рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры
- Раздел Математика
- /
- Циклова комісія математики, інформатики та обчислювальної техніки
Реферат Курсовая Конспект
Циклова комісія математики, інформатики та обчислювальної техніки
Циклова комісія математики, інформатики та обчислювальної техніки - раздел Математика, Міністерство Освіти І Науки, Молоді Та Спорту України Харківський Ма...
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
ХАРКІВСЬКИЙ МАШИНОБУДІВНИЙ КОЛЕДЖ
Циклова комісія математики, інформатики та обчислювальної техніки
МАТЕМАТИКА
Частина ІІ (електронний навчально-методичний посібник для самостійної роботи студентів … 1-а курсу з дисципліни «Математика»)Формули зведення
При застосування формул зведення можна користуватися такими правилами: 1) якщо у формулах містяться кути і , то назва функції не змінюється;… 2) щоб визначити знак у правій частині формули («+», або «-»), досить, вважаючи кут гострим, визначити знак виразу,…1. ;
2. ;
3. ;
4. , ;
5.Якщо і , то .
Основні формули інтегрування
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
147.Доведіть, що функція є первісною для функції на заданому проміжку:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
9) 10)
11) 12)
13) 14)
148.Знайдіть невизначені інтеграли:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) .
149.Знайдіть інтеграли безпосередньо:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) ;
19) ; 20) ;
21) ; 22) ;
23) ; 24) ;
25) ; 26) ;
27) ; 28) ;
29) ; 30) ;
31) ; 32) ;
33) ; 34) ;
35) ; 36) ;
37) ; 38) .
150.Знайдіть невизначені інтеграли :
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) /
151.Знайдіть невизначені інтеграли методом заміни змінної;
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) ;
19) ; 20) ;
21) ; 22) ;
23) ; 24) ;
25) ; 26) ;
27) ; 28) ;
29) ; 30) ;
31) ; 32) .
до змісту
§ 27 Визначений інтеграл та його властивості
Рис. 8
Розглянемо неперервну функцію , невід’ємну на відрізку . Розіб’ємо відрізок на рівних частин , довжина кожної частини дорівнює . Утворимо суму добутків , де , яка називається інтегральною сумою: . Знайдемо . Границя інтегральної суми при умові, що кількість відрізків , називається визначеним інтегралом від функції на відрізку і позначають .
Якщо - первісна для функції на відрізку , то
Ця формула називається формулою Ньютона – Лейбніца і є правильною для будь-якої неперервної на відрізку функції ; вона пов’язує поняття інтеграла і первісної та є правилом обчислення інтегралів.
Основні властивості визначеного інтегралу:
1.
2.
3.
4.
5.Якщо , то
152.Обчисліть інтеграли:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) ;
19) ; 20) ;
21) ; 22) ;
23) ; 24) ;
25) ; 26) ;
27) ; 28) ;
29) ; 30) ;
31) ; 32) ;
33) ; 34) .
153.Обчисліть інтеграли:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) ;
19) ; 20) ;
21) ; 22) ;
23) ; 24) ;
25) ; 26) ;
27) ; 28) ;
29) ; 30) ;
31) ; 32) ;
33) ; 34) ;
35) ; 36) ;
37) ; 38) ;
39) ; 40) ;
41) ; 42) .
154.Обчисліть інтеграли методом заміни змінної:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) ;
7) ; 8) ;
9) ; 10) ;
11) ; 12) ;
13) ; 14) ;
15) ; 16) ;
17) ; 18) ;
19) ; 20) ;
21) ; 22) ;
23) ; 24) ;
25) ; 26) ;
27) ; 28) ;
29) ; 30) .
155.Обчисліть інтеграл , якщо
156.З’ясуйте, при яких значеннях виконується нерівність:
1) ; 2) .
до змісту
§ 28 Площа криволінійної трапеції
Криволінійною трапецієюназивається фігура, обмежена графіком неперервної функції , яка невід’ємна на відрізку , прямими , і віссю ОХ.
Рис. 9
Площа криволінійної трапеції дорівнює визначеному інтегралу від заданої функції на заданому відрізку: .
