Формули зведення

Формулами зведення називаються співвідношення, за допомогою яких значення тригонометричних функцій аргументів , , , виражаються через значення , , , .

При застосування формул зведення можна користуватися такими правилами:

1) якщо у формулах містяться кути і , то назва функції не змінюється; якщо ж у формулах містяться кути і , то назва функції змінюється на подібну (синус – на косину, тангенс – на котангенс і навпаки);

2) щоб визначити знак у правій частині формули («+», або «-»), досить, вважаючи кут гострим, визначити знак виразу, який стоїть у лівій частині формули; при цьому перед функцією кута ставлять такий знак, який має зведена функція кутів , , , .

Наприклад, ; .

27.Зведіть до тригонометричних функцій кута :

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

28. Зведіть до тригонометричних функцій кутів першої чверті:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

23) ; 24) .

29. Обчисліть:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

30.Знайдіть значення виразу:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

31.Спростіть вирази:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

32*.Доведіть тотожність:

1) ;

2) .

до змісту

§6 Основні формули тригонометрії

Виділяють такі основні групи тригонометричних формул:

1. Основні співвідношення між тригонометричними функціями того самого аргументу (див. §4).

2. Формули додавання аргументів:

;

;

;

.

3. Формули подвійного і потрійного аргументів:

;

;

;

;

;

.

4. Формули зниження степеня:

; .

5. Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму

; ;

.

6. Формули перетворення суми і різниці однойменних тригонометричних функцій у добуток:

;

; ;

; .

7. Формули тригонометричних функцій половинного аргументу:

; ;

; .

33.Спростіть вирази:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) .

34.Доведіть тотожність:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

35.Знайдіть:

1) ; 2) ;

2) ; 4) ;

3) ; 6) .

36.. Знайдіть .

37. . Знайдіть .

38. Знайдіть значення виразу:

1) ; 2) ;
3) ; 4) ;

5) ; 6) .

39.Спростіть вирази:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) .

40.Перетворіть на добуток:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) .

41.Доведіть тотожність:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

 

 

до змісту

§7 Властивості та графіки тригонометричних функцій

Властивості та графік функції

1. Область визначення – уся числова пряма, тобто ;

2. Область значень – відрізок , тобто ;

3. Функція – непарна, тобто ; графік симетричний відносно початку координат;

4. Функція періодична з основним періодом ;

5. Нулі функції: при , ;

6. Інтервали знакосталості:

А) , якщо , ;

Б) , якщо , ;

7. Інтервали зростання й спадання:

А) Функція зростає на проміжках , ;

Б) Функція спадає на проміжках , ;

8. Екстремуми функції:

А) при , ;

Б) при , ;

9. Функція є обмеженою, .

Графік функції називається синусоїдою, він показаний на рис. 2.

Рис. 2

Властивості та графік функції

1. Область визначення – уся числова пряма, тобто ;

2. Область значень – відрізок , тобто ;

3. Функція – парна, тобто ; графік симетричний щодо осі Оу;

4. Функція періодична з основним періодом ;

5. Нулі функції: при , ;

6. Інтервали знакосталості:

А) , якщо , ;

Б) , якщо , ;

7. Інтервали зростання і спадання:

А) Функція зростає на проміжках , ;

Б) Функція спадає на проміжках , ;

8. Екстремуми функції:

А) при , ;Б) при , ;

9. Функція є обмеженою, .

Графік функції називається косинусоїдою, він показаний на рис. 3.

Рис. 3

Властивості та графік функції

1. Область визначення – множина усіх дійсних чисел, крім чисел виду , , тобто , ;

2. Область значення – вся числова пряма, тобто ;

3. Функція – непарна, тобто , графік симетричний відносно початку координат;

4. Функція періодична з основним періодом ;

5. Нулі функції при , ;

6. Інтервали знакосталості:

А) , якщо , ;

Б) , якщо , ;

7. Інтервали зростання і спадання: функція зростає на проміжках , ;

8. Функція екстремумів не має;

9. Функція не обмежена.

Графік функції називається тангенсоїдою, він показаний на рис. 4.

