Указания к задаче 4: собственные числа и собственные векторы

Число называется собственным числом квадратной матрицы А n-ого порядка, если существует такой ненулевой n-мерный вектор Х, что АХ=Х.

Этот ненулевой вектор Х называется собственным вектором матрицы А, соответствующим ее собственному числу .

Множество всех собственных чисел матрицы А совпадает с множеством всех решений уравнения , которое называется характеристическим уравнением матрицы А.

Множество всех собственных векторов матрицы А, соответствующих ее собственному числу , совпадает с множеством всех ненулевых решений системы однородных уравнений

(А -Е) = 0.

Задача 4.

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.

А = .

Решение: Найдем характеристическое уравнение матрицы А – определитель матрицы А -Е, где Е – единичная матрица, –независимая переменная.

 

А –Е = – = .

 

 

При вычислении данного определителя использовалось его разложение по элементам третьего столбца.

Найдем теперь собственные числа матрицы А – корни характеристического уравнения . Получаем:

, , .

Далее найдем собственные векторы матрицы А, соответствующие каждому из собственных чисел.

Пусть

Х= – искомый собственный вектор.

Тогда система однородных уравнений (А -Е) = 0 выглядит так:

или

(1)

 

Эта однородная система линейных уравнений имеет множество решений, так как ее определитель равен нулю.

При система (1) принимает вид:

Общее решение этой системы , где любое число.

В качестве собственного вектора достаточно взять любое частное решение. Пусть, например, , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид

.

При система (1) принимает вид:

Общее решение этой системы , где любое число.

 

Пусть, например, , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид

.

Аналогично при получаем систему

,

 

общее решение которой , где любое число.

Пусть , тогда собственный вектор, соответствующий собственному числу , имеет вид

.

 

Ответ: , , ,

 

, , .