Экспериментальные данные и вероятности событий - раздел Математика, Учебное пособие предназначено для студентов гуманитарных специальностей, изучающих математику по технологии индивидуализированного обучения
В Конце Темы Рассмотрим Связь Между Вероятностями Случайных С...
В конце темы рассмотрим связь между вероятностями случайных событий и экспериментальными статистическими данными. А сделаем это на примере бросания монеты. Будем последовательно, через запятую писать О или Р в зависимости от того, выпал «орел» или «решка». После п бросаний при неизменных условиях этого испытания, у нас в результате получится какая-то случайная последовательность. Например, такая:
Иными словами, имеется выборка, в которой две варианты О и Р. Для каждого числа п бросаний монеты можно сосчитать частоту каждой из этих вариант. Сделаем соответствующие расчеты для указанной последовательности.
п
Частота Р
Частота О
Из таблицы видно, что на 6-м, 8-м, 12-м и 14-м местах частоты обоих вариант равны 0,5. В остальных случаях частоты отличаются от 0,5, но не сильно. На 7-м месте они равны 0,429 и 0,571, а на 13-м месте – 0,538 и 0,462. И с ростом числа бросаний обе частоты все ближе и ближе будут подходить к 0,5. Практическое проведение большого числа экспериментов показывает, что частота выпадения орла при достаточно большом числе бросаний практически неотличима от 0,5. Как уже упоминалось в конце предыдущей темы при п = 24000 эта частота у К. Пирсона получилась равной 0,5005. Итак, при каждом конкретном числе бросаний монеты частота или, как ее называют, эмпирическая частота выпадения герба принимает какое-то конкретное значение. Оно может меняться с изменением числа бросаний. Только вот изменения эти практически незаметны. При достаточно большом числе бросаний частота приближается к некоторому постоянному числу. В данном случае к 0,5. Мы сталкиваемся с замечательным законом природы – статистической устойчивостью.
Определение. При большом числе независимых повторений одного и того же опыта в неизменных условиях частота появления определенного случайного события практически совпадает с некоторым постоянным числом. Это явление называют статистической устойчивостью, а такое число называют статистической вероятностью этого события.
Такая устойчивость имеет место не только при бросании монеты, но и при вытаскивании карт, выпадении определенного числа очков на игральных кубиках, рождении мальчиков, времени восхода солнца и, вообще, для большинства случайных событий. Явление статистической устойчивости соединяет реально проводимые испытания с теоретическими моделями этих испытаний. Приведем несколько примеров, связанных с литературой.
Статистические исследования над большим количеством литературных текстов показали, что частоты появления той или иной буквы (или пробела между словами) стремятся при увеличении объема текста к некоторым определенным константам. Таблицы, в которых собраны буквы того или иного языка и соответствующие константы, называют частотными таблицами языка. Приведем таблицу для букв русского алфавита и пробелов (частоты приведены в процентах).
Буква
А
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
И
Й
К
Л
М
Н
О
П
Частота
6,2
1,4
3,8
1.1
2,5
7,2
0,7
1,6
6,2
1,0
2,8
3,5
2,6
5,3
9,0
2,3
Буква
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Ш
Щ
Ы
Ь
Э
Ю
Я
–
Частота
4,0
4,5
5,3
2,1
0,2
0,9
0,4
0,4
0,6
0,3
1,6
1,4
0,3
0,6
1,8
Это значит, что из 1000 случайно выбранных в тексте букв или пробелов буква «ф» будет, в среднем, встречаться два раза, буква «о» – девяносто раз, пробел – 175 раз и т. д.
Более того, выясняется, что у каждого автора есть своя частотная таблица использования букв, слов, специфических литературных оборотов и т. п. По этой частотной таблице можно определить автора примерно так же точно, как и по отпечаткам пальцев.
Приведем два примера из нашей недавней истории. До сегодняшнего дня не утихают споры об авторстве «Тихого Дона». Довольно многие считают, что в 23 года М. А. Шолохов такую глубокую и поистине великую книгу написать просто не мог. Выдвигались разные аргументы и разные кандидаты в авторы. Особенно жаркими были споры в момент присуждения М. А. Шолохову Нобелевской премии в области литературы (1965 г.). Статистический анализ романа и сличение его с текстами, в авторстве М. А. Шолохова которых не было сомнений, подтвердил все же гипотезу о М. А. Шолохове, как об истинном авторе «Тихого Дона».
Вторая история носит более политический характер. В середине 60-х годов в одной из стран Западной Европы были опубликованы «очерняющие прогрессивный характер социалистической системы» литературные произведения. Автором был А. Терц и, вне всякого сомнения, это был псевдоним. В соответствующих органах был проведен сравнительный анализ опубликованных «вредительских» текстов и результаты были сличены с произведениями ряда возможных кандидатов в авторы. Ответ оказался однозначным: настоящим автором был литературовед Андрей Донатович Синявский. Он, в общем-то, не отпирался и на суде в 1967 году («Процесс Синявского и Даниэля») получил 5 лет тюрьмы и 7 лет ссылки. Вот такая вот теория вероятностей и математическая статистика.
Контрольные вопросы
1 Что такое математическая статистика? Чем она занимается?
2 Какие величины называют случайными? Когда случайную величину называют дискретной, а когда – непрерывной?
3 Что такое закон распределения дискретной случайной величины? Как он может быть задан?
4 Как задаются непрерывные случайные величины?
5 Что называется генеральной совокупностью, выборкой, вариантой, вариационным рядом?
6 Что такое частота варианты, мода, медиана, размах выборки?
7 Дайте определение математического ожидания случайной величины. Как найти математическое ожидание? Перечислите его свойства.
8 Дайте определение дисперсии случайной величины. Как она находится? Перечислите свойства дисперсии.
9 Что называется статистической устойчивостью и статистической вероятностью случайного события?
Тема 7: Элементы математического моделирования
Модель – это представление объекта, системы или идеи в некоторой форме, отличной от самой целостности.
Учебное пособие предназначено для студентов гуманитарных специальностей изучающих математику по технологии индивидуализированного обучения Оно... Теоретический материал был отобран из учебников по математике для гуманитарных... Задачи для самостоятельного решения разбиты на два уровня сложности основной и повышенный Задачи основного уровня...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Экспериментальные данные и вероятности событий
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Конфуций
Весь теоретический материал курса разбит на порции по темам и сопровождается задачами двух уровней сложности. Работа по усвоению нового учебного материала осуществляется следующим о
Сущность аксиоматического метода
Математика строится на основе понятий. Понятия бывают определяемые и неопределяемые. Под определением понимают точную формулировку того или иного понятия. Оп
Предмет математики
Предмет математики нельзя ни подменять формальными логическими схемами, ни низводить до уровня коллекции разрозненных фактов. Математика есть учение об общих формах, свойственных ре
Пересечение множеств
Рассмотрим два множества: Х = {0, 1, 3, 5}, Y = {1, 2, 3, 4}.
Числа 1 и 3 и только они принадлежат одновременно обоим множествам Х и Y. Составленное из них множество {1, 3}
Объединение множеств
Вновь возьмём множества Х = {0, 1, 3, 5} и Y = {1, 2, 3, 4} и наряду с ними рассмотрим множество {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Это множество содержит все элементы множества Х и все элементы м
Вычитание множеств
Если заданы два множества, то можно не только найти их пересечение и объединение, но и вычесть из одного множества другое. Результат вычитания называют разностью и определяют следую
Дополнение
В случаях, когда одно из множеств является подмножеством другого, А В называют дополнением множества В до множества А, и обозначают символом В'А
Формула Грассмана
Теория множеств используется при решении задач следующего вида:
В группе зверей 15 умных, 13 – красивых, и 8 мартышек. Сколько зверей в группе?
Ре
Формулы логики высказываний
В логике высказываний – первом и основном разделе математической логики – элементарные высказывания рассматриваются как нерасчленяемые «атомы», а составные высказывания – как молеку
Никаких других формул в логике высказываний нет.
Определение такого вида называется индуктивным. В п.п. 1 и 2 определены элементарные формулы, в п.п. 3 и 4 даны правила образования новых формул из любых двух данных формул.
Простейшие комбинаторные задачи
Знакомство с новыми понятиями начнем с двух простых задач.
Пример 1. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 9?
Реш
Правила умножения и сложения
Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех и
Выбор нескольких элементов. Размещения. Сочетания
В предыдущем параграфе все примеры и упражнения сводились к выбору одного элемента из данного множества и подсчету количества таких выборов. А если необходимо выбрать бо
Случайные события и их вероятности
Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием.
Например, многократное п
Случайные величины
Случайная величина – переменная величина, конкретное значение которой зависит от случая. Например, температура воздуха в 12 ч дня 1 июля в г. Новосибирске; номер грани, выпадающий при бро
Характеристики и параметры статистической совокупности
В результате непосредственных наблюдений, измерений или регистрации фактов получается множество данных, которые образуют статистическую совокупность и нуждаются в обработке, которая
Группировка информации в виде таблиц
Знакомство с элементами статистики начнем с конкретного примера.
В девятых классах «А» и «Б» измерили рост 50 учеников. Получились следующие результаты:
162, 168,
Графическое представление информации
Итак, выборки удобно задавать с помощью таблиц. Но мы знаем, что и для функций есть табличный способ их задания. Таблицы образуют «мостик», по которому от выборок данных можн
Гистограммы распределения большого объема информации
Гистограммы особенно незаменимы в случаях, когда ряд данных состоит из очень большого количества чисел (сотни, тысячи и т. п.). В этих случаях обработчику информации в первую очеред
Поделить найденную сумму на сумму всех кратностей.
В тех случаях, когда выборка задана распределением не кратностей, а распределением частот, удобно применять еще один способ подсчета среднего значения. Объясним его на том же примере.
Два подхода к построению моделей
Способов построения моделей существует великое множество, ибо, пытаясь разобраться в сложившемся положении вещей, можно совершенно по-разному упрощать его в надежде вскрыть суть явл
Три типа моделей
Различают три типа моделей – физические, аналоговые и математические модели.
Физические модели. Так называют увеличенное или уменьшенное описание объекта и
Основные этапы математического моделирования
1 Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект – явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т.д.
Задача о движении снаряда.
Рассмотрим следующую задачу механики.
Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v0 = 30 м/c под углом α = 450 к ее поверхности; требуется найти траектори
Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.
Требуется найти высоту h0 и радиус r0 жестяного бака объема V = 30 м3, имеющего форму закрытого кругового цилиндра, при которых площадь его пов
Транспортная задача.
В городе имеются два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозят 50 т муки, а со второго – 70 т на заводы, причем на первый – 40 т, а на второй – 80 т.
Обозначим чере
Задача о радиоактивном распаде.
Пусть N(0) – исходное количество атомов радиоактивного вещества, а N(t) – количество нераспавшихся атомов в момент времени t. Экспериментально установлено, что скорость изменен
Задача о коммивояжере.
Коммивояжеру, живущему в городе А1, надо посетить города А2, А3 и А4, причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно
Построение модели.
Изобразим каждый город точкой на плоскости и пометим ее соответствующей меткой Ai (i = 1, 2, 3, 4). Соединим эти точки отрезками прямых: они будут изображать дороги между г
Задача об определении надежности электрической цепи.
Здесь мы рассмотрим пример вероятностной модели (основные понятия теории вероятностей находятся в теоретическом разделе 5 темы).
Предположим, что в электрическую цепь последовательно включ
Задача о диете.
Дама просто приятная решила похудеть и, как это нередко случается, обратилась за советом к подруге. Подруга – дама приятная во всех отношениях, посоветовала ей перейти на рациональное питание, сост
Людвиг Бьорне
Самой древней математической деятельностью являлся счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, соп
Основной уровень
Задание 1. Принадлежат ли данному множеству объекты?
1.1 F – множество фруктов. Принадлежит ли этому множеству: а) яблоко; б) арбуз; в) груша; г) апельсин; д) морко
Повышенный уровень
Задание 1. Определите, принадлежат ли объекты данному множеству:
1.1 М – множество предметов спортивного инвентаря. Принадлежит ли этому множеству:
Основной уровень
Задание 1.Укажите, какие из данных предложений являются высказываниями или высказывательными формами, не являются высказываниями или высказывательными формами:
1.1 а) Кург
Повышенный уровень
Задание 1.Укажите, какие из данных предложений являются высказываниями или высказывательными формами, не являются высказываниями или высказывательными формами:
Основной уровень
Задание 1. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное:
1.1 А = «день рождения моего друга – число, мен
Повышенный уровень
Задание 1. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное.
1.1 Вы открыли эту книгу на любой странице и прочитали первое попавшее
Основной уровень
Задание 1. После группировки данных эксперимента получилась таблица их распределения, с помощью которой: а) определите объем выборки; б) найдите наиболее часто встр
Повышенный уровень
Задание 1. Выборка состоит из всех букв, входящих в двустишие. Для нее: а) выпишите ряд данных выборки; б) найдите объем выборки; в) определите кратность и частоту варианты «о»; г)
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ (зачету)
1. Какие понятия называют основными неопределяемыми понятиями?
2. Что значит определить понятие?
3. Что такое аксиома, теорема?
4. Какие требования предъя
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов