МАТЕМАТИКА

Алгебра та початки аналізу

Частина ІІ

(електронний навчально-методичний посібник для самостійної роботи студентів

1-а курсу з дисципліни «Математика»)

Укладачі: О.А.Клинцова, викладач вищої категорії

Л.Ф.Зоркіна, викладач вищої категорії

 

Рекомендовано методичною Радою коледжу

Протокол ________від ___________________

Погоджено цикловою комісією математики, інформатики

та обчислювальної техніки

Протокол № від . .2012 р.

Голова комісії ____________Л.О.Якшина

 

 

Харків 2012

 

ББК 22.1 я 73

УДК 512.6 ( 075.8)

А - 45

 

 

Електронний навчально-методичний посібник для самостійної роботи студентів 1а курсу з дисципліни «Математика» ( розділ « Алгебра та початки аналізу». Частина ІІ).

Укл. Клинцова О.А., Зоркіна Л.Ф.- Харків.: ХМК, 2012.- 112с.

 

 

Рецензент: викладач вищої категорії, голова циклової комісії математики, інформатики та обчислювальної техніки Якшина Л.О.

 

 

Рекомендовано методичною Радою Харківського машинобудівного коледжу,

Протокол № ________від ______________2012р.

 

 

ББК 22.1я 73

© Харківський машинобудівний коледж

 

 

ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА

Електронний навчально-методичний посібник розроблено відповідно до навчальної програми дисципліни «Математика». Цей посібник є продовженням навчально-методичного посібника з алгебри для студентів 1-а курсу і охоплює такі розділи: «Тригонометричні функції числового аргументу», «Похідна функції та її застосування», «Інтеграл та його застосування», «Елементи теорії ймовірностей та математичної статистики».

Специфікою посібника порівняно з нормативними підручниками є орієнтація на самостійну роботу під контролем викладача.

Відомо, що при самостійному розв’язуванні задач більшість студентів потребують постійних консультацій щодо способів і методів їх розв’язування, оскільки знайти шлях до розв’язування задачі без допомоги викладача або відповідного посібника студенту не під силу. Такі консультації студент може знайти у цьому посібнику на початку кожного параграфа.

Кожна тема закріплюється вправами, різними за вимогами та складністю.

Спочатку вміщено завдання спрямувального характеру, потім складніші, тренувальні, завдання, які потребують ретельної самоперевірки або контролю з боку викладача.

Система вправ побудована так, що вона повністю охоплює закріплення і перевірку засвоєння теоретичного матеріалу та практичне його застосування, сприяє формуванню обчислювальних навичок.

Посібник пропонується студентам загальноосвітнього курсу для роботи на аудиторних заняттях та самостійної роботи дома, а також усім, хто хоче вдосконалити свої знання з названих тем.

Зміст

Передмова……………………………………………………………………………...3

Розділ І. Тригонометричні функції числового аргументу

§ 1. Радіанна міра вимірювання кутів………………………………………………..5

§ 2. Тригонометричні функції числового аргументу………………………………..6

§ 3. Властивості тригонометричних функцій………………………………………10

§ 4 Основні тригонометричні тотожності………………………………………….12

§ 5. Формули зведеня………………………………………………………………...14

§ 6. Основні формули тригонометрії……………………………………………….17

§ 7. Властивості та графіки тригонометричних функцій………………………….21

§ 8. Обернені тригонометричні функції……………………………………………26

§ 9. Розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь………………………29

§ 10. Розв’язання тригонометричних рівнянь……………………………………...32

§ 11 Розв’язання тригонометричних нерівностей…………………………………36

Розділ ІІ. Похідна функції та її застосування

§ 12. Приріст функції в точці. Похідна функції та її механічний зміст…………..39

§ 13. Похідна степеневої функції…………………………………………………...41

§ 14. Похідна суми, різниці, добутку та частки двох функцій……………………42

§ 15. Похідна складної функції……………………………………………………...46

§16. Похідні тригонометричних функцій…………………………………………..47

§ 17. Похідна показникової функції………………………………………………...48

§ 18. Похідна логарифмічної функції………………………………………………49

§ 19. Геометричний зміст похідної…………………………………………………50

§ 20. Похідні вищих порядків……………………………………………………….52

§ 21. Диференціал функції і його застосування до наближених обчислень……..53

§ 22. Ознака сталості, зростання та спадання функції…………………………….55

§ 23. Екстремум функції………………………………………………......................56

§ 24. Побудова графіків функцій……………………………………………………58

§ 25. Найменше та найбільше значення функції…………………………………..59

Розділ ІІІ. Інтеграл та його застосування

§ 26. Первісна функції. Невизначений інтеграл та його властивості…………….62

§ 27. Визначений інтеграл та його властивості…………………………………….66

§ 28. Площа криволінійної трапеції………………………………………………...72

§ 29. Застосування визначеного інтеграла при розв’язанні фізичних задач……..76

Розділ ІV. Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики

§ 30. Елементи комбінаторики……………………………………………………...80

§ 31. Основні поняття теорії ймовірностей………………………………………...86

§ 32. Операції над подіями. Теореми про додавання і множення ймовірностей...96

§ 33. Дискретні випадкові величини………………………………………………103

§ 34. Вступ до статистики………………………………………………………….106

Розділ 1

Тригонометричні функції числового аргументу

§1 Радіанна міра вимірювання кутів

Кут можна розглядати як фігуру, утворену обертанням променя навколо своєї початкової точки О. Промінь можна обертати навколо своєї початкової точки у двох напрямах: за годинниковою стрілкою і проти годинникової стрілки. Напрям обертання проти годинникової стрілки умовно називають додатним, а за годинниковою стрілкою – від’ємним. Відповідно до цього кути і дуги, отримані обертанням променя проти годинникової стрілки, вважаються додатними, а кути і дуги, отримані обертанням променя за годинниковою стрілкою, вважаються від’ємними.

Кути вимірюються в градусах і радіанах. Кут у 1 градус – це кут, що опише промінь, зробивши частину повного оберту навколо своєї початкової точки проти годинникової стрілки (позначається ). частина градуса називається хвилиною (позначається ). частина хвилини називається секундою (позначається ).

Кут в 1 радіан – це центральний кут, який спирається на таку дугу кола, довжина якої дорівнює радіусу цього кола.

рад; рад = ;

рад; рад;

1.Виразіть у радіанах величини кутів: .

2. Виразіть у градусах величини кутів: .

3. Колесо машини за 0,5хв. повертається на кут . Знайдіть його кутову швидкість у радіанах за секунду.

4. Зубчате колесо повертається за 0,2хв. на кут . Знайдіть його кутову швидкість у радіанах за секунду.

5. Шліфувальний круг повертається за 0,1хв. на кут . Знайдіть його кутову швидкість у радіанах за секунду.

6. Зубчате колесо має 100 зубців. Знайдіть в радіанах кут повороту колеса, якщо воно повернулося на 40 зубців.

7.Зубчате колесо має 90 зубців. Знайдіть в радіанах кут повороту колеса, якщо воно повернулося на 50 зубців.

8. Зубчате колесо має 50 зубців. Знайдіть в радіанах кут повороту колеса, якщо воно повернулося на 35 зубців.

до змісту

§2 Тригонометричні функції числового аргументу

Тригонометричним колом називається коло центр якого знаходиться у початку координат, а радіус дорівнює одиниці. Осі абсцис (Ох) і ординат (Оу) ділять одиничне коло на чотири чверті(І – IV), або чотири квадранта. Відзначимо на осі Ох справа від початку координат точку , яка лежить на тригонометричному колі: . Радіус називається початковим радіусом. При повороті початкового радіуса біля центра О на кут точка переходить в деяку точку .

рис.1

Синусом кута називається відношення ординати точки до радіусу, а косинусом кута називається відношення абсциси точки до радіусу. Оскільки , то , а .