157.Обчисліть визначені інтеграли і побудувати схематично фігури, площі яких виражаються цими інтегралами:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
158.Запишіть за допомогою інтегралу площі фігур, зображених на рисунку:
А) Б) В)
Рис. 10
159.Знайдіть площу фігури, обмежену:
1) параболою та прямими , , ;
2) параболою та прямими , , ;
3) графіком функції та прямими , ;
4) графіком функції та прямими , ;
5) графіком функції та прямими , , ;
6) графіком функції та прямими , , ;
7) параболою та віссю абсцис;
8) параболою та віссю абсцис;
9) параболою , віссю абсцис та прямою ;
10) параболою , віссю абсцис та прямою ;
11) графіком функції та прямими , , ;
12) графіком функції та прямими , , ;
13) графіком функції та прямими , ;
14) графіком функції та прямими , ;
15) графіком функції та прямими , , ;
16) графіком функції та прямими , , ;
17) графіком функції та прямими , , ;
18) графіком функції та прямими , , ;
19) графіком функції та прямими , , ;
20) графіком функції та прямими , , ;
21) графіком функції та прямими , , ;
22) графіком функції та прямими , , ;
23) графіками рівнянь , та ;
24) графіками рівнянь , та ;
160.Знайдіть площу фігури, обмежену:
1) параболою та прямою ;
2)параболою та прямою ;
3) параболою та прямою ;
4) параболою та прямою ;
5) параболою , прямою та віссю ординат;
6) параболою , прямою та віссю ординат;
7) параболою та прямою ;
8) параболою та прямою ;
9) графіком функції та прямими , ;
10) графіком функції та прямими , ;
11) графіком функції та прямими , ;
12) графіком функції та прямими , ;
13) графіком функції та прямими , ;
14) графіком функції та прямими , ;
15) графіком функції та прямими, , ;
16) графіком функції та прямими, , ;
17) графіком функції та прямою ;
18) графіком функції та прямою ;
19) графіком функції та прямими , ;
20)графіком функції та прямими , ;
21) графіками функцій та ;
22)графіками функцій та ;
23) параболою та прямою ;
24) параболою та прямою ;
25) параболами та ;
26) параболами та ;
27) графіками функцій , та прямою ;
28) графіками функцій , та прямою ;
29) графіками функцій , та прямою ;
30) графіками функцій , та прямою ;
31) графіками функцій , та прямою ;
32) графіками функцій , та прямою ;
33) графіком функції та прямими , ;
34) графіком функції та прямими , ;
35) графіками функцій та ;
36) графіками функцій та .
161.Знайдіть площі фігур, обмежені:
1) графіками функцій , і віссю абсцис;
2) графіками функцій , і віссю абсцис;
3) графіком функції і віссю абсцис;
4) графіком функції і віссю абсцис;
5) графіками функцій , та віссю абсцис;
6) графіками функцій , та віссю абсцис.
162.Використовуючи геометричний зміст інтегралу, обчисліть:
1) ; 2) ;
3) ; 4) ;
5) ; 6) .
163.Знайдіть площу фігури, обмеженої параболою , дотичною, проведеною до цієї параболи в точці з абсцисою , та віссю ординат.
164.Знайдіть, при якому значенні площа фігури, обмеженої параболою та прямими , , буде приймати найменше значення.
165.Знайдіть площу фігури, обмежену графіками функцій та .
до змісту
§ 29 Застосування визначеного інтеграла при розв’язанні фізичних задач
Шлях, пройдений точкою при нерівномірному русі по прямій із змінною швидкістю за проміжок часу від до , обчислюється за формулою:
.
Роботу, виконану змінною силою при переміщенні по осі матеріальної точки від до , визначають за формулою:
.
Маса неоднорідного стержня, лінійна густина якого змінюється за законом , на відрізку від до знаходиться за формулою:
.
Кількість електрики, що проходить через поперечний переріз провідника при змінному струмі за час від до знаходиться за формулою:
.
166.Швидкість руху точки змінюється за законом м/с. Знайдіть шлях, пройдений точкою за 10с від початку руху.
167.Швидкість руху точки м/с. Знайдіть шлях, пройдений точкою за 5с від початку руху.
168.Швидкість руху точки м/с. Знайдіть шлях, пройдений точкою за 4-ту секунду руху.
169.Швидкість руху точки м/с. Знайдіть її шлях за 2-гу секунду руху.
170.Швидкість руху точки м/с. Знайдіть шлях, пройдений точкою від початку руху до її зупинки.
171.Швидкість руху точки м/с. Знайдіть шлях, пройдений точкою від початку руху до її зупинки.
172.Швидкість руху точки м/с. Знайдіть: 1) шлях, пройдений точкою за 3с від початку руху; 2) шлях, пройдений точкою за 3-тю секунду руху; 3) шлях, пройдений точкою від початку руху до її зупинки.
173.Два тіла почали рухатися одночасно з однієї точки в одному напрямі по прямій. Перше тіло рухається з швидкістю м/с, друге – з швидкістю м/с. З’ясуйте, на якій відстані одне від одного вони будуть через 5с?
174.Два тіла почали рухатися одночасно з однієї точки в одному напрямі по прямій. Перше тіло рухається з швидкістю м/с, друге – з швидкістю м/с. З’ясуйте, на якій відстані одне від одного вони будуть через 10с?
175.Два тіла рухаються по прямій з однієї і тієї ж точки. Перше тіло рухається з швидкістю м/с, друге – з швидкістю м/с. З’ясуйте, в який момент часу і на якій відстані від початкової точки вони зустрінуться?
176.Два тіла рухаються по прямій з однієї і тієї ж точки. Перше тіло рухається з швидкістю м/с, друге – з швидкістю м/с. З’ясуйте, в який момент часу і на якій відстані від початкової точки вони зустрінуться?
