Исследовать функцию на экстремум.

Пример:

Исследовать на экстремум функцию .

На первом шаге, в соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию:

Частные производные первого порядка от функции равны:

Приравняем их к нулю и решим систему уравнений:

Выпишем отдельно первое уравнение системы и найдем его корни:

Подставим найденные значения переменной во второе уравнение системы:

и

Таким образом, получили две точки и , в которых будет продолжено исследование функции на экстремум.

На втором шаге найдем все вторые частные производные от функции На втором шаге найдем все вторые частные производные от функции z:

Для точки

Так как дискриминант больше нуля и

, то функция z имеет минимум в точке .

2) Для точки

Так как дискриминант меньше нуля, то функция z не имеет в точке ни минимума, ни максимума.

Ответ: в точке функция имеет минимум .