Решение.

Решение можно разбить на этапы.

Первый этап. Внесем в таблицу элементы матрицы , столбца В и подсчитаем сумму элементов по строкам, записав эти числа в контрольный столбец К:

 

				К
	– 2
		– 4		– 1
– 1			-8	– 2

Второй этап. Первую строку оставляем без изменения. Элемент, стоящий в верхнем левом углу, назовем главным, остальные элементы первого столбца заменяем нулями. Оставшиеся элементы находим по правилу “прямоугольника”:

§ искомый и главный элементы являются вершинами прямоугольника, остальные две его вершины определяем единственным образом;

§ находим разность произведений первых двух вершин и вторых.

 

 

Таким образом, таблица приобретет вид:

 

				К
	– 2
		– 14	– 28	– 35
			– 10

 

Проверьте, что числа контрольного столбца, найденные по правилу “прямоугольника”, являются суммами по строкам. Заметим, что вторая строка кратна 7, а третья – 10. Для простоты вычислений, разделим строки на эти числа:

 

				К
	– 2
		– 2	– 4	– 5
			– 1

Третий этап. Первую и вторую строки оставляем без изменения. На этом этапе главным элементом является второй элемент главной диагонали. Элемент, стоящий под ним заменяем нулем, оставшиеся элементы вновь находим по методу “прямоугольника”. Таким образом, таблица приобретет вид:

 

				К
	– 2
		– 2	– 4	– 5

 

Третья строка кратна 3, разделим все ее элементы на это число:

 

				К
	– 2
		– 2	– 4	– 5

 

Итак, мы привели систему к треугольному виду, а именно:

.

Подставим во второе уравнение системы и найдем ; при подстановке в первое уравнение системы, получаем . Решение системы может быть записано в виде:

.

Решение системы методом Гаусса можно проводить в несколько иной форме. Рассмотрим его на следующем примере:

Первый этап. Первое уравнение системы оставим без изменений, а из второго и третьего уравнений исключим :

Второй этап. Первое и второе уравнение системы оставляем без изменений. Из третьего уравнения исключаем переменную :

 

Третий этап. Подставим во второе уравнение системы и найдем ; при подстановке в первое уравнение системы, получаем . Решение системы может быть записано в виде:

.

Естественно, что решения исходной системы, найденные методами Крамера, обратной матрицы и методом Гаусса совпадают.

 

 

iI. в Е К Т О Р Ы