Математика

	Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Башкирский государственный аграрный университет»

 

Кафедра математики

 

Математика

 

Методические указания к выполнению контрольной работы № 2

 

Для направлений бакалавриата:

110800 Агроинженерия

Профиль:

Технологические системы в агробизнесе

Технический сервис в агропромышленном комплексе

Электрооборудование и электротехнологии

 

Уфа 2012

 

00УДК 51(07)

ББК 22.1я73,22.161.6

М 54

Рекомендовано к изданию методической комиссией механического факультета (протокол № 9 от 27 июля 2012 года ) и заседанием кафедры математики (протокол № 7 от 10 апреля 2012 года)

 

Составители: доцент Лукманов Р.Л., доцент Каптелинина Ф.И.

 

 

Рецензент: доцент кафедры физики Юмагужин Р.Ю.

 

Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики доцент Лукманов Р.Л.

Оглавление

Введение 4

1 Производная функции 5

1.1 Вопросы для самопроверки 7

2 Приложение производной к исследованию функции

и построению ее графика 8

2.1 Вопросы для самопроверки 10

3 Неопределенный интеграл 10

3.1 Метод замены переменного 11

3.2 Интегрирование по частям 12

3.3 Интегрирование выражений, содержащих

квадратный трехчлен 14

3.4 Интегрирование рациональных дробей 17

3.5 Вопросы для самопроверки 22

4 Определенный интеграл 22

4.1 Основные свойства определенного интеграла 23

4.2 Правила вычисления определенного интеграла 23

4.3 Приложения определенного интеграла 25

4.3.1 Вычисление площадей плоских фигур 25

4.3.2 Вычисление объемов тел вращения 26

4.3.3 Вычисление длины дуги кривой 26

4.4 Вопросы для самопроверки 27

5 Индивидуальные задания для контрольной работы №2 27

Библиографический список 36

Введение

Целью настоящих методических указаний является помощь студентам – заочникам в выполнении контрольной работы №2.

Работа содержит 9 заданий по различным разделам дифференциального и интегрального исчислений.

Перед выполнением контрольной работы студент должен изучить соответствующие разделы рекомендуемой литературы [1] – [3] и воспользоваться решениями типовых примеров, содержащихся в настоящих методических указаниях. Большое количество образцов решенных задач дано в руководстве к решению задач [5]. Задачи для самостоятельного решения имеются как в представленных методических указаниях, так и в сборниках задач [4], [6].

Номер варианта по каждому заданию студент выбирает по формуле ,

где - номер варианта

-номер задания,

-предпоследняя цифра шифра студента,

-последняя цифра шифра.

Пример.

Пусть шифр студента 1235, тогда:

номер варианта первого задания: =;

номер варианта второго задания: ;

номер варианта третьего задания: ;

номер варианта четвертого задания: ;

номер варианта пятого задания: ;

номер варианта шестого задания: …

Если получается число больше 20, то для определения варианта берут их разность. В нашем случае это будет 23-20=3. Следовательно, студент, имеющий шифр 1235, должен решать задачу №8 в первом задании, №11 – во втором, №14 – в третьем, №17 – в четвертом, №20 – в пятом, №3 – в шестом и т.д.
1 Производная функции

 

Понятие производной функции является одним из основных в математике и широко применяется в различных областях науки и техники.

Производной функции y=f(x) в точке хназывается предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю произвольным образом.

.

Процедура отыскания производной называется дифференцированием функции.

Справедливы следующие правила дифференцирования:

1. (с)=0 2. (u+v)=u+v 3. (uv)=uv+uv

4. (сu)= сu 5. .

 

На основе этого определения могут быть выведены формулы для производных основных элементарных функций:

1. , в частности: ;

2. , в частности: ;

3. , в частности: ;

4. ; 5. ;

6. ; 7. ;

8. ; 9. ;

10. ; 11. .

Особый интерес представляет производная сложной функции.

Если у=f(u), где u=, тогда у.

Пример 1 Найти производную функции: .

Решение.

Используя правило дифференцирования сложной функции, а также формулу нахождения производной степенной функции, получим:

.

Пример 2 Найти производную функции .

Решение.

Воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций и формулами нахождения производной от показательной и логарифмической функции.

= == =

=.

Пример 3 Найти производную функции: .

Используем правило дифференцирования дроби и формулы нахождения производной от и степенной функции.

=

Пример 4 Найти производную функции: .

Решение.

При нахождении производной неявно заданной функции продифференцируем обе части уравнения по переменной , имея в виду, что есть функция от и выразим из полученного линейного относительно уравнения.

Если функция задана параметрическими уравнениями, то ее производная по переменной находится по формуле .

Пример 5 Найти производную функции:

Решение.

Поскольку , , то

.

Пример 6 Найти производную функции: .

Решение.

Применим метод логарифмического дифференцирования, для чего логарифмируем заданное выражение по основанию «», потом дифференцируем и находим у.

.

Дифференцируем:

=

=

Находим из полученного уравнения у:

.

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Что называется производной функции?

2. Каковы правила нахождения производных от суммы, произведения, дроби, от постоянной величины?

3. Как найти производную сложной функции?

4. Правило дифференцирования функции, заданной неявно.

5. В чем заключается метод логарифмического дифференцирования?

Приложение производной к исследованию функции

И построению ее графика

Методы дифференциального исчисления позволяют исследовать функции и строить их графики. Так, по знаку первой производной в интервале можно… Справедливы следующие теоремы: 1. Если функция дифференцируема на интервале и для , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .

Вопросы для самопроверки

 

1. Каковы признаки возрастания и убывания функции?

2. Что называется экстремумом функции?

3. Сформулируйте необходимые и достаточные признаки существования экстремума функции.

4. Как найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки перегиба графика функции?

5. Что называется асимптотой кривой?

6. Каких видов бывают асимптоты графика функции и как их найти?

 

Неопределенный интеграл

Функция называется первообразной функции если Множество первообразных функции называется неопределенным интегралом и обозначается . Операции дифференцирования и интегрирования взаимнообратны: ,

Метод замены переменного

Пусть требуется найти неопределенный интеграл от непрерывной функции Рассмотрим некоторую функцию , которая имеет непрерывную производную и… . (3.1.1)

Интегрирование по частям

Формула интегрирования получается почленным интегрированием формулы производной произведения. . Смысл формулы заключается в том, что производная перебрасывается с одного множителя не другой и интеграл при этом…

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.

К этому типу интегралов относятся интегралы вида: ; ;

Интегрирование рациональных дробей

Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых… .

Вопросы для самопроверки

1. Что называется первообразной? 2. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла. 3. В чем заключается метод замены переменной?

Основные свойства определенного интеграла

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

Правила вычисления определенного интеграла

1) Формула Ньютона-Лейбница: , где - первообразная для .

Приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур

.  

Вычисление объемов тел вращения

. Пример 33 Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривой и прямой .

Вычисление длины дуги плоской кривой

. Пример 34 Найти длину дуги кривой от до ().

Вопросы для самопроверки

2. Что называется определенным интегралом? 3. Каковы геометрический и физический смыслы определенного интеграла? 4. Назовите основные свойства определенного интеграла.

Индивидуальные задания для контрольной работы №2

 

Задача №1

Найти производные функций

в) , г) , д) . 2. а) , б) ,

Задача №2

1. . 7. . 14. . 2. . 8. . 15. . 3. . 9. . 16. .

Задача №3

1. 7. 14. 2. 8. 15. 3. 9. 16.

Задача №4

1. 11. 2. 12. 3. 13.

Задача №5

1. 11. 2. 12. 3. 13.

Задача №6

1. 11. 2. 12. 3. 13.

Задача №7

1. y= -x+1; 7. у=2-6х+1; у= - +3x+6. у= - +х-1. 2. y= +x+2; 8. у=-2х+4;

Задача №8

1. y= ; 11. у=2; у= - 2х +4. у= - 3х +14. 2. y= ; 12. у=;

Задача №9

Найти длину дуги кривой.   1. y =, 11. , отсеченной