рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Интегрирование рациональных дробей

Интегрирование рациональных дробей - раздел Математика, Математика   Методика Интегрирования Правильных Дробей Основана На Предста...

 

Методика интегрирования правильных дробей основана на представлении знаменателя в виде произведения линейных выражений (возможно в целых положительных степенях) и квадратичных сомножителей с отрицательными дискриминантами (возможно в целых степенях). Известен алгебраический результат, что такое представление всегда возможно.

.

Вообще говоря, получение такого представления для многочленов высоких степеней является сложной задачей. Мы в дальнейшем будем считать, что знаменатель уже представлен в таком виде. Известен алгебраический результат, что любая правильная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей, интегралы от которых легко находятся. При этом каждому линейному сомножителю вида в знаменателе соответствует группа простейших дробей вида:

.

В частности при имеем только одно слагаемое: .

Каждому квадратичному сомножителю соответствует группа дробей вида:

,

а при - одно слагаемое .

Рассмотрим примеры разложения правильной дроби на простейшие:

Пример 20 .

Пример 21 .

Пример 22

.

Пример 23 .

Пример 24 .

Теоретически гарантируется, что все выписанные разложения справедливы. Остается научиться находить постоянные А, В, С … . Предположим, что указанные константы найдены. Тогда интегрирование правильной дроби сведется к нахождению интегралов вида:

I , III ,

II , , IV .

Интегралы I и II видов табличные, интегралы III вида рассмотрены в предыдущей теме, интегралы IV вида вычисляются по той же схеме, что и III вида, но в отличие от них после выделения полного квадрата возникают интегралы вида:

,

которые находятся по рекуррентной формуле:

.

Перейдем к рассмотрению конкретных примеров вычисления интегралов от правильных рациональных дробей. Сначала рассмотрим наиболее простой случай, когда знаменатель содержит только некратные линейные множители.

Пример 25 .

Решение.

.

После приведения к общему знаменателю получим следующее тождество для числителей:

.

Этим тождеством мы и воспользуемся для нахождения коэффициентов А, В и С.

Если в данном тождестве в качестве взять конкретное значение, то получим линейное уравнение относительно А, В и С. Таких уравнений нам нужно три. Полученную систему можно решить, например, методом Гаусса. Однако можно гораздо легче найти коэффициенты, если в качестве брать не произвольные числа, а корни линейных сомножителей в знаменателе. При этом в правой части тождества будет присутствовать только один из неизвестных коэффициентов.

В результате получим:

.

Если знаменатель содержит квадратичные сомножители, то всегда нужно проверять, не будет ли D неотрицательным. Если да, то лучше разбить его на линейные сомножители.

Пример 26 .

Решение.

.

Завершите самостоятельно вычисление данного интеграла.

Перейдем к рассмотрению чуть более сложного случая, когда знаменатель содержит только линейные сомножители, причем некоторые из них кратные.

Пример 27 .

Решение.

.

Положив последовательно и , легко найдем два неизвестных коэффициента:

Остальные два найдем, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях левой и правой частей тождества:

Тогда

.

Рассмотрим теперь случай, когда знаменатель содержит некратные квадратичные сомножители с отрицательным дискриминантом.

Пример 28 .

Решение.

.

.

Положим :

 

Остальные неизвестные найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях:

Тогда

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Математика

Кафедра математики... Математика...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Интегрирование рациональных дробей

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

И построению ее графика
Методы дифференциального исчисления позволяют исследовать функции и строить их графики. Так, по знаку первой производной в интервале можно определить возрастание

Неопределенный интеграл
  Функция называется первообразной функции

Метод замены переменного
  Пусть требуется найти неопределенный интеграл от непрерывной функции

Интегрирование по частям
  Формула интегрирования получается почленным интегрированием формулы производной произведения.

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.
  К этому типу интегралов относятся интегралы вида:

Вопросы для самопроверки
  1. Что называется первообразной? 2. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла. 3. В чем заключается метод замены переменной? 4. Какие функ

Основные свойства определенного интеграла
  1) ; 2)

Правила вычисления определенного интеграла
  1) Формула Ньютона-Лейбница: , где

Вычисление площадей плоских фигур
Используя геометрический смысл определенного интеграла, нетрудно получить формулу для вычисления площади плоской фигуры, ограниченной кривыми

Вычисление объемов тел вращения
При вращении криволинейной трапеции, ограниченной линиями: ,

Вычисление длины дуги плоской кривой
Если кривая имеет непрерывную производную на отрезке

Вопросы для самопроверки
1. Что называется интегральной суммой для функции на отрезке

Найти производные функций
1. а) , б)

Задача №2
Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее графики: 1.

Задача №3
Найти неопределенные интегралы способом подстановки (методом замены переменного). 1.

Задача №4
Найти неопределенные интегралы, используя выделение полного квадрата. 1.

Задача №5
Найти неопределенные интегралы, применяя метод интегрирования по частям. 1.

Задача №6
Найти неопределенные интегралы, пользуясь разложением рациональных дробей на простейшие. 1.

Задача №7
Вычислить площадь, ограниченную заданными параболами. 1. y= -x+1; 7. у

Задача №8
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной заданными параболой, прямой и осью Ох. 1. y=

Задача №9
  Найти длину дуги кривой.   1. y =, 11.

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги