МАТРИЦЫ И ВЕКТОРЫ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ДОНЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И ТОРГОВЛИ

ИМ. М. ТУГАН - БАРАНОВСКОГО

 

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ И ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

 

МАТРИЦЫ И ВЕКТОРЫ

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ рекомендации

 

Для самостоятельной работы

Студентов дневного отделения ФОБ, ФТП

 

 

Утверждено

На заседании кафедры высшей

И прикладной математики

Протокол № 15 от “30” мая 2003 г.

 

Одобрено

Протокол № ____ от “___” 2003 г.   Донецк 2003

С О Д Е Р Ж А Н И Е

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Создание в ХVIII веке теории матриц и определителей было связано с изучением систем линейных уравнений. Для таких систем были получены формулы, позволяющие выразить решения через коэффициенты при неизвестных и свободные члены.

В ХІХ веке У. Гамильтон, Г. Грассман и другие математики в своих работах ввели векторы, хотя до этого они встречались в трудах Архимеда, Г. Галилея и других корифеев науки, но имели на тот момент только механический смысл.

Применяемые в рамках евклидовой геометрии векторные методы значительно упрощают доказательства многих теорем и решение задач. Например, теорема косинусов, теорема о трех перпендикулярах и другие, которые изучались в школьном курсе, имели довольно громоздкие доказательства, а применение скалярного произведения векторов значительно упрощает процесс доказательства.

Но роль векторов состоит не только в упрощении трудных мест школьного курса. Гораздо важнее то, что векторные методы находят сейчас широкое применение в физике, химии, экономике, биологии, не говоря уже о многих разделах современной математики. Студентам специальности «Оборудование» интересно будет узнать, что скалярное произведение вектора силы и вектора перемещения представляет собой работу, выполненную силой по перемещению материальной точки; а векторное произведение вектора тока и вектора напряженности магнитного поля – силу воздействия этого поля на проводник и т.д.

Впоследствии при рассмотрении многомерных пространств, скалярное произведение приобрело еще большее значение и стало мощным рабочим инструментом, применяемым буквально во всех областях математики и ее приложениях.

Целью данной методической разработки является оказание помощи студентам в освоении таких тем как матрицы и векторы. Эти темы не случайно объединены: они являются одними из первых, которые изучаются на первом курсе специальностей ОБ, ТН и др., кроме того они тесно связаны между собой. Например, нахождение векторного или смешанного произведений требуют наличия определенных знаний по вычислению определителя, решение систем линейных уравнений основывается на знании способов вычисления определителей и умении производить необходимые действия над матрицами и т.д.

Самостоятельную работу в соответствии с этой методической разработкой студентам рекомендуется проводить в следующем порядке:

Ø прочитать теоретический материал и разобрать решение типовых задач (лучше, если потом эти задания будут решены самостоятельно);

Ø решить задания проверочного теста;

Ø проверить свои результаты, сравнив с ответами теста;

Ø если ответы не совпадают или решение каких-либо задач вызвало трудность, то с помощью методических указаний следует вновь обратиться к теоретическому материалу;

Ø решить контрольную работу по своему варианту, тем самым закрепив свои знания.

 

I. М а т р и ц ы

 

Основные понятия

 

Матрицей называется множество чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы, имеющей строк и столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.

.

Для сокращения записи матрицу можно представить в компактном виде , (; ), где индекс обозначает номер строки, индекс – номер столбца матрицы.

Матрица, имеющая строк и столбцов, называется матрицей размера .

Если число строк матрицы равно числу столбцов , то матрица называется квадратной порядка .

Среди квадратных матриц отметим диагональные матрицы, у которых все элементы с неравными индексами равны нулю:

.

Элементы расположены на главной диагонали.

Диагональные матрицы, все отличные от нуля элементы которых равны между собой , называются скалярными матрицами. Если , то скалярная матрица называется единичной. Единичную матрицу принято обозначать буквой :

.

Матрица , все элементы которой равны нулю, называется нулевой, и ее обозначают 0:

.

Две матрицы и одного и того же размера называются равными, если все их соответствующие элементы равны. Т.е. , если для всех и .

 

 

Действия над матрицами и их свойства

1) Суммой двух матриц и одного и того же размера называется матрица того же размера, элементы которой равны суммам соответствующих элементов данных…

Свойства операций

2о . 3о .

Решение.

2) Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой есть элементы матрицы , умноженные на , т.е. . Пример 2.2. Найти , если , .

Решение.

.

Свойства операций

2о . 3о .  

Решение.

  4) Произведением матрицы размерности на матрицу размерности называется матрица…  

Свойства операций

Проверим это свойство для матриц и . , . На самом деле может случиться так, что произведение существует, а не существует (это связано с тем, что операция…

Свойства операций

Пример 2.6.На примере матрицы , доказать, что . Решение. Найдем матрицу , транспонированную по отношению к матрице : .