Прямі , називаються вертикальними асимптотами графіка функції

Рис. 4

Властивості та графік функції

1. Область визначення – множина усіх дійсних чисел, крім чисел виду , , тобто , ;

2. Область значень – вся числова пряма, тобто ;

3. Функція – непарна, тобто , графік симетричний відносно початку координат;

4. Функція періодична з основним періодом ;

5. Нулі функції: при , ;

6. Інтервали знакосталості:

А) , якщо , ;

Б) , якщо , ;

7. Інтервали зростання і спадання : функція спадає на проміжках , ;

8. Функція екстремумів не має;

9. Функція необмежена.

Графік функції називається котангенсоїдою, він показаний на рис. 5. Прямі , називаються вертикальними асимптотами графіка функції .

Рис. 5

42.Побудуйте графіки функцій:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

43.Використовуючи властивості функцій порівняйте числа:

1) і ; 2) і ;

3) і ; 4) і ;

5) і ; 6) і ;

7) і ; 8) і ;

9) і ; 10) і ;

11) і ; 12) і .

44.Розташуйте числа у порядку зростання:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

45.Побудуйте графік функції на проміжку та знайти:

1) значення , якщо ;

2) значення , якщо ;

3) проміжок, де функція спадає.

46.Побудуйте графік функції на проміжку та знайти:

1) значення , якщо ;

2) значення , якщо ;

3) проміжок, на якому функція зростає.

47.Побудуйте графік функції на проміжку та знайти:

1) значення , якщо ;

2) значення , якщо ;

3) проміжок, на якому функція спадає.

48.Побудуйте графік функції на проміжку та знайти:

1) значення , якщо ;

2) значення , якщо ;

3) проміжок, на якому функція зростає.

49.Побудуйте графіки функцій:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

до змісту

§8 Обернені тригонометричні функції

Функції, обернені функціям , , , на відповідних інтервалах, називаються оберненими тригонометричними.

Тригонометричні функції і не є монотонними на всій області їх визначення. Тому для утворення обернених функцій виділяють інтервали монотонності.

Функція на відрізку зростає і набуває всіх значень з відрізка . Тому функція на відрізку оборотна, тобто має обернену функцію, що називається арксинусом і позначається . Таким чином, арксинусом числа називається кут з відрізка такий, що .

Наприклад, , .

.

Наприклад, .

Функція спадає на відрізку і набуває всіх значень з відрізка . Тому функція на відрізку оборотна, тобто має обернену функцію, що називається арккосинусом і позначається . Таким чином, арккосинусом числа називається такий кут , що .

.

Наприклад, , .

Функція на інтервалі зростає і набуває всіх числових значень, оскільки . Тому функція на інтервалі оборотна, тобто має обернену функцію, що називається арктангенсом і позначається . Таким чином, арктангенсом числа такий кут , що .

.

Наприклад, .

Функція на інтервалі спадає і набуває усіх числових значень, оскільки . Тому функція на інтервалі оборотна, тобто має обернену функцію, що називається арккотангенсом і позначається . Таким чином, арккотангенсом числа називається такий кут , що .

.

Наприклад, .

50.Знайдіть:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) .

51.Знайдіть значення виразу:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

52.Обчисліть:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

53.Доведіть тотожності:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

54.Перевірте, чи вірна рівність:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

до змісту

§9 Розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь

Рівняння називаються тригонометричними, якщо невідома величина знаходиться під знаком тригонометричних функцій. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння , , , . Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння – означає знайти множину всіх кутів, що мають дане значення тригонометричної функції.

Розглянемо розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь:

 

 

 

 

 

55.Розв’яжіть рівняння:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

56.Розв’яжіть рівняння:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

57.Розв’яжіть рівняння:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) .

58.Розв’яжіть рівняння:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14)

 

 

до змісту

§ 10 Розв’язання тригонометричних рівнянь

Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

Деякі тригонометричні рівняння шляхом тотожних перетворень можна привести до рівняння з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до квадратного.

Приклад 1.Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Нехай , тоді .

Звідси , .

Оскільки , то , .

Оскільки , то , .

Відповідь: ; ; .

Приклад 2.Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Замінивши на , матимемо:

 

Нехай , тоді .

Звідси , .

Оскільки , то рівняння розв’язків немає.

Оскільки , то ,

Отже

Відповідь:

Приклад 3.Розв’язати рівняння ,

Розв’язання

, .

Нехай , тоді , , .

Маємо: 1) , .

2) , .

Відповідь: .

59.Розв’яжіть рівняння:

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) , 8) ,

9) , 10) ,

11) , 12) .

13) , 14) ,

15) , 16) .

Багато тригонометричних рівнянь, права частина яких дорівнює 0, розв’язуються розкладанням їхньої лівої частини на множники.

Приклад 1.Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Врахувавши, що , матимемо:

 

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Тому:

1) .

2) .

Відповідь: .

Приклад 2.Розв’язати рівняння .

Розв’язання

 

;

.

1) .

2) .

Відповідь: .

60.Розв’яжіть рівняння:

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) , 8) ,

9) , 10) ,

11) , 12) ,

13) , 14) ,

15) , 16) .

Рівняння виду , де і не дорівнюють нулю, називається однорідним рівнянням 1-го степеня.

Значення , при яких дорівнює нулю, не задовольняє даному рівнянню, бо тоді і теж дорівнював би нулю. Тому можна розділити обидві частини рівняння на . Маємо:

 

 

Рівняння виду: називається однорідним рівнянням 2-го степеня.

Якщо числа не дорівнюють нулю, то розділимо дане рівняння на (або на ). У даному рівнянні , бо в супротивному випадку теж дорівнював би нулю. Тоді

 

61.Розв’яжіть рівняння:

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) , 8)

9) , 10) ,

11) , 12) ,

13) , 14) .

62.Розв’яжіть рівняння

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

до змісту

§ 11 Розв’язання тригонометричних нерівностей

Тригонометричними нерівностями називаються нерівності, у яких змінна знаходиться під знаком тригонометричної функції.

Рис. 6

Таблиця 3

			Розв’язків немає
	Розв’язків немає

Рис. 7

 

Таблиця 4

			Розв’язків немає
	Розв’язків немає

Таблиця 5

63.Розв’яжіть нерівність:

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) , 8) ,

9) , 10) ,

11) , 12) ,

13) , 14) ,

15) , 16) .

64.Розв’яжіть нерівність:

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) , 8) ,

9) , 10) ,

11) , 12) .

65.Розв’яжіть нерівність:

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) , 8) .

66.Розв’яжіть нерівність:

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) , 8) .

 

 

до змісту

Розділ 2

Похідна функції та її застосування

§ 12 Приріст функції в точці. Похідна функції та її механічний зміст

Поняття похідної – фундаментальне поняття математичного аналізу, за допомогою якого досліджують процеси і явища в природничих, соціальних і економічних науках. Вивчення різних процесів (механічного руху, хімічних реакцій, розширення рідини при нагріванні, значення електричного струму та ін.) приводять до необхідності обчислення швидкості зміни різних величин, тобто до поняття похідної.

Нехай задано функцію на деякому проміжку. Візьмемо довільну внутрішню точку даного проміжку, надамо аргументу довільного приросту (число може бути як додатним, так і від’ємним), але такого, щоб точка належала даному проміжку, тоді приростом функції називається різниця .

Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції в цій точці до приросту аргументу при умові, що приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто

.

Щоб знайти похідну функції за означенням треба:

1) незалежній змінній надати приросту ;

2) знайти приріст функції - ;

3) знайти відношення ;

4) знайти .

Приклад 1.Знайти похідну функції в точці .

Розв’язання

1) незалежній змінній надаємо приросту ;

2) знаходимо приріст функції

3) знаходимо відношення

4) знаходимо границю

Таким чином , а .

Відповідь: 12

Приклад 2.Знайти похідну функції .

Розв’язання

1) незалежній змінній надаємо приросту ;

2) знаходимо приріст функції

3) знаходимо відношення

4) знаходимо границю

 

Відповідь: .

Якщо матеріальна точка рухається прямолінійно, нерівномірно і її координата змінюється за законом , то миттєва швидкість цієї точки в момент часу дорівнює похідній :

.

В цьому полягає механічний (фізичний) зміст похідної.

67.Знайдіть приріст функції в точці , якщо задано приріст аргументу :

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

68.Знайдіть , якщо:

1) ; 2) .

69.Користуючись означенням похідної, знайдіть похідну функції , якщо:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

70.Точка рухається за законом (м). Знайдіть швидкість руху точки в момент часу с.

71. Знайдіть миттєву швидкість руху точки, якщо:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

72.Точка рухається прямолінійно за законом ( - шлях в метрах, - час в секундах). Обчисліть швидкість руху точки:

1) в момент часу ; 2) в момент часу с.

73.Рух точки відбувається за законом . З’ясуйте, у який момент часу швидкість руху дорівнює: 1) 0; 2) 10?

до змісту

§ 13 Похідна степеневої функції

Наприклад,

; ; ; ;

; .

74.Знайдіть похідні функцій:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) .

до змісту

§14 Похідна суми, різниці, добутку та частки двох функцій

Правила диференціювання

Приклад 1.; Знайти .

Розв’язання

.

Приклад 2. ;Знайти .

Розв’язання

;

.

Приклад 3.; Знайти .

Розв’язання

 

Приклад 4.; Знайти .

75.Знайдіть похідні функцій:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

76.Знайдіть похідні функцій:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

77.Знайдіть похідні функцій:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

78.Знайдіть значення похідної функції в точці :

1) , ; 2) , ;

3) , ; 4) , ;

5) , ; 6) , .

79.Знайдіть похідні функцій:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

80. Знайдіть похідні функцій:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

81.Знайдіть значення похідної функції при заданому значенні аргументу :

1) 2)

3) 4)

82.З’ясуйте, чи вірна рівність: , якщо , ?

83. З’ясуйте, чи вірна рівність: , якщо , ?

84. Розв’яжіть нерівність , якщо , .

85. З’ясуйте, при яких значеннях аргументу дорівнює нулю похідна функції ?

86. Точка рухається прямолінійно за законом (час вимірюється в секундах, переміщення - метрах). Знайдіть швидкість руху точки в момент часу с.

87. Обертання тіла навколо осі відбувається за законом . Знайдіть, в який момент часу тіло зупиниться ( - час у секундах, - кут оберту в радіанах).

88. Тіло масою 5кг рухається за законом . Знайдіть кінетичну енергію тіла та силу, яка діє на нього в момент часу ( вимірюється в секундах, - в метрах).

 

 

до змісту

§15 Похідна складеної функції

Приклад 1.. Знайти .

Розв’язання

.

Приклад 2. . Знайти.

Розв’язання

.

89.Знайдіть похідні заданих функцій:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) .

90.Обчисліть значення похідної даної функції в точці :

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

до змісту

§ 16 Похідні тригонометричних функцій

91.Знайдіть похідні функцій:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

92.Знайдіть похідні функцій:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

93.Обчисліть значення похідної даної функції в точці :

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

94.Розв’яжіть рівняння , якщо , .

95. З’ясуйте, при яких значеннях похідна функції додатна?

96. З’ясуйте, при яких значеннях похідна функції від’ємна?

до змісту

§ 17 Похідна показникової функції

97.Знайдіть похідні функцій:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

23) ; 24) ;

25) ; 26) ;

27) ; 28) ;

29) ; 30) ;

31) ; 32) .

98.Обчисліть значення похідної даної функції в точці :

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

99.Розв’яжіть нерівність , якщо:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

до змісту

§ 18 Похідна логарифмічної функції

100.Знайдіть похідні функцій:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

23) ; 24) ;

25) ; 26) ;

27) ; 28) .

101.Обчисліть значення похідної даної функції в точці :

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

102.Розв’яжіть нерівність , якщо .

до змісту

§ 19 Геометричний зміст похідної

Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці з абсцисою дорівнює значенню похідної цієї функції обчисленої в точці :

.

Рівняння дотичної до кривої в точці М має вигляд:

.

103.Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка даної функції в точці :

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

104.Складіть рівняння дотичної до графіка даної функції в точці :

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) .

105.Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції в точці перетину цього графіка з віссю ординат.

106. Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції в точці перетину його з віссю абсцис.

107. Знайдіть абсцису точки графіка функції , в якій дотична до цього графіка паралельна до прямої .

108. Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції , яка паралельна до прямої .

109. Знайдіть рівняння горизонтальних дотичних до графіка функції .

110. Знайдіть, в якій точці графіка функції дотична до нього нахилена до осі абсцис під кутом .

111. З’ясуйте, під якими кутами парабола перетинає вісь абсцис?

112. Обчисліть площу трикутника, утвореного осями координат і дотичною до графіка функції в точці з абсцисою .

113. Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції , яка проходить через точку М(0; 1).

114. З’ясуйте, при яких значеннях і парабола дотикається прямої в точці з абсцисою ?

до змісту

§ 20 Похідні вищих порядків

Якщо тіло рухається прямолінійно і нерівномірно за законом , то його прискорення в будь який момент часу обчислюється за формулою:

 

115.Знайдіть другу похідну функції:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) .

116.Обчисліть значення другої похідної даної функції в точці :

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ; .

117.Точка рухається прямолінійно за законом (м). Знайдіть її прискорення в кінці другої секунди.

118. Дві точки рухаються прямолінійно за законами: (м), (м). З’ясуйте, в який момент часу точки будуть мати однакові прискорення?

119. Знайдіть прискорення точок, які рухаються прямолінійно за вказаними законами, у задані моменти часу :

1) ; 2) , .

120.У момент часу знайдіть швидкість і прискорення точки, яка рухається прямолінійно за законом:

1) ; 2) .

 

до змісту

§ 21 Диференціал функції і його застосування до наближених обчислень

 

121.Знайдіть диференціали заданих функцій:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

122.Знайдіть наближене значення приростів функції:

1) при і ; 2) при і ;

3) при і ; 4) при і .

123.Знайдіть наближені значення функцій:

1) при ; 2) при ;

3) при ; 4) при .

124.Знайдіть наближені значення виразів:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

23) ; 24) ;

25) ; 26) .

до змісту

§ 22 Ознака сталості, зростання та спадання функції

Функція називається зростаючоюв проміжку , якщо для будь-яких і , що належать до цього проміжку, і таких, що справджується нерівність .

Функція називається спадноюв проміжку , якщо для будь-яких і , що належать до цього проміжку, і таких, що справджується нерівність .

Як зростаючі, так і спадні функції називаються монотонними, а проміжки, в яких функція зростає або спадає, - проміжками монотонності.

Зростання і спадання функції характеризується знаком її похідної: якщо в деякому проміжку , то функція зростає в цьому проміжку; якщо ж , то функція спадає в цьому проміжку.

Внутрішні точки області визначення функції , в яких похідна дорівнює нулю () або зазнає розриву, називаються критичнимиточками.

Знаходження проміжків монотонності функції можна виконувати за таким планом:

1) Знайти область визначення заданої функції;

2) Знайти похідну ;

3) Знайти критичні точки функції ;

4) Нанести критичні точки на область визначення функції;

5) Визначити знак похідної на кожному з отриманих проміжків;

6) Виписати проміжки монотонності функції.

125. Дослідіть функції на монотонність:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

23) ; 24) .

126.Доведіть, що функція зростає на множині всіх дійсних чисел.

127.Доведіть, що функція спадає на проміжку .

128.Знайдіть, при яких значеннях параметра зростає на функція:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

до змісту

§ 23 Екстремум функції

Точка з області визначення функції називається точкою мінімуму цієї функції, якщо існує такий - окіл точки , що для всіх з цього околу виконується нерівність .

Точка з області визначення функції називається точкою максимуму цієї функції, якщо існує такий - окіл точки , що для всіх з цього околу виконується нерівність .

Точки мінімуму і максимуму функції називаються точками екстремуму даної функції, а значення функції в цих точках – мінімумомі максимумом(або екстремумами)функції.

Точками екстремуму можуть бути тільки критичні точки функції. Якщо при переході через критичну точку похідна змінює знак, то функція має в точці екстремум: мінімум тоді, коли похідна змінює знак з мінуса на плюс, і максимум, - коли з плюса на мінус. Якщо ж при переході через критичну точку похідна не змінює знака, то функція в точці не має екстремуму.

Правило знаходження екстремумів функції

1.Знайти область визначення функції;

2.Знайти похідну функції ;

3.Знайти критичні точки функції;

4.Нанести критичні точки на область визначення функції;

5.Визначити знак похідної на кожному з отриманих проміжків;

6.Визначити наявність та характер точок екстремуму;

7.Обчислити значення функції в точках екстремуму.

129.Дослідіть на екстремум такі функції:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) .

130.Дослідіть функції на монотонність та екстремум:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) .

131.З’ясуйте, при яких значеннях параметра функція :

1) не має критичних точок;

2) не має екстремумів.

 

до змісту

§ 24 Побудова графіків функцій

Загальна схема для побудови графіків функцій

1.Знайти область визначення функції;

2.З’ясувати, чи не є функція парною, непарною або періодичною;

3.Знайти точки перетину графіка з осями координат;

4.Дослідити функцію на неперервність;

5.Дослідити функцію на монотонність та екстремум;

6.Побудувати графік, використовуючи знайдені результати дослідження.

132.Дослідіть функції та побудуйте їхні графіки:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) .

до змісту

§ 25 Найменше та найбільше значення функції

Для знаходження найменшого і найбільшого значень функції , неперервної на деякому відрізку , необхідно:

1.Знайти критичні точки, які належать цьому відрізку, і обчислити значення функції в цих точках;

2.Знайти значення функції на кінцях відрізку, тобто числа і ;

3.Порівняти знайдені значення; тоді найменше і найбільше з них є відповідно найменшим і найбільшим значенням функції в розглядуваному проміжку.

133.Знайдіть найбільше і найменше значення заданих функцій на заданих проміжках:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

134.З’ясуйте, на яку множину функція відображує відрізок ?

135.Знайдіть найбільше та найменше значення функції на відрізку .

При розв’язуванні деяких задач потрібно знаходити найбільше або найменше значення функції не на відрізку, а на інтервалі. В практичних задачах функція має на заданому інтервалі тільки одну стаціонарну точку: або точку максимуму, або точку мінімуму. У цих випадках у точці максимуму функція приймає найбільше значення, а в точках мінімуму – найменше значення на даному інтервалі.

Наприклад. Знайти найменше значення функції , де .

Розв’язання

Знайдемо похідну . Стаціонарні точки і . На інтервалі є тільки одна стаціонарна точка . При переході -

через цю точку похідна змінює знак з «-» на «+», і тому - точка мінімуму. Отже, найменше значення функції дорівнює .

136.Число 20 запишіть у вигляді суми двох невід’ємних доданків так, щоб добуток їхніх квадратів був найбільшим.

137.Число 36 запишіть у вигляді добутку двох додатних чисел, сума яких найменша.

138.Знайдіть додатне число, потроєний квадрат якого більше подвоєного куба цього числа на найбільше значення.

139.Знайдіть додатне число, потроєний квадратний корінь якого більше цього числа на найбільше значення.

140.Серед прямокутників, що мають периметр 20см, знайдіть той, діагональ якого найменша.

141.Із усіх прямокутників, площа яких дорівнює 9см , знайдіть прямокутник з найменшим периметром.

142.Парканом довжиною 80м треба огородити прямокутну ділянку найбільшої площі. Знайдіть розміри ділянки.

143.Із усіх рівнобедрених трикутників з периметром знайдіть трикутник з найбільшою площею.

144.У рівнобедрений трикутник, кут при основі якого дорівнює , вписано коло радіусу . Знайдіть площу трикутника. З’ясуйте, при якому значенні площа трикутника буде найменшою?

145.Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює , а гострий кут - . Діагональ трапеції перпендикулярна до бічної сторони. Знайдіть площу трапеції. При якому значенні площа трапеції буде найбільшою?

146.У півкруг радіуса впишіть прямокутник найбільшої площі.

 

до змісту

Розділ 3

Інтеграл та його застосування

§ 26 Первісна функції. Невизначений інтеграл та його властивості

Функція називається первісноюдля функції на деякому проміжку, якщо для всіх із цього проміжку виконується рівність:

.

Якщо функція є первісною для на деякому проміжку, то для довільної постійної функція також є первісною для функції і будь-яка первісна для функції на цьому проміжку має вигляд , де - довільна стала (число).

Сукупність усіх первісних для функції на проміжку називають невизначеним інтеграломцієї функції і позначають .

Таким чином: .

Основні властивості невизначених інтегралів