. 3 и 4 даны правила образования новых формул из любых двух данных формул.

Простейшие комбинаторные задачи
  Знакомство с новыми понятиями начнем с двух простых задач. Пример 1. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 9? Реш

Правила умножения и сложения
Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех и

Выбор нескольких элементов. Размещения. Сочетания
  В предыдущем параграфе все примеры и упражнения сводились к выбору одного элемента из данного множества и подсчету количества таких выборов. А если необходимо выбрать бо

Случайные события и их вероятности
  Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием. Например, многократное п

Принять предположение о равновероятности (равновозможности) всех этих исходов;
3) найти количество N(А) тех исходов опыта, в которых наступает событие А; 4) найти частное

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность произведения этих событий.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) Пусть А и В – два случайных события одного и того же испытания. Тогда условной вероятностью события А или вероятностью с

Характеристики и параметры статистической совокупности
  В результате непосредственных наблюдений, измерений или регистрации фактов получается множество данных, которые образуют статистическую совокупность и нуждаются в обработке, которая

Группировка информации в виде таблиц
  Знакомство с элементами статистики начнем с конкретного примера. В девятых классах «А» и «Б» измерили рост 50 учеников. Получились следующие результаты: 162, 168,

Графическое представление информации
  Итак, выборки удобно задавать с помощью таблиц. Но мы знаем, что и для функций есть табличный способ их задания. Таблицы образуют «мостик», по которому от выборок данных можн

Гистограммы распределения большого объема информации
  Гистограммы особенно незаменимы в случаях, когда ряд данных состоит из очень большого количества чисел (сотни, тысячи и т. п.). В этих случаях обработчику информации в первую очеред

Поделить найденную сумму на сумму всех кратностей.
В тех случаях, когда выборка задана распределением не кратностей, а распределением частот, удобно применять еще один способ подсчета среднего значения. Объясним его на том же примере.

Сложить все полученные произведения.
Таким образом, можем записать формулу для нахождения математического ожидания: , где хi

Экспериментальные данные и вероятности событий
  В конце темы рассмотрим связь между вероятностями случайных событий и экспериментальными статистическими данными. А сделаем это на примере бросания монеты. Будем последовательно, че

Два подхода к построению моделей
  Способов построения моделей существует великое множество, ибо, пытаясь разобраться в сложившемся положении вещей, можно совершенно по-разному упрощать его в надежде вскрыть суть явл

Три типа моделей
  Различают три типа моделей – физические, аналоговые и математические модели. Физические модели. Так называют увеличенное или уменьшенное описание объекта и

Основные этапы математического моделирования
  1 Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект – явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т.д.

Задача о движении снаряда.
Рассмотрим следующую задачу механики. Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v0 = 30 м/c под углом α = 450 к ее поверхности; требуется найти траектори

Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.
Требуется найти высоту h0 и радиус r0 жестяного бака объема V = 30 м3, имеющего форму закрытого кругового цилиндра, при которых площадь его пов

Транспортная задача.
В городе имеются два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозят 50 т муки, а со второго – 70 т на заводы, причем на первый – 40 т, а на второй – 80 т. Обозначим чере

Задача о радиоактивном распаде.
Пусть N(0) – исходное количество атомов радиоактивного вещества, а N(t) – количество нераспавшихся атомов в момент времени t. Экспериментально установлено, что скорость изменен

Задача о коммивояжере.
Коммивояжеру, живущему в городе А1, надо посетить города А2, А3 и А4, причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно

Построение модели.
Изобразим каждый город точкой на плоскости и пометим ее соответствующей меткой Ai (i = 1, 2, 3, 4). Соединим эти точки отрезками прямых: они будут изображать дороги между г

Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.
Рассмотрим несколько химических соединений, называемых нормальными алканами. Они состоят из п

Задача об определении надежности электрической цепи.
Здесь мы рассмотрим пример вероятностной модели (основные понятия теории вероятностей находятся в теоретическом разделе 5 темы). Предположим, что в электрическую цепь последовательно включ

Задача о диете.
Дама просто приятная решила похудеть и, как это нередко случается, обратилась за советом к подруге. Подруга – дама приятная во всех отношениях, посоветовала ей перейти на рациональное питание, сост

Людвиг Бьорне
Самой древней математической деятельностью являлся счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, соп

Основной уровень
Задание 1. Принадлежат ли данному множеству объекты? 1.1 F – множество фруктов. Принадлежит ли этому множеству: а) яблоко; б) арбуз; в) груша; г) апельсин; д) морко

Повышенный уровень
  Задание 1. Определите, принадлежат ли объекты данному множеству: 1.1 М – множество предметов спортивного инвентаря. Принадлежит ли этому множеству:

Основной уровень
Задание 1.Укажите, какие из данных предложений являются высказываниями или высказывательными формами, не являются высказываниями или высказывательными формами: 1.1 а) Кург

Повышенный уровень
  Задание 1.Укажите, какие из данных предложений являются высказываниями или высказывательными формами, не являются высказываниями или высказывательными формами:

Основной уровень
Задание 1. Вычислите: а) , б)

Повышенный уровень
Задание 1. Вычислите: а) , б)

Основной уровень
  Задание 1. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное: 1.1 А = «день рождения моего друга – число, мен

Повышенный уровень
Задание 1. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное. 1.1 Вы открыли эту книгу на любой странице и прочитали первое попавшее

Основной уровень
  Задание 1. После группировки данных эксперимента получилась таблица их распределения, с помощью которой: а) определите объем выборки; б) найдите наиболее часто встр

Повышенный уровень
Задание 1. Выборка состоит из всех букв, входящих в двустишие. Для нее: а) выпишите ряд данных выборки; б) найдите объем выборки; в) определите кратность и частоту варианты «о»; г)

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ (зачету)
  1. Какие понятия называют основными неопределяемыми понятиями? 2. Что значит определить понятие? 3. Что такое аксиома, теорема? 4. Какие требования предъя

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги