Задача о диете. - раздел Математика, Учебное пособие предназначено для студентов гуманитарных специальностей, изучающих математику по технологии индивидуализированного обучения Дама Просто Приятная Решила Похудеть И, Как Это Нередко Случается, Обратилась...
Дама просто приятная решила похудеть и, как это нередко случается, обратилась за советом к подруге. Подруга – дама приятная во всех отношениях, посоветовала ей перейти на рациональное питание, состоящее из двух новомодных продуктов Р и Q.
Дневное питание этими новинками должно давать не более 14 единиц жира (чтобы похудеть), но и не менее 300 калорий (чтобы не сойти с дистанции раньше). На банке с продуктом Р написано, что в одном килограмме этого продукта содержится 15 единиц жира и 150 калорий, а на банке с продуктом Q – 4 единицы жира и 200 калорий соответственно. При этом цена 1 кг продукта Р равна 15 у.е., а 1 кг продукта Q – 25 у.е.
Так как дама просто приятная в это время была несколько стеснена в средствах, то ее интересовал ответ на следующий вопрос: в какой пропорции нужно брать эти удивительные продукты Р и Q для того, чтобы выдержать условия диеты и истратить как можно меньше денег?
1. Построение модели. Обозначим через х количество продукта Р, а через у – количество продукта Q, требуемые для выполнения условий диеты.
Количество единиц жира, содержащегося в х кг продукта Р и в у кг продукта Q, равно 15х + 4у и по условию диеты не должно превосходить 14. Поэтому 
.
В свою очередь, количество калорий, содержащихся в х кг продукта Р и в у кг продукта Q, равно 150х + 200у и должно быть не меньше 300. Значит, 
.
Теперь о стоимости продуктов. Она равна z(х; у) = 15x + 25y и в соответствии с высказанными пожеланиями должна быть минимальной. Последнее записывается так: z(х; у) = 15x + 25y → min.
Итак, мы получили систему неравенств
которая является математической моделью задачи.
Полученная система неравенств называется системой ограничений задачи, а функция z(х; у) называется целевой функцией задачи.
2. Решение математической задачи, к которой приводит модель. Для решения применим координатно-графический метод.
Решением системы ограничений является многоугольник, полученный путем пересечения областей решений всех неравенств системы. Решением линейного неравенства является одна из полуплоскостей, на которые прямая, соответствующая данному неравенству, делит координатную плоскость. Для определения искомой полуплоскости берется точка, не лежащая на прямой, ее координаты подставляются в неравенство. Если в результате получается верное числовое неравенство, то решением является полуплоскость, содержащая выбранную точку. В противном случае, решением является другая полуплоскость.
Введем на плоскости прямоугольную систему координат хОу и построим многоугольник решений системы ограничений нашей задачи.
Из условий х ≥ 0 и у ≥ 0 вытекает, что все точки, которые удовлетворяют системе ограничений, лежат в первой координатной четверти.
Теперь решим неравенство . Ему соответствует прямая, заданная уравнением 
, которая проходит через точки 
и 
. Для проверки возьмем точку О(0; 0): 15 · 0 + 4 · 0 = 0 ≤ 14. Так как 0 ≤ 14 – верное неравенство, то решением неравенстваявляется полуплоскость, содержащая точку О.
Обращаясь подобным же образом с неравенством , находим точки пересечения прямой 
с осями координат – точки С(2; 0) и D(0; 1,5). Для проверки также возьмем точку О(0; 0): 150 · 0 + 200 · 0 = 0 ≥ 300. Так как 0 ≥ 300 – неверное числовое неравенство, то решением неравенства является полуплоскость, не содержащая точку О.
Рисунок 7.4
Пересечением всех полуплоскостей является треугольник BDK (рис. 7.4). Точка К является точкой пересечения прямых АВ и CD и имеет координаты 
.
Теперь среди всех точек треугольника найдем ту, координаты которой удовлетворяют условию минимальности целевой функции z.
Для этого построим так называемую линию нулевого уровня функции z, которая задается уравнением z(x; y) = 0. Будем двигать эту прямую в направлении вектора 
, координатами которого являются соответствующие коэффициенты целевой функции, до места первой встречи этой прямой с треугольником BDK. Искомой точкой будет точка К. То есть искомые значения х = 
, у = 1.
3. Интерпретация полученных следствий из математической модели. Таким образом, чтобы выполнить условия диеты и истратить при этом как можно меньше средств, продукты Р и Q нужно брать в отношении х : у = : 1 = 2 : 3. То есть на 2 части продукта Р брать 3 части продукта Q.
Все темы данного раздела:
Конфуций
Весь теоретический материал курса разбит на порции по темам и сопровождается задачами двух уровней сложности. Работа по усвоению нового учебного материала осуществляется следующим о
Сущность аксиоматического метода
Математика строится на основе понятий. Понятия бывают определяемые и неопределяемые. Под определением понимают точную формулировку того или иного понятия. Оп
Предмет математики
Предмет математики нельзя ни подменять формальными логическими схемами, ни низводить до уровня коллекции разрозненных фактов. Математика есть учение об общих формах, свойственных ре
Место и роль математики в современном мире, мировой культуре и истории, в том числе в гуманитарных науках
Роль математики в общечеловеческой культуре огромна. Обращаясь к истории философии, следует отметить, что ученые, создававшие математику Нового времени, рассматривали математическую
Пересечение множеств
Рассмотрим два множества: Х = {0, 1, 3, 5}, Y = {1, 2, 3, 4}.
Числа 1 и 3 и только они принадлежат одновременно обоим множествам Х и Y. Составленное из них множество {1, 3}
Объединение множеств
Вновь возьмём множества Х = {0, 1, 3, 5} и Y = {1, 2, 3, 4} и наряду с ними рассмотрим множество {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Это множество содержит все элементы множества Х и все элементы м
Вычитание множеств
Если заданы два множества, то можно не только найти их пересечение и объединение, но и вычесть из одного множества другое. Результат вычитания называют разностью и определяют следую
Дополнение
В случаях, когда одно из множеств является подмножеством другого, А В называют дополнением множества В до множества А, и обозначают символом В'А
Формула Грассмана
Теория множеств используется при решении задач следующего вида:
В группе зверей 15 умных, 13 – красивых, и 8 мартышек. Сколько зверей в группе?
Ре
Конъюнкцией двух высказываний называется новое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.
Конъюнкция обозначается или А&B; читается: «А и В».
Табли
Дизъюнкцией двух высказываний является новое высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Дизъюнкция обозначается и читается «А или В».
Таблица истинности для
Формулы логики высказываний
В логике высказываний – первом и основном разделе математической логики – элементарные высказывания рассматриваются как нерасчленяемые «атомы», а составные высказывания – как молеку
Никаких других формул в логике высказываний нет.
Определение такого вида называется индуктивным. В п.п. 1 и 2 определены элементарные формулы, в п.п. 3 и 4 даны правила образования новых формул из любых двух данных формул.
Простейшие комбинаторные задачи
Знакомство с новыми понятиями начнем с двух простых задач.
Пример 1. Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 9?
Реш
Правила умножения и сложения
Для того чтобы найти число всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и В, следует перемножить число всех исходов испытания А и число всех и
Выбор нескольких элементов. Размещения. Сочетания
В предыдущем параграфе все примеры и упражнения сводились к выбору одного элемента из данного множества и подсчету количества таких выборов. А если необходимо выбрать бо
Случайные события и их вероятности
Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, будем называть испытанием.
Например, многократное п
Принять предположение о равновероятности (равновозможности) всех этих исходов;
3) найти количество N(А) тех исходов опыта, в которых наступает событие А;
4) найти частное
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность произведения этих событий.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Пусть А и В – два случайных события одного и того же испытания. Тогда условной вероятностью события А или вероятностью с
Случайные величины
Случайная величина – переменная величина, конкретное значение которой зависит от случая. Например, температура воздуха в 12 ч дня 1 июля в г. Новосибирске; номер грани, выпадающий при бро
Характеристики и параметры статистической совокупности
В результате непосредственных наблюдений, измерений или регистрации фактов получается множество данных, которые образуют статистическую совокупность и нуждаются в обработке, которая
Группировка информации в виде таблиц
Знакомство с элементами статистики начнем с конкретного примера.
В девятых классах «А» и «Б» измерили рост 50 учеников. Получились следующие результаты:
162, 168,
Графическое представление информации
Итак, выборки удобно задавать с помощью таблиц. Но мы знаем, что и для функций есть табличный способ их задания. Таблицы образуют «мостик», по которому от выборок данных можн
Гистограммы распределения большого объема информации
Гистограммы особенно незаменимы в случаях, когда ряд данных состоит из очень большого количества чисел (сотни, тысячи и т. п.). В этих случаях обработчику информации в первую очеред
Поделить найденную сумму на сумму всех кратностей.
В тех случаях, когда выборка задана распределением не кратностей, а распределением частот, удобно применять еще один способ подсчета среднего значения. Объясним его на том же примере.
Сложить все полученные произведения.
Таким образом, можем записать формулу для нахождения математического ожидания: , где хi
Экспериментальные данные и вероятности событий
В конце темы рассмотрим связь между вероятностями случайных событий и экспериментальными статистическими данными. А сделаем это на примере бросания монеты. Будем последовательно, че
Два подхода к построению моделей
Способов построения моделей существует великое множество, ибо, пытаясь разобраться в сложившемся положении вещей, можно совершенно по-разному упрощать его в надежде вскрыть суть явл
Три типа моделей
Различают три типа моделей – физические, аналоговые и математические модели.
Физические модели. Так называют увеличенное или уменьшенное описание объекта и
Основные этапы математического моделирования
1 Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект – явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т.д.
Задача о движении снаряда.
Рассмотрим следующую задачу механики.
Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v0 = 30 м/c под углом α = 450 к ее поверхности; требуется найти траектори
Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.
Требуется найти высоту h0 и радиус r0 жестяного бака объема V = 30 м3, имеющего форму закрытого кругового цилиндра, при которых площадь его пов
Транспортная задача.
В городе имеются два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозят 50 т муки, а со второго – 70 т на заводы, причем на первый – 40 т, а на второй – 80 т.
Обозначим чере
Задача о радиоактивном распаде.
Пусть N(0) – исходное количество атомов радиоактивного вещества, а N(t) – количество нераспавшихся атомов в момент времени t. Экспериментально установлено, что скорость изменен
Задача о коммивояжере.
Коммивояжеру, живущему в городе А1, надо посетить города А2, А3 и А4, причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно
Построение модели.
Изобразим каждый город точкой на плоскости и пометим ее соответствующей меткой Ai (i = 1, 2, 3, 4). Соединим эти точки отрезками прямых: они будут изображать дороги между г
Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.
Рассмотрим несколько химических соединений, называемых нормальными алканами. Они состоят из п
Задача об определении надежности электрической цепи.
Здесь мы рассмотрим пример вероятностной модели (основные понятия теории вероятностей находятся в теоретическом разделе 5 темы).
Предположим, что в электрическую цепь последовательно включ
Людвиг Бьорне
Самой древней математической деятельностью являлся счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, соп
Основной уровень
Задание 1. Принадлежат ли данному множеству объекты?
1.1 F – множество фруктов. Принадлежит ли этому множеству: а) яблоко; б) арбуз; в) груша; г) апельсин; д) морко
Повышенный уровень
Задание 1. Определите, принадлежат ли объекты данному множеству:
1.1 М – множество предметов спортивного инвентаря. Принадлежит ли этому множеству:
Основной уровень
Задание 1.Укажите, какие из данных предложений являются высказываниями или высказывательными формами, не являются высказываниями или высказывательными формами:
1.1 а) Кург
Повышенный уровень
Задание 1.Укажите, какие из данных предложений являются высказываниями или высказывательными формами, не являются высказываниями или высказывательными формами:
Основной уровень
Задание 1. Вычислите: а) , б)
Повышенный уровень
Задание 1. Вычислите: а) , б)
Основной уровень
Задание 1. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное:
1.1 А = «день рождения моего друга – число, мен
Повышенный уровень
Задание 1. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное.
1.1 Вы открыли эту книгу на любой странице и прочитали первое попавшее
Основной уровень
Задание 1. После группировки данных эксперимента получилась таблица их распределения, с помощью которой: а) определите объем выборки; б) найдите наиболее часто встр
Повышенный уровень
Задание 1. Выборка состоит из всех букв, входящих в двустишие. Для нее: а) выпишите ряд данных выборки; б) найдите объем выборки; в) определите кратность и частоту варианты «о»; г)
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ (зачету)
1. Какие понятия называют основными неопределяемыми понятиями?
2. Что значит определить понятие?
3. Что такое аксиома, теорема?
4. Какие требования предъя
Новости и инфо для студентов