177.Тіло кинуто з поверхні землі вертикально вгору зі швидкістю . Знайдіть найбільшу висоту піднімання тіла.
178.Тіло кинуто з поверхні землі вертикально вгору зі швидкістю . Знайдіть найбільшу висоту піднімання тіла.
179.Стиск гвинтової пружини пропорційний прикладеній силі . Обчисліть роботу сили при стисканні пружини на 0,04м, якщо для стискання її на 0,01м потрібна сила 10Н.
180.Пружина розтягується на 0,02м під дією сили 60Н. З’ясуйте, яку роботу виконує ця сила, розтягуючи пружину на 0,12м?
181.Під дією сили 80Н пружина розтягується на 0,02м. Початкова довжина пружини дорівнює 0,15м. З’ясуйте, яку роботу треба виконати, щоб розтягти її до 0,2м?
182.Пружина у спокійному стані має довжину 0,2м. Сила в 50Н розтягує пружину на 0,01м. З’ясуйте, яку роботу треба виконати, щоб розтягти її від 0,22м до 0,32м?
183.Пружина у спокійному стані має довжину 0,1м. Сила в 20Н розтягує пружину на 0,01м. З’ясуйте, яку роботу треба виконати, щоб розтягти її від 0,12м до 0,14м?
184.Для стискання пружини на 0,05м виконують роботу в 25Дж. З’ясуйте, яку роботу треба виконати, щоб стиснути пружину на 0,1м?
185.Для стискання пружини на 0,05м виконують роботу в 30Дж. З’ясуйте, яку роботу треба виконати, щоб стиснути пружину на 0,08м?
186.Щоб розтягти пружину на 0,04м, треба виконати роботу в 20Дж. З’ясуйте, на яку довжину можна розтягти пружину, виконавши роботу в 80Дж?
187.Щоб стиснути пружину на 0,02м, треба виконати роботу в 16Дж. З’ясуйте, на яку довжину можна розтягти пружину, виконавши роботу в 100Дж?
188.Обчисліть роботу, яку треба виконати, щоб викачати воду з ями глибиною 4м, що має квадратний переріз зі стороною 2м. Густина води .
189.Обчисліть роботу, яку треба виконати, щоб викачати воду з циліндричної цистерни, радіус якої – R, a висота – H.
190.Знайти масу стержня завдовжки 35см, якщо його лінійна густина змінюється за законом .
191.Знайдіть масу стержня завдовжки 40см, якщо його лінійна густина змінюється за законом .
192.Знайдіть кількість електрики, що проходить через поперечний переріз провідника за 10с, якщо сила струму змінюється за законом .
193.Знайдіть кількість електрики, що проходить через поперечний переріз провідника за 20с, якщо сила струму змінюється за законом .
194.Експериментально встановлено, що продуктивність праці робітника наближено виражається формулою , де - робочий час у годинах. Обчисліть обсяг продукції за квартал, вважаючи робочий день восьмигодинним, а кількість робочих днів у кварталі – 62.
195.Продуктивність праці робітників протягом зміни наближено визначається формулою , де - робочий час у годинах. Обчисліть обсяг продукції, виготовленої бригадою за п’ять робочих годин.
196.Експериментально встановлено, що залежність затрати бензину автомобілем від швидкості на 100км шляху визначається формулою , де . Визначить середню затрату бензину, якщо швидкість руху 50 – 60 км/год.
до змісту
Розділ 4
Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики
§ 30 Елементи комбінаторики
Задачі, в яких визначаються всі можливі різні комбінації, складені з скінченого числа елементів за деяким правилом, називаються комбінаторними. Розділ математики, в якому визначається їх розв’язання, називається комбінаторикою. Під час розв’язування комбінаторних задач доводиться розглядати скінчені множини, складені з елементів будь-якої природи, та їх підмножини. Залежно від умови задачі розглядаються скінчені множини, в яких істотним є або порядок елементів, або їх склад, або перше і друге одночасно. Такі скінчені множини (сполуки) дістали певну назву: перестановки, розміщення, комбінації.
1. Перестановки.Усякий встановлений в скінченій множині порядок називається перестановкою її елементів. Множина, в якій задано порядок розміщення її елементів, називається упорядкованою.
Характеристична ознака перестановок: 1) предмети різні; 2) всі місця зайняті; 3) порядок елементів важливий.
Число всіх перестановок у множині з елементів позначають . Воно дорівнює добутку послідовних натуральних чисел від 1 до включно:
.
Добуток прийнято позначати знаком (читається « - факторіал»); при цьому припускають, що , . Тому можна записати:
2. Розміщення.Нехай дано скінчену множину, яка складається з елементів. Будь-яка її упорядкована підмножина, яка містить елементів, де , називається розміщенням з елементів по .
Отже, розміщення відрізняються одне від одного або елементами, або порядком елементів.
Характеристичні ознаки розміщень: 1) предмети і місця різні; 2) ;
3) усі місць необхідно зайняти ; 4) порядок елементів важливий.
Число розміщень з елементів по елементів позначають і знаходять за формулою:
.
Якщо , то дістаємо формулу:
При розв’язуванні задач часто користуються рівністю: .
3. Комбінації.Нехай дано скінчену множину, яка складається з елементів. Будь-яка її підмножина, яка містить елементів, де , називається комбінацією з елементів по .
Характеристичні ознаки комбінацій: 1) предмети різні; 2) ; 3) порядок вибору елементів не має значення.
Число віх можливих комбінацій з елементів по елементів позначають і знаходять за формулою:
Число всіх підмножин множини А, яка складається з елементів, дорівнює .
197.Дано: А = , В = , С = . Знайдіть:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
198.Дано: А = , В = , С = . Знайдіть:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
199.Дано: М = , N = . Знайдіть:
1) M/N; 2) N/M; 3) (M/N) (N/M).
200.Дано А = , В = . Знайдіть: А/В і В/А.
201.Дано А = , В = . Знайдіть:
1) ; 2) ; 3) А/В; 4) В/А.
202.Дано: А = { : }, B = { : }. Знайдіть і .
203.Дано: А = { : }, В = { : }. Знайти і ;А/В; В/А.
204.Нехай А – множина цілих чисел, які діляться на 4, В – множина цілих чисел, які діляться на 3. З’ясуйте, які із чисел 9, 0, - 24, - 53, 128, 1242048 належать множинам і ?
205.Знайдіть , якщо:
1) А – множина парних чисел, В = { : , де };
2) А – множина простих чисел, В – множина непарних чисел.
206.Знайдіть , якщо М – множина простих чисел, що менші від 40, Р – множина непарних чисел, більших за 14.
207.Знайдіть К/F, якщо К = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, F = {2, 4. 6}.
208.Зі 100 студентів лише німецьку мову вивчають 18; німецьку, але не англійську – 23, німецьку і французьку – 8; німецьку – 26; французьку – 48, англійську і французьку – 8; ніякої мови не вивчають – 24. З’ясуйте, скільки студентів вивчають англійську мову? Скільки студентів вивчають англійську і німецьку мову, але не французьку? Скільки студентів вивчають французьку мову в тому і лише тому випадку, якщо вони не вивчають англійську?
209.Обчисліть:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) ;
9) ; 10) ; 11) ; 12) ;
13) ; 14) ; 15) ; 16) ;
17) ; 18)
210.Спростіть:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) ;
9) ; 10) ; 11) ; 12) .
211.Розв’яжіть рівняння:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ;
5) ; 6) ; 7) ; 8) ;
9) ; 10) ; 11) .
212.Вкажіть скількома способами можна скласти список із 9 прізвищ?
213.Вкажіть скількома способами можна розкласти вісім різних листів у вісім різних конвертів, якщо в кожний конверт вкладається лише один лист?
214.З’ясуйте, скільки п’ятицифрових чисел можна написати цифрами 5, 6, 7, 8, 9 так, щоб усі цифри кожного числа були різними?
215.Із цифр 0, 1, 2, 3, 4 складені всі можливі п’ятизначні числа так, що в кожному числі цифри не повторюються. Вкажіть скільки одержали чисел?
216.Вкажіть скільки всього шестизначних парних чисел можна скласти з цифр 1, 3, 4, 5, 7, 9, якщо в кожному із цих чисел жодна цифра не повторюється?
217.З цифр 1, 2, 3, 4, 5 складено всі можливі п’ятизначні числа без повторення цифр. Вкажіть скільки серед цих п’ятизначних чисел таких, які:
1) починаються цифрою 5;
2) не починаються з цифри 3;
3) починаються з 53;
4) не починаються з 543.
218.З’ясуйте, скількома способами можна розсадити 4 учнів на 25 місцях?
219.Студенту треба скласти 4 екзамени на потязі 8 днів. З’ясуйте, скількома способами це можна зробити?
220.Вкажіть скільки існує всього семицифрових телефонних номерів, в кожному із яких жодна цифра не повторюється?
221.Вкажіть скільки існує двоцифрових чисел, в яких цифра десятків і цифра одиниць різні і непарні?
222.З’ясуйте, із скількох різних предметів можна скласти 210 різних розміщень по два елементи в кожному?
223.Із 20 робітників треба виділити 6 для роботи на елеваторі. Вкажіть скількома способами це можна зробити?
224.На полиці є 35 книжок. Вкажіть скількома способами можна вибрати дві із них?
225.Вкажіть скількома способами можна закреслити 6 номерів із 49 в картці «Спорт лото».
226.У групі навчається 32 студента. Вкажіть скількома способами можна сформувати команду з 4 студентів для участі в математичній олімпіаді?
227.На площині розташовано 25 точок таким чином, що жодні три з них не лежать на одній прямій. Вкажіть скільки існує трикутників з вершинами в цих точках?
228.З’ясуйте, скількома способами групу із 17 студентів можна розділити на дві групи таким чином, щоб в одній було 5 студентів, а в другій – 12 студентів?
229.Студент має по одній монеті в 1 коп., 2 коп., 5 коп., 10 коп., 25 коп. З’ясуйте, скількома способами він може ці монети розкласти в дві кишені?
230.У деякому царстві немає двох людей, які б мали однаковий набір зубів. З’ясуйте, скільки людей мешкає там, якщо кількість зубів у мешканців утворює всю множину можливих варіантів?
231.А) 25 викладачів потиснули один одному руки перед педрадою. Вкажіть скільки було зроблено рукостискань?
Б) 25 студентів обмінялися фотографіями так, що кожний обмінявся з кожним. Вкажіть скільки було роздано фотографій?
232.А) В групі з 32 студентів вибирають на конференцію делегацію, яка складається з трьох осіб. Вкажіть скільки існує варіантів такого вибору?
Б) В групі з 32 студентів для проведення зборів обирають голову, заступника та секретаря. Вкажіть скількома способами це можна зробити?
233.А) Біля стола стоїть 9 стільців. Вкажіть скільки існує способів розміщення за столом 9 осіб?
Б) 9 дівчат водять хоровод. Вкажіть скільки існує різних варіантів стати дівчатам в коло?
В) З дев’яти різних намистин потрібно зробити намисто. Вкажіть скільки існує різних способів його утворення?
234.7 книг різних авторів і трьохтомник одного автора розташовані на книжковій полиці. З’ясуйте, скількома способами можна розставити ці 10 книжок на полиці так, щоб книги автора трьохтомника стояли поруч?
235.Збори з 30 осіб обирають голову, секретаря та трьох членів редакційної комісії. Вкажіть скількома способами це можна зробити?
236.У підрозділі 60 солдат і 5 офіцерів. Вкажіть скількома способами можна виділити наряд, Який складається із трьох солдат і одного офіцера?
237.У одного хлопчика є 10 марок для обміну, а у другого – 8. Вкажіть скількома способами вони можуть обміняти дві марки одного на дві марки другого?
238.На одній паралельній прямій розташовано 7 точок, а на другій – 12. Вкажіть скільки існує чотирикутників з вершинами в цих точках?
239.Вкажіть скількома способами з колоди з 36 карт можна вибрати 10 карт так, щоб серед них було рівно три тузи?
240.Вкажіть скількома способами можна розподілити пари в шести групах між трьома викладачами, якщо кожен викладач викладатиме у двох групах?
241.Для відвідування театру закуплено 20 квитків в один ряд партеру. Вкажіть скількома способами можна розподілити ці квитки між 10 чоловіками і 10 жінками так, щоб два чоловіки або дві жінки не сиділи поруч?
242.Із 10 троянд і 8 жоржин треба скласти букет з п’яти квітів так, щоб в ньому було:
1) лише п’ять троянд;
2) 2 троянди і 3 жоржини;
3) або 2 троянди і 3 жоржини, або 3 троянди і 2 жоржини;
4) п’ять квітів, серед яких була б принаймні одна троянда.
Вкажіть скількома способами можна скласти букет?
243.Із семи бігунів і трьох стрибунів треба скласти команду із 5 чоловік, в яку б входило:
1) три бігуна і два стрибуна;
2) чотири бігуна і один стрибун;
3) хоч би один стрибун.
Вкажіть скількома способами це можна зробити?
до змісту
§ 31 Основні поняття теорії ймовірностей
Теорія ймовірностей – математична наука, яка вивчає закономірності масових випадкових подій.
Масовими називаються події, для яких відповідні випробування можна відтворити необмежену кількість разів, або є можливість спостерігати аналогічні випробування у великій кількості.
До первісних понять теорії ймовірностей належать поняття випробуванняі поняття події.
У середовищі, яке нас оточує можна спостерігати події (явища), які обов’язково відбудуться, якщо буде виконана визначена сукупність умов. Такі події називають вірогідними.
Події, які ніколи не відбудуться , якщо буде виконана визначена сукупність умов, називаються неможливими.
Події, які при виконанні визначених умов, можуть відбутися, а можуть не відбутися називаються випадковими.
Сукупність умов при виконанні яких подія може відбутися, або не відбутися називається випробуванням, або дослідом.
Повною групоюподій називається множина подій таких, що в результаті кожного випробування обов’язково повинна відбутися хоча б одна з них.
Попарно несумісніподії – це події, дві з яких не можуть відбутися разом.
Рівноможливі події – це такі події, кожна з яких не має ніяких переваг у появі частіше за іншу під час багаторазових випробувань, що проводяться за однакових умов.
Якщо події:
1) утворюють повну групу подій;
2) є несумісними;
3) є рівноможливими;
То такі події утворюють простір елементарних подій.
Імовірністювипадкової події називається відношення кількості елементарних подій, які сприяють цій події, до кількості всіх рівно можливих несумісних подій, які утворюють повну групу під час певного випробування.