Определители и способы их вычисления

Определитель – это число, соответствующее квадратной матрице, вычисленное… Определителем второго порядка называется число, определяемое равенством:

Методы вычисления определителя третьего порядка

То есть, если элементы определителя третьего порядка записать в таблицу , то… Это правило называется правилом Саррюса.

Свойства определителей

1о Если в определителе поменять местами строки и столбцы, то его значение не изменится. То есть значение определителя матрицы равно значению… Например, . Это свойство устанавливает равноправие строк и столбцов.

Ранг матрицы

Рангом матрицы называется наибольший порядок миноров, отличных от нуля. Т.е. матрица имеет ранг , если среди ее миноров существует хотя бы один… Ранг нулевой матрицы считается равным нулю. Если матрица – квадратная, порядка , то ее ранг .

Обратная матрица

► Определение. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю . В противном случае она будет вырожденной. … ► Определение. Матрица называется обратной квадратной матрице , если ,… Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Решение.

, т.е. матрица является невырожденной. Найдем алгебраические дополнения: , , , , , , , …

Теорема Кронекера-Капелли

является расширенной матрицей системы (3).   Теорема Кронекера-Капелли Для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений была…

Решение.

Выпишем матрицу системы , столбец свободных членов и расширенную матрицу : , , . Ранг матрицы А не может быть больше 3, но существует минор третьего порядка не равный нулю:

Решение систем линейных уравнение методом Крамера

. (6) Определитель матрицы называют основным определителем системы и записывают… . (7)

Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Умножим соотношение (4) на , тогда , .

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Решение системы (6) этим методом состоит в сведении системы к треугольному виду, т.е. к такому, что все элементы матрицы А, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю.

Рассмотрим этот метод на примере.

Пример 7.5. Решить систему методом Гаусса.

.

Решение.

Первый этап. Внесем в таблицу элементы матрицы , столбца В и подсчитаем сумму элементов по строкам, записав эти числа в контрольный столбец К:   К – 2 …

Основные понятия

 

Вектором называется направленный отрезок , в котором точка рассматривается как начало, а точка – как его конец.

Проекцией вектора на ось называется длина вектора , где и – проекции точек и на ось (основания перпендикуляров, проведенных из точек и на ось ):

.

Проекция вектора на ось равна его модулю, умноженному на косинус угла наклона вектора к этой оси:

,

где - угол наклона вектора к оси .

Замечание. Если направление вектора совпадает с направлением оси, то берем полученное значение со знаком “+”, в противоположном случае – со знаком “–”.

Координатамивектора называются проекции этого вектора на оси координат:

, ,

и записываются:

или .

Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала , т.е.

.

Длиной (модулем) вектора называется длина отрезка и обозначается . Длина (модуль) вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

.

Коллинеарными называются два параллельных или лежащих на одной прямой вектора. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны, т.е. векторы и коллинеарны, если выполняется соотношение:

.

Нулевым вектором называется вектор, длина которого равна нулю. Этот вектор считается коллинеарным любому вектору.

Единичным вектором (ортом) называется вектор, длина которого равна единице.

Компланарными называются три вектора и более векторов, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.

Равными называются два коллинеарных вектора, имеющих одинаковые направления и одинаковые длины.

Противоположными называются два коллинеарных вектора одинаковой длины и противоположных по направлению. Вектор, противоположный вектору – есть вектор (), т.е.

, .

Пример 1.1. При каком значении векторы и будут коллинеарными?

Решение. Для того, чтобы векторы были коллинеарными, необходимо, чтобы их координаты были пропорциональны, т.е.

.

Подставим координаты векторов в это соотношение:

,

тогда

.

Пример 1.2. Даны точки , . Найти проекцию вектора на ось , если известно, что вектор и ось образуют между собой угол в .

Решение.

. В нашем случае , . Найдем координаты вектора . По формуле , получим, что

.

Определим длину вектора:

.

Итак,

.

 

 

2. Линейные операции над векторами

 

Суммой двух векторов и называется вектор , который идет из начала вектора в конец вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора . При сложении векторов их координаты складываются, т.е. если , , то

.

Суммой векторов называется вектор , идущий из начала вектора в конец вектора , при условии, что начало вектора приложено к концу вектора , начало вектора – к концу вектора , и т.д. пока не дойдет до вектора .

Если , ,…, , то

.

Замечание. Если конец вектора совпадает с началом вектора , то сумма и вектор является нулевым.

Разностью векторов и называется вектор , который в сумме с вектором составляет вектор .

Разностью двух векторов, приведенных к общему началу, является вектор, идущий из конца “вычитаемого” вектора в конец “уменьшаемого”.

При вычитании векторов их координаты вычитаются, т.е. если , , то

.

Произведениемвектора на число называется вектор, который коллинеарен вектору , имеет длину , и направление такое же как у вектора , если , и противоположное, если . При умножении вектора на число координаты вектора умножаются на это число, т.е.

.

Свойства линейных операций над векторами

1^о .

2^о .

3^о .

4^о .

5^о .

6^о .

7^о .