Оскільки координати будь-якої точки одиничного кола задовольняють рівнянню кола, то . Співвідношення називаєтьсяосновною тригонометричною тотожністю.

Тангенсом кута називається відношення ординати точки до її абсциси: .

Котангенсом кута називається відношення абсциси точки до її ординати: .

Секансом кута називається величина, обернена , тобто .

Косекансом кута називається величина, обернена , тобто .

Знаки тригонометричних функцій , , , у різних чвертях подано у табл. 1

Таблиця 1

	І	ІІ	ІІІ	ІV
	+	+	-	-
	+	-	-	+
	+	-	+	-
	+	-	+	-

Зобразимо таблицю значень тригонометричних функцій деяких кутів, які найбільш часто використовуються на практиці (табл. 2).

Таблиця 2

	0						-1
						-1

 

9.На тригонометричному колі побудуйте кут повороту, що дорівнює: .

10. Визначить, кутом якої чверті є кут , якщо кут дорівнює: .

11. Серед кутів повороту знайдіть такі, при яких початковий радіус-вектор займе таке саме положення, як і при повороті на кут:

1)

2) .

12.Позначте на одиничному колі точки, які відповідають числам:

1) , де ;

2) , де .

13.Одиничний радіус-вектор при поверненні на кут має координати . Знайдіть .

14. Одиничний радіус-вектор при поверненні на кут має координати . Знайдіть .

15.Обчисліть:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

16.Знайдіть значення виразу:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

17.Знайдіть найбільше та найменше значення виразу:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

18.Визначить знак виразу:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) .

до змісту

§3 Властивості тригонометричних функцій

Оскільки точки, які відповідають кутам і є симетричними відносно осі абсцис (Ох), то абсциси цих точок співпадають , ординати є протилежними. Це значить, що , , тобто функція є парною, а – непарною.

Розглянемо інші тригонометричні функції:

, звідси , тобто функція є непарною.

, звідси , тобто функція є непарною.

Для періодичної функції виконується рівність , де Т – відмінне від нуля число, назване періодом функції. Кожна періодична функція має велику кількість періодів, тобто якщо Т – період, то – період, де . Найменший додатний період функції називається основним періодом. Основними періодами для тригонометричних функцій є: для функцій і ; для функцій і . У більш загальному вигляді можемо записати:

; ;

; .

Якщо кути виражати в радіанах, то можна сказати, що основні періоди функцій і , а основні періоди функцій і .

19.Знайдіть значення виразу:

1) ; 2) ;

3) 4) ;

5)

6) .

20.Обчисліть:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) .

21.Знайдіть найменший додатний період функцій:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

22.Знайдіть значення , якщо:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

до змісту

§4 Основні тригонометричні тотожності

Крім тотожності ,основними тригонометричними тотожностями називаються також співвідношення :

, ,

, , ,

, ,

, ,

, .

У формулах , знаки « + » або « - » вибираються в залежності від того, у якій чверті закінчується кут . Так, якщо закінчується в І або ІІ чверті, то беремо знак « + », а якщо в ІІІ або ІV чверті, то знак « - » у формулі . У формулі для кутів, що закінчуються в І або ІV чвертях, потрібно взяти знак « + », а якщо кути закінчуються в ІІ або ІІІ чвертях, то знак « - ».

23.Обчисліть значення тригонометричних функцій кута , якщо відомо, що:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

24.Спростіть: вирази:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) .

При доведенні тотожностей звичайно використовують такі способи:

1) вираз, який стоїть в одній частині тотожності, за допомогою тотожних перетворень приводять до виразу, який стоїть в іншій частині тотожності;

2) вираз, який стоїть у лівій і вираз, який стоїть у правій частинах тотожності, приводять до одного і того ж виду;

3) доводять, що різниця між лівою і правою частинами тотожності дорівнює нулю.

25.Доведіть тотожності:

1) ; 2) ;

3) 4)

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

26.Спростіть вирази:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

до змісту