Імовірність позначають ,
де - загальна кількість рівно можливих і несумісних подій, які утворюють повну групу; - число елементарних подій, які сприяють події А.
244.Проаналізуйте приклади випробувань та відповідних їм подій, що подано у таблиці
| Випробування | Випадкова подія |
| Підкидання грального кубика | Поява чотирьох очок на верхній грані |
| Гра в шахи | Виграш у суперника |
| Випуск ламп електроламповим заводом | Поява бракованої лампи |
245.Проаналізуйте дані таблиці і виділіть у ній вірогідні, неможливі та випадкові події.
| № | Випробування | Випадкова подія |
| Нагрівання дроту | Довжина дроту збільшилася | |
| Підкидання гральної кості | Випало два очки | |
| Огляд поштової скриньки | Виявлено три листи | |
| Створення низької температури | Вода перетворилася на лід | |
| Виконання пострілу | Влучено в ціль | |
| Охолоджування тіла | Його об’єм збільшився |
246.Відокремте події і випробування та запишіть результату таблицю:
А) тягнемо екзаменаційний білет, випадає білет № 3;
Б) дістаємо лампу з коробки, вона бракована;
В) набираємо навмання телефонний номер і чуємо голос знайомого;
Г) відкриваємо поштову скриньку і знаходимо лист;
Д) стріляємо і влучаємо в ціль.
| Випробування | Подія | |
| А | ||
| Б | ||
| В | ||
| Г | ||
| Д |
247.З’ясуйте, які із подій є вірогідними:
А – «два попадання при трьох пострілах»;
В– «навмання вибране трицифрове число не більше 1000»;
С – «випадання 12 очок при киданні двох гральних кубиків»;
D – «випадання цифри 3 при киданні монети»?
248.З’ясуйте, які із подій є неможливими:
А – «випадання 13 очок при киданні двох гральних кубиків»;
В – «поява слова «мама» при випадковому наборі букв а, а, м, м»;
С – «чотири попадання при трьох пострілах»;
D – «поява на одній грані грального кубика числа 8»?
249.Вкажіть вірогідні, випадкові і неможливі події, яку можуть відбутися при випробуваннях, записаних у таблиці
| № | Випробування | Випадкова подія | Вірогідна подія | Неможлива подія |
| 1. | Підкидання грального кубика | |||
| 2. | Підкидання монети | |||
| 3. | Витягування кулі зі скриньки, де є чорні та білі кулі | |||
| 4. | Витягування двох гральних карт | |||
| 5. | Два постріли по мішені |
250.З’ясуйте, чи утворюють повну групу такі групи подій:
А) Випробування – кидання монети; події:
- «поява герба»;
- «поява цифри».
Б) Випробування – кидання двох монет; події:
- «поява двох гербів»;
- «поява двох цифр».
В) Випробування – два постріли по мішені; події:
- «жодного попадання»;
- «одне попадання»;
- «два попадання».
Г) випробування – два постріли по мішені; події:
- «хоча б одне попадання»;
- «хоча б один промах».
Д) Випробування – витягування карти із колоди карт; події:
- «поява карти червової масті»;
- «поява карти бубнової масті»;
- «поява карти трефової масті»;
- «поява карти пікової масті»;
- «поява короля»;
- «поява дами».
251.З’ясуйте, чи є несумісними такі події:
А) Випробування – кидання монети; події:
- «поява герба»;
- «поява цифри».
Б) Випробування – два постріли по мішені; події:
- «жодного попадання»;
- «одне попадання»;
- «два попадання».
В) Випробування – кидання двох монет; події:
- «поява герба на першій монеті»;
- «поява цифри на другій монеті».
Г) Випробування – два постріли по мішені; події:
- «хоча б одне попадання»;
- «хоча б один промах».
Д) Випробування – витягування двох карт з колоди; події:
- «поява двох чорних карт»;
- «поява туза»;
- «поява дами».
252.З’ясуйте, чи є рівноможливими такі події:
А) Випробування – кидання монети; події:
- «поява герба»;
- «поява цифри».
Б) Випробування – кидання неправильної (зігнутої) монети; події:
- «поява герба»;
- «поява цифри».
В) Випробування – постріл по мішені; події:
- «влучення»;
- «промах».
Г) Випробування – кидання двох монет; події:
- «поява двох гербів»;
- «поява двох цифр»;
- «поява одного герба і однієї цифри».
Д) Випробування – витягування однієї карти із колоди; події:
- « поява карти червової масті»;
- «поява карти бубнової масті»;
- «поява карти трефової масті»;
- «поява карти пікової масті».
Є) Випробування – кидання грального кубика; події:
- «поява не менше трьох очок»;
- «поява не більше чотирьох очок».
253.З’ясуйте, чи утворюють простір елементарних подій такі події:
А) Випробування – кидання монети; події:
- «поява герба»;
- «поява цифри».
Б) Випробування – кидання двох монет; події:
- «поява двох гербів»;
- «поява двох цифр».