Разложение векторов по базису

Пусть - векторы пространства R; - скаляры, тогда вектор называется линейной комбинацией векторов . Если вектор равен нулю тогда и только тогда, когда все числа , то говорят, что… Если вектор равен нулю и среди чисел есть хотя бы одно, отличное от нуля, то говорят, что векторы линейно зависимы. …

Радиус-вектор, его длина и направляющие косинусы

, идущий из начала координат в точку , его длина . Направляющими косинусами вектора называются

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними, т.е. . Скалярное произведение можно рассматривать как произведение модуля одного из векторов и проекции другого вектора на…

Свойства скалярного произведения

2о – сочетательный закон. 3о . 4о – распределительный закон.

Следствия из свойств

. 20 Угол между векторами и определяется соотношением: .

Векторное произведение

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который удовлетворяет следующим условиям: 1) вектор перпендикулярен векторам и ; 2) длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла между ними, т.е.

Свойства векторного произведения

2о – сочетательный закон. 3о ; – распределительный закон. 4о Векторное произведение двух векторов обращается в ноль тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.

Смешанное произведение

Смешанным произведением трех векторов называется скалярное произведение векторного произведения векторов и вектора , т.е. . Смешанное произведение векторов , , определяется формулой:

ВАРИАНТ 1

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , ,

ВАРИАНТ 2

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 3

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 4

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 5

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 6

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 7

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 8

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 9

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 10

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 11

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 12

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

 

ВАРИАНТ 13

 

1. Даны три матрицы ,, . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 14

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 15

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 16

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 17

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 18

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 19

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 20

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

ВАРИАНТ 21

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , . При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 22

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , . При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 23

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 24

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 25

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 26

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 27

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 28

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 29

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

ВАРИАНТ 30

 

1. Даны три матрицы , , . Найти: а) ; б) ; в) ранг матрицы .

2. Дана матрица . Найти: а) тремя способами определитель матрицы ; б) матрицу, обратную данной , и сделать проверку.

3. Показать совместность системы, найти ее решение методами Крамера, Гаусса, обратной матрицы, и сделать проверку

.

4. Даны векторы , При каком значении эти векторы перпендикулярны?

5. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию .

6. Найти длину и направление вектора .

7. Какой угол образуют единичные векторы и , если векторы и взаимно перпендикулярны?

8. Даны две точки , . Точка делит отрезок в отношении . Найти координаты точки .

9. На плоскости даны точки , , . В начале координат приложены силы , и . Найти проекцию вектора на равнодействующую сил .

10. Даны координаты вершин треугольника , , . Найти: а) угол ; б) площадь треугольника .

11. Найти объем пирамиды , если , .

12. Показать, что векторы , , образуют трехмерный базис и найти координаты вектора в этом базисе.

13. – равнобокая трапеция . Каковы могут быть координаты точки , если известно, что , , .

 

 

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ПРОВЕРОЧНОМУ ТЕСТУ

№	отв.	указания
1.	Б	см. п.1.1.
2.	А	см. п.1.1.
3.	В	см. п.1.1.
4.	Б	см. п.1.2. замечание
5.	Г	см. п.1.2. произведение матриц
6.	Б	см. п.1.2. сумма матриц
7.	А	см. п.1.2. умножение матрицы на число
8.	Б	см. п.1.2. произведение матриц
9.	Г	а) , б) , г)
10.	Б	каждая из строк определителя является умноженной на 2 по отношению к данному, т. о. по свойству из п.1.5. его значение равно
11.	В	а) первая и вторая строки пропорциональны; б) первый и третий столбцы пропорциональны; г) третья строка есть сумма первых двух
12.	Б	см. п.1.5.
13.	Г	а) поменяли местами первый и второй столбцы; б) оба определителя равны нулю, т.к. имеют пропорциональные строки и столбцы; в) третий столбец есть сумма первых двух; г) поменяли местами первых две строки, а знак перед определителем не изменили.
14.	Б	см. п.1.6.
15.	Б	см. п. 2.2.
16.	Г	координаты векторов пропорциональны
17.	Г	скалярное произведение таких векторов равно нулю
18.	А	см. п.2.1., сначала найти координаты вектора АВ
19.	А	ординаты равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку; абсциссы равны
20.	В	абсциссы равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку; ординаты равны
21.	А	координаты противоположны по знаку
22.	В	см. п.2.1.
23.	Б	см. п.2.3.
24.	Г	см. п.2.2., 2.3.; обратите внимание, что , , .
25.	А	см. п. 2.3.
26.	В	см. п. 2.4.
27.	В
28.	В	см. п. 2.4.
29.	Б	, , =.
30.	А	см. п. 2.2.
31.	Б	см. п. 2.5.

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматгиз,1962.

 

2. Жевержеев Л.А., Кальницкий Н.А., Сапогов Н.А. Специальный курс высшей математики для втузов. –М.: Высшая школа, 1970.

 

3. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1977.

 

4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1968.

 

5. Савин П.С. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1989.