В) Випробування – кидання грального кубика; події:
- «поява не більше двох очок»;
- «поява трьох і чотирьох очок»;
- «поява не менше п’яти очок».
Г) Випробування – постріл по мішені; події:
- «влучення»;
- «промах».
Д) Випробування – два постріли по мішені; події:
- «жодного влучення»;
- «одне влучення»;
- «два влучення».
Є) Випробування – витягування двох карт із колоди; події:
- «поява двох червоних карт»;
- «поява двох чорних карт».
254.Наведіть приклади:
А) трьох подій, які утворюють простір елементарних подій (випадкових);
Б) трьох подій, рівноможливих і несумісних, але які не утворюють повної групи;
В) двох подій, рівноможливих і таких, що утворюють повну групу, але є сумісними.
255.Знайдіть імовірність того, що при підкиданні двох монет випаде два герба.
256.Серед 4000 перших чисел натурального ряду є 551 просте число. Знайдіть ймовірність того, що навмання взяте натуральне число від 1 до 4000 виявиться простим.
257.Серед 1000 новонароджених було 512 хлопчиків. Знайдіть ймовірність того, що навмання взята новонароджена дитина виявиться хлопчиком.
258.В скриньці 12 білих і 10 чорних кульок. Із скриньки навмання виймають одну кульку. Знайдіть ймовірність того, що ця кулька біла.
259.Уявіть собі, що в групі, в якій ти навчаєшся, розігрується одна безкоштовна туристична подорож до Парижу. З’ясуйте, яка ймовірність того, що в Париж поїдеш саме ти?
260.Щоб скласти іспит з математики, треба вивчити 25 білетів. Студент вивчив на відмінно 20 білетів. Знайдіть ймовірність того, що, відповівши на один білет, він отримає відмінну оцінку?
261.З’ясуйте, яка ймовірність того, що ваша майбутня дитина народиться:
А) 7 числа;
Б) 31 числа;
В) 29 числа?
262.В ящику 45 кульок, з яких 17 білих. Загубили дві не білі кульки. Вкажіть яка ймовірність того, що навмання узята кулька виявиться білою?
263.Вкажіть яка ймовірність того, що навмання узяте двоцифрове число ділиться на 12?
264.У загальноміському святі беруть участь 20 студентів з машинобудівного коледжу, 25 – з залізничного коледжу і 30 – з медичного коледжу. З’ясуйте, яка імовірність того, що студент, з яким ви познайомилися на святі, навчається в залізничному коледжі?
265.З 15 білетів, занумерованих від 1 до 15, навмання вибирають один. Вкажіть яка імовірність того, що номер взятого білета – це число, яке не ділиться ні на 2, ні на 3?
266.З натуральних чисел від 1 до 30 студент навмання називає одне. Вкажіть яка імовірність того, що це число є дільником числа 30?
267.Беруть навмання кісточку доміно. Вона виявилася не дублем. Знайдіть імовірність того, що другу, також узяту навмання кісточку доміно, можна прикласти до першої.
268.Набираючи номер телефону, абонент забув останню цифру і набрав її навмання. Знайдіть імовірність того, що номер набрано правильно. Розв’язати задачу для випадків, якщо остання цифра номера: а) парна; б) не більша від 6.
269.Гральний кубик підкинули один раз. Вкажіть яка імовірність подій: А – випало число, що є дільником числа 4; В – випало не менш ніж 5 очок; С – випало не менш ніж 4 очки; D – випало число, яке є квадратом натурального числа?
270.Вкажіть яка імовірність того, що в березні вибраного року буде п’ять неділь?
271.Маємо новий відривний календар не високосного року. Відриваємо в ньому один листок. Знайдіть імовірність того, що:
А) на листку число 1;
Б) на листку число 31;
С) число на листку ділиться на 3.
272.Знайдіть імовірність отримання дев’яти очок в досліді з двома киданнями грального кубика.
273.Учасники жеребкування беруть з ящика жетони з номерами від 1 до 100. Знайдіть імовірність того, що номер навмання вийнятого жетона не містить цифри 3?
274.Пасажир чекає трамвай 26 або 16 маршруту біля зупинки, де курсують трамваї чотирьох маршрутів: 16, 22, 26, 31. Вважаючи, що трамваї всіх маршрутів проходять однаково часто, знайдіть імовірність того, що перший трамвай, який підійде до зупинки, буде трамваєм потрібного для пасажира маршруту.
275.Із 30 студентів 10 мають спортивні розряди. Знайдіть імовірність того, що три вибрані навмання студенти будуть розрядниками?
276.На кожній із п’яти карток написана одна з літер Т, М, Р, О, Ш. Картки перемішують і розкладають у ряд. Знайдіть імовірність того, що утвориться слово «шторм»?
277.Кожну літеру, що входить у слово «помилка», виписано на окрему картку. Знайдіть імовірність того, що після ретельного перемішування і виймання навмання п’яти карток з них можна буде скласти слово «полка»?
278.У шаховому турнірі беруть участь 20 гравців, яких жеребкуванням поділяють на дві команди по 10 гравців. Знайдіть імовірність того, що 4 найсильніших гравці гратимуть по два у різних командах?
279.Кинуто два гральних кубики. Знайдіть імовірність того, що випадуть різні числа.
280.Знайдіть імовірність того, що у п’ятьох учнів немає спільних днів народження (прийняти, що рік має 365 днів).
281.В урні знаходиться 12 кульок: п’ять білих і сім чорних. Навмання виймають три кульки. Знайдіть ймовірність того, що серед вийнятих кульок:
1) всі три чорні;
2) дві чорні і одна біла;
3) одна чорна і дві білі;
4) всі три білі?
282.Набираючи номер телефону, абонент забув дві останні цифри і, пам’ятаючи лише, що ці цифри різні, набрав їх навмання. Знайдіть ймовірність того, що номер набрано правильно?
283.При грі в «Спортлото» на спеціальній карточці відмічається 6 номерів із 49. Під час тиражу визначаються 6 виграшних номерів. Знайдіть ймовірність вгадати рівно 3 виграшних номера?
284.З озера, де плавають 50 щук, виловили 7 щук, помітили їх і випустили в озеро. Другого разу виловили 12 щук. Знайдіть імовірність того, що серед 12 щук буде дві мічені?
285.Із 16 студентів, серед яких 4 дівчини, на вечір зустрічі без вибору запрошують трьох студентів. Знайдіть імовірність того, що серед запрошених буде одна дівчина?
286.У серії зі 100 виробі є 5 бракованих. Ії партії навмання вибирають 10 виробів. Знайдіть імовірність того, що серед цих 10 виробів буде 2 бракованих?
287.У ліфт 9-поверхового будинку на першому поверсі зайшли 6 чоловік. Знайдіть ймовірність того, що всі вийдуть на різних поверхах, якщо кожний з однаковою ймовірністю може вийти на будь-якому поверсі, починаючи з другого.
288.З 10 лотерейних білетів два виграшних. Знайдіть ймовірність того, що серед узятих будь-яких п’яти білетів:
1) один виграшний;
2) принаймні один виграшний?
289.9 пасажирів сідають у 3 вагони. Знайдіть ймовірність того, що:
1) у кожний вагон сяде по три пасажири;
2) в один з вагонів сядуть 4, у другий – 3 і в третій – 2 пасажири.
290.Знайдіть ймовірність того, що дні народження 12 чоловік припадають на різні місяці року.
291.Гральний кубик підкидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що:
1) у сумі випаде 6 очок;
2) у сумі випаде 7 очок;
3) за два кидки випаде однакова кількість очок;
4) за два кидки випаде різна кількість очок.
292.На десяти однакових картках написано цифри від 0 до 9. З цих карток навмання утворюють двоцифрове число. Знайдіть імовірність таких подій:
А – це число ділиться на 3;
В – це число є дільником числа 99;
С – це число ділиться на 11.
293.У мішку містяться кулі, помічені номерами від 1 до 90. З мішка навмання вибирають 5 куль. Знайдіть імовірність того, що серед вибраних куль буде куля № 90?
294.В урні є 80 номерів, записаних на картках. Кожний учасник лотереї платить 1 гривню і виймає з урни 5 карток. Перед вийманням він записує три задумані номери. Якщо серед вийнятих номерів є три задумані, то учасник виграє 500 гривень. З’ясуйте, чи виграшна ця лотерея для учасника?
295.Випадково взята кісточка доміно виявилася дупелем. Знайдіть імовірність того, що другу, також навмання взяту кісточку, можна приставити до першої?
до змісту
§ 32 Операції над подіями. Теореми про додавання і множення ймовірностей
Сумою подій А і В називається подія С, що полягає в здійсненні під час одиничного випробування або події А, або події В, або подій А і В одночасно.
Суму двох подій позначають так: С = А + В або .
Подія називається протилежною до події А, якщо вона відбувається тоді і тільки тоді, коли подія А не відбувається.
Добутком подій А і В називається подія С, що полягає в здійсненні одночасно обох подій А і В під час одиничного випробування.
Добуток подій позначають так: або , або .
Теорема
Якщо Ø, то . Дві події називаються незалежними, якщо ймовірність появи однієї з них не… ТеоремаВступ до статистики
Статистичне спостереження – це спланований, науково організований збір масових даних про соціально-економічні явища та процеси. Найпоширенішим серед видів статистичних спостережень є вибіркове… У результаті статистичного спостереження отримують матеріал, який характеризує окремі елементи сукупності. Після…– Конец работы –
Используемые теги: Циклова, комісія, математики, інформатики, обчислювальної, техніки0.087
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Циклова комісія математики, інформатики та обчислювальної техніки
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Реклама
Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право.
© copyright 1999 - 2024 allRefs.net. Все права защищены. Страница сгенерирована за: 0.234 сек.
Новости и инфо для